2025新（华师大版）全册七年级下册数学教学设计教案（含教学反思）

第5章一元一次方程5.1从实际问题到方程1．能通过对实际问题的分析，归纳并理解方程的概念．2．估算使方程左右两边相等的未知数的值．3．会根据简单的实际问题列出方程．4．经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想．重点：理解方程的概念及估算方程的解．难点：根据实际问题列方程．一、情境导入问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，则A，B两地间的路程是多少？1．若用算术方法解决应怎样列算式？2．如果设A，B两地相距xkm，那么客车从A地到B地的行驶时间为________，货车从A地到B地的行驶时间为________．3．客车与货车行驶时间的关系是________________．4．根据上述关系，可列方程为________________．5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？二、合作探究探究点一：方程的概念下列各式中，是方程的是()A．4×5＝3×7－1B．9－4x＞0C．eq\f(x－3,2)＝eq\f(1,3)D．2x＋3解析：根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．A.不是，因为不含有未知数；B.不是，因为不是等式；C.是方程；D.不是，因为不是等式．故答案选C.方法总结：本题考查的是方程的概念，方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点：①等式；②含有未知数．探究点二：方程的解检验下列方程后面的数是否为相应方程的解．(1)2x＋5＝10x－3，x＝1；(2)2(x－1)－eq\f(1,2)(x＋1)＝3(x＋1)－eq\f(1,3)(x－1)，x＝0.解析：根据方程解的定义代入再判断．解：(1)当x＝1时，左边＝2×1＋5＝2＋5＝7，右边＝10×1－3＝10－3＝7，左边＝右边，∴x＝1是方程的解．(2)当x＝0时，左边＝2×(0－1)－eq\f(1,2)×(0＋1)＝－2－eq\f(1,2)＝－2.5，右边＝3×(0＋1)－eq\f(1,3)×(0－1)＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)，左边≠右边，∴x＝0不是此方程的解．方法总结：检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等．探究点三：列方程某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得方程为()A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87解析：设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：x支铅笔的售价＋(60－x)支圆珠笔的售价＝87，据此列出方程为1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87.故选B.方法总结：解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目当中的等量关系，列方程．三、板书设计1．方程的定义及方程的解；2．根据实际问题列方程的步骤：①设未知数(用字母)；②找等量关系(表示出相关的量)；③列出方程．本节首先用实际问题引入课题，然后运用算术的方法给出解答．在各环节的安排上都设计成一个个的问题，使学生能围绕问题展开思考、讨论．通过本节的教学，让学生体会到从实际问题到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重要数学思想；使学生体会到数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，从而激发学生学习数学的热情．第5章一元一次方程5.2.1解一元一次方程第1课时等式的性质1．理解等式的基本性质．2．能判断等式变形是否正确，会用等式的基本性质进行变形．3．经历应用等式基本性质的过程，培养观察能力、分析能力、概括能力，渗透化归思想．重点：会用等式的基本性质进行变形．难点：含有未知数的等式，其基本性质也成立的过程探索．一、情境导入同学们，你们认识天平吗？它有什么特征？通过下面几幅图片你能说说当天平两边满足怎样的数量关系时，才能保持平衡？二、合作探究探究点一：等式的基本性质已知m＝n，则下列等式不成立的是()A．m－1＝n－1B．－2m－1＝－1－2nC．eq\f(m,3)＋1＝eq\f(n,3)＋1D．2－3m＝3n－2解析：由等式的基本性质1，在等式两边同时减去1，结果仍相等，A成立；在等式两边同时乘以－2，得－2m＝－2n，两边再同时加上－1，结果仍相等，B成立；在等式两边同时除以3，得eq\f(m,3)＝eq\f(n,3)，两边再同时加上1，结果仍相等，C成立；只有D不成立．故选D.方法总结：对等式进行变形，必须在等式的两边同时进行，即同加或同减，同乘或同除，不能漏掉一边，且同加或同减，同乘或同除的数必须相同．阅读理解题：下面是小明将等式x－4＝3x－4进行变形的过程：x－4＋4＝3x－4＋4，①x＝3x，②1＝3.③(1)小明①的依据是________________________________________________；(2)小明出错的步骤是________，错误的原因是__________________________；(3)写出正确的变形．解析：根据等式的性质解答即可．解：(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，所得结果仍是等式(2)③等式两边都除以x，x可能为0(3)x－4＝3x－4，x－4＋4＝3x－4＋4，x＝3x，x－3x＝0，－2x＝0，x＝0.方法总结：本题主要考查等式的基本性质．在等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍成立，这里的数或整式没有条件限制，但是在等式的两边同时乘以或除以同一个数或整式时，这里的数或整式必须不为0.探究点二：等式基本性质的应用【类型一】应用等式的性质对等式进行变形用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式．(1)如果2x＋7＝10，那么2x＝10－________；(2)如果－3x＝8，那么x＝________；解析：(1)根据等式的基本性质1，在等式两边同时减去7可得2x＝10－7；(2)根据等式的基本性质2，在等式两边同时除以－3可得x＝－eq\f(8,3).故答案为(1)7；(2)－eq\f(8,3).方法总结：运用等式的性质，可以将等式进行变形，变形时等式两边必须同时进行完全相同的四则运算，否则就会破坏原来的相等关系．【类型二】利用等式的基本性质变形求代数式的值求下列代数式的值．(1)若5m－5n＝1，则m－n＝________；(2)若2x－y－1＝0，则y－2x＝________．解析：(1)根据等式的基本性质2，在等式两边同时除以5，可得m－n＝eq\f(1,5)；(2)根据等式的基本性质1，在等式两边同时加上1，可得2x－y＝1；再根据等式的基本性质2，在等式两边同时乘以－1，可得y－2x＝－1.故答案为(1)eq\f(1,5)；(2)－1.方法总结：运用等式的性质，可以将等式进行变形，变形时找出所求代数式与已知代数式之间的关系，再根据等式的性质求代数式的值．三、板书设计1．等式的性质1：等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．即如果a＝b，那么a±c＝b±c.2．等式的性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．即如果a＝b，那么ac＝bc，eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)(c≠0).3．利用等式的基本性质对等式进行变形．本节课采用从了解天平入手，激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯．利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容．力求在整个探究学习的过程中充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体．第5章一元一次方程5.2.1解一元一次方程第2课时利用去分母解一元一次方程1．掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法．2．经历去分母解方程的过程，进一步体会数学中的“化归思想”．3．通过解一元一次方程的过程，增强对数字和符号的敏感度，提高运算能力和符号运用能力．重点：熟练、正确地解一元一次方程．难点：规避解方程中的易错点．一、问题引入1．等式的基本性质2是怎样叙述的呢？2．求下列几组数的最小公倍数：(1)2，3；(2)2，4，5.3．通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？4．如果未知数的系数是分数，那么该怎样来解这种类型的方程呢？这一节课我们来共同解决这样的问题.二、合作探究探究点一：用去分母解一元一次方程解方程：(1)eq\f(x－3,2)－x＝eq\f(1,3)；(2)x－eq\f(x－2,5)＝eq\f(2x－5,3)－3.解析：(1)先在方程两边同时乘以分母的最小公倍数6，方程变为3(x－3)－6x＝2，然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解．(2)先在方程两边同时乘以分母的最小公倍数15，方程变为15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45，然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解.解：(1)eq\f(x－3,2)－x＝eq\f(1,3)，去分母得3(x－3)－6x＝2，去括号得3x－9－6x＝2，移项得3x－6x＝2＋9，合并同类项得－3x＝11，系数化为1得x＝－eq\f(11,3).(2)x－eq\f(x－2,5)＝eq\f(2x－5,3)－3，去分母得15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45，去括号得15x－3x＋6＝10x－25－45，移项得15x－3x－10x＝－25－45－6，合并同类项得2x＝－76，系数化为1得x＝－38.方法总结：解方程应注意以下两点：①去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号．②去括号、移项时要注意符号的变化．探究点二：去分母解一元一次方程的应用【类型一】列方程求解(1)当k取何值时，代数式eq\f(k＋1,3)的值比eq\f(3k＋1,2)的值小1?(2)当k取何值时，代数式eq\f(k＋1,3)与eq\f(3k＋1,2)的值互为相反数？解析：根据题意列出方程，然后解方程即可．解：(1)根据题意可得eq\f(3k＋1,2)－eq\f(k＋1,3)＝1，去分母得3(3k＋1)－2(k＋1)＝6，去括号得9k＋3－2k－2＝6，移项得9k－2k＝6＋2－3，合并同类项得7k＝5，系数化为1得k＝eq\f(5,7).(2)根据题意可得eq\f(k＋1,3)＋eq\f(3k＋1,2)＝0，去分母得2(k＋1)＋3(3k＋1)＝0，去括号得2k＋2＋9k＋3＝0，移项得2k＋9k＝－3－2，合并同类项得11k＝－5，系数化为1得k＝－eq\f(5,11).方法总结：先按要求列出方程，然后去分母、去括号、移项、合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．【类型二】求字母参数的值已知方程eq\f(1－2x,6)＋eq\f(x＋1,3)＝1－eq\f(2x－1,4)与关于x的方程x＋eq\f(6x－a,3)＝eq\f(a,6)－3x的解相同，求a的值．解析：求出第一个方程的解，把求出的x的值代入第二个方程，求出所得关于a的方程的解即可．解：eq\f(1－2x,6)＋eq\f(x＋1,3)＝1－eq\f(2x－1,4)，去分母得2(1－2x)＋4(x＋1)＝12－3(2x－1)，去括号得2－4x＋4x＋4＝12－6x＋3，移项、合并同类项得6x＝9，系数化为1得x＝eq\f(3,2).把x＝eq\f(3,2)代入x＋eq\f(6x－a,3)＝eq\f(a,6)－3x，得eq\f(3,2)＋eq\f(9－a,3)＝eq\f(a,6)－eq\f(9,2)，去分母得9＋18－2a＝a－27，移项、合并同类项得－3a＝－54，系数化为1得a＝18.方法总结：此类问题的思路是根据某数是方程的解，把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程求解．三、板书设计解含有分母的一元一次方程(1)去分母；(2)去括号；(3)移项、合并同类项；(4)系数化为1.本节课采用的教学方法是讲练结合，通过一个简单的实例让学生明白去分母是解一元一次方程的重要步骤，通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程，进而使方程的计算更加简便．在解方程去分母的过程中，发现学生还存在以下问题：①部分学生不会找各分母的最小公倍数，这点要适当指导；②用各分母的最小公倍数乘以方程两边的项时，漏乘不含分母的项；③当分子是多项式时，要把分子作为一个整体加上括号后去分母，分子没有作为一个整体加上括号，容易弄错符号；④去括号、移项时要注意符号的变化．第5章一元一次方程5.2.2．解一元一次方程第1课时解含有括号的一元一次方程1．理解一元一次方程的概念．2．探索把含有括号的一元一次方程化为x＝a的形式，掌握解含括号的一元一次方程的方法，体会方程变形中的化归思想．重点：解含括号的一元一次方程的方法．难点：括号前是“－”的，去括号时，括号内各项要改变符号．一、情境导入1．“移项”“合并同类项”“系数化为1”要注意什么？2．一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．(1)题目中的等量关系是____________________．(2)根据题意可列方程为____________________．你能解这个方程吗？二、合作探究探究点一：一元一次方程的概念【类型一】一元一次方程的辨别下列方程中是一元一次方程的有()A．x＋3＝y＋2B．1－3(1－2x)＝－2(5－3x)C.x－1＝eq\f(1,x)D．eq\f(y,3)－2＝2y－7解析：A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有未知数，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．故选D.方法总结：判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是整式方程．【类型二】利用一元一次方程的概念求字母参数的值方程(m＋1)x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则()A．m＝±1B．m＝1C．m＝－1D．m≠－1解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足含有1个未知数，未知数的次数为1且系数不等于0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|m|＝1，,m＋1≠0，))解得m＝1.故选B.方法总结：解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可求方程中相关字母的值．探究点二：利用去括号解一元一次方程【类型一】用去括号的方法解方程解下列方程：(1)4x－3(5－x)＝6；(2)5(x＋8)－5＝6(2x－7).解析：先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求得答案．解：(1)去括号得4x－15＋3x＝6，移项、合并同类项得7x＝21，系数化为1得x＝3.(2)去括号得5x＋40－5＝12x－42，移项、合并同类项得－7x＝－77，系数化为1得x＝11.方法总结：解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.在具体解方程时，不论进行到哪一步，只要得出方程的解，下面的步骤就不用再进行了.【类型二】应用方程思想求值当x为何值时，代数式2(x2－1)－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6.解析：先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．解：依题意得2(x2－1)－x2－(x2＋3x－2)＝6，去括号得2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，移项、合并同类项得－3x＝6，系数化为1得x＝－2.方法总结：先按要求列出方程，然后去括号、移项，把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．三、板书设计解一元一次方程——去括号去括号的规律：(1)将括号外的因数连同它前面的符号看成一个整体，利用分配律将它与括号内的每一项相乘，即a(b＋c)＝ab＋ac；(2)如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．本节课的教学先让学生回顾上一节所学的知识，复习巩固方程的解法，让学生进一步明白解方程的步骤是逐渐发展的，后面的步骤是在前面步骤的基础上发展而成．然后通过一个实际问题，列出一个有括号的方程，大胆放手让学生去探索、猜想各种方法，去尝试各种解题的途径，启发学生探索新的解题方法．第5章一元一次方程5.2.2解一元一次方程第2课时方程的简单变形1．经历由等式的性质得到方程的变形规则的过程，体验化归思想．2．掌握方程的变形规则：移项和将未知数的系数化为1，并会用方程的变形规则解简单的方程．重点：能灵活运用方程的变形规则：移项、系数化为1.难点：利用方程的变形规则解简单的方程．一、复习导入马小虎解方程2x＋7＝－2x＋7按如下步骤：第一步：两边都减去7，得2x＝－2x.第二步：两边都除以x，得2＝－2.你认为他解得对吗？如果错了，那么错在哪里呢？二、合作探究探究点一：方程的变形规则通过类比等式的基本性质，结合下面的实例，用自己的话说一说方程的变形方法：(1)x－2＝0⇒x＝2(2)x＋2＝3⇒x＝1(3)3x＝2⇒x＝eq\f(2,3)(4)eq\f(1,2)x＝5⇒x＝10解：(1)在方程的两边都加上2.(2)在方程的两边都减去2.(3)在方程的两边都除以3.(4)在方程的两边都乘以2.方法总结：通过适当变形将方程转化为x＝a(a为常数)的形式．探究点二：移项法则解下列方程：(1)3x＝7＋2x；(2)8x－3＝7x＋3.解析：通过方程的简单变形，归纳出移项的法则．解：(1)两边都减去2x，得3x－2x＝7，即x＝7；(2)两边都减去7x，得8x－7x－3＝3，即x－3＝3.两边都加上3，得x＝3＋3，即x＝6.方法总结：移动方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，注意移项要变号．通过移项将下列方程变形，正确的是()A．由5x－7＝2，得5x＝2－7B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9解析：A中由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故选项A错误；B中由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故选项B错误；C中由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8，故选项C正确；D中由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故选项D错误．故选C.方法总结：(1)所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置．(2)移项时要变号，不变号不能移项．探究点三：系数化为1解下列方程：(1)－6y＝12；(2)eq\f(1,4)x＝－7.解析：(1)在方程的两边都除以－6，可得答案；(2)在方程的两边都乘以4，可得答案．解：(1)方程的两边都除以－6，得y＝－2；(2)方程的两边都乘以4，得x＝－28.方法总结：通过适当变形将方程转化为x＝a(a为常数)的形式，像这样的变形通常称为“将系数化为1”．探究点四：利用方程变形解方程解下列方程：(1)－x－4＝3x；(2)5x－1＝9；(3)－4x－8＝4；(4)0.5x－0.7＝6.5－1.3x.解析：通过移项、合并同类项、系数化为1的方法解答即可．解：(1)移项得－x－3x＝4，合并同类项得－4x＝4，系数化成1得x＝－1.(2)移项得5x＝9＋1，合并同类项得5x＝10，系数化成1得x＝2.(3)移项得－4x＝4＋8，合并同类项得－4x＝12，系数化成1得x＝－3.(4)移项得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，合并同类项得1.8x＝7.2，系数化成1得x＝4.方法总结：将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号．三、板书设计eq\a\vs4\al(方程的变,形规则)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(移项：把含有未知数的项移到方程的一边，,其他项移到方程的另一边,合并同类项：合并同类项把方程整理为ax＝,b（a≠0）的形式,系数化为1))教学过程中，应引导学生由等式的基本性质得到方程的变形规则，在归纳方程的变形规则时，感悟方程变形中的转化思想，逐渐体会移项、系数化为1在方程变形中的作用．掌握方程解法的一般步骤，为后面解一元一次方程打下基础．第5章一元一次方程5.2.2解一元一次方程第3课时实际问题与一元一次方程1．分析实际问题中的数量关系，建立方程模型，解决实际问题．2．领悟数学来源于生活，服务于生活，会用方程的思想解决实际生活中的问题．重点：找出等量关系，解决实际问题．难点：根据等量关系列出正确的一元一次方程．一、情境导入在中国古代问题中，有一个非常有趣的“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有头三十五，下有足九十四，问鸡兔各多少？二、合作探究探究点一：根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解决问题某单位计划“五一”期间组织职工到西湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租一辆，并且有40个剩余座位．(1)该单位参加旅游的职工有多少人？(2)如果同时租用这两种客车若干辆，有无可能使每辆车刚好坐满？如有可能，两种车各租多少辆？(此问可只写结果，不写分析过程)解析：(1)先设单独租用40座的客车x辆刚好坐满，利用人数不变，车的辆数相差1，可列出一元一次方程求解；(2)可根据租用两种汽车时，利用假设一种车的数量，进而得出另一种车的数量求出即可．解：(1)设单独租用40座的客车x辆刚好坐满，由题意得方程：40x＝50(x－1)－40，解得x＝9.故该单位参加旅游的职工有：40×9＝360(人).答：该单位参加旅游的职工有360人．(2)有可能，因为租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人，正好坐满．方法总结：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解．探究点二：根据“各部分量的和＝总量”列方程解决问题某羽毛球协会组织一些会员到现场观看某场羽毛球比赛．已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？解析：设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了(8－x)张，根据题意建立方程，求出方程的解就可以得出结论．解：设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了(8－x)张，由题意得300x＋400×(8－x)＝2700，解得x＝5，∴8－x＝3.答：每张300元的门票买了5张，每张400元的门票买了3张．方法总结：解题的关键是熟练掌握列方程解应用题的一般步骤：①根据题意找出等量关系；②列出方程；③解方程；④作答．三、板书设计eq\a\vs4\al(列一元一次方,程解应用题)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(设未知数,根据等量关系列一元一次方程,解一元一次方程,检验解的合理性,写出答案))本节课以生活中常见的一个问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关．然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性．让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣．第5章一元一次方程5．3实践与探索第1课时几何相关问题1．分析图形问题中的基本等量关系，运用方程解决问题．2．经历寻找等量关系，恰当地转化和分析量与量之间的关系的过程，体会一元一次方程在解决实际问题中的应用，理解和体会数学建模思想在解决实际问题中的作用．重点：寻找图形问题中的等量关系，建立方程．难点：学会借助图形分析复杂问题中的数量关系和等量关系，使实际问题数学化．一、情境导入一种牙膏出口处直径为5mm，小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次．该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6mm，小明还是按习惯每次挤出1cm的牙膏，这支牙膏能用多少次呢？二、合作探究探究点一：等长变形问题用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．解析：本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长.解：设圆的半径为rm，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m．则有2πr＝4(r＋2π－4).解得r＝4.所以铁丝的长为2πr＝8π(m)；圆的面积是π×42＝16π(m2)；正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2).因为16π>4π2，所以圆的面积大．答：铁丝的长为8πm，圆的面积较大．方法总结：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程．探究点二：等体积变形问题用直径为90mm的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131mm，高度是81mm的长方体钢锭．问需要截取多长的一段圆钢？(结果保留π)解析：圆钢由圆柱形变为长方体，形状变了，但体积不变．解：设截取圆钢的长度为xmm.根据题意，得π(eq\f(90,2))2x＝131×131×81，解方程，得x＝eq\f(686.44,π).答：截取圆钢的长度为eq\f(686.44,π)mm.方法总结：圆钢由圆柱形变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变．“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”就是我们所要寻找的等量关系.将一个长、宽、高分别为15cm，12cm和8cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12cm的正方形的长方体钢坯．试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较.解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高．再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可．解析：设锻造后长方体的高为xcm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.锻造前长方体钢坯的表面积为2×(15×12＋15×8＋12×8)＝2×(180＋120＋96)＝792(cm2)，锻造后长方体钢坯的表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝2×(144＋120＋120)＝768(cm2).因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大．方法总结：长方体的表面积为六个面的面积之和，其中上下、左右、前后面积分别相等．三、板书设计eq\a\vs4\al(列一元一,次方程解,应用题)→eq\a\vs4\al(几何,相关,问题)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(设未知数,根据等量关系列一元一次方程,解一元一次方程,检验解的合理性,写出答案))教学过程中，通过对问题的探讨，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的热情．第5章一元一次方程5．3实践与探索第2课时销售问题及变化率问题1．理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润、打折、利润率等基本量之间的关系．2．会用一元一次方程解决商品销售中的实际问题，再次体会数学的实用价值．重点：能根据销售问题中的数量关系列出一元一次方程，运用方程解决实际问题．难点：将实际问题转化为数学问题，找出等量关系，正确列出方程．一、情境导入1．展现日常生活中的销售实例，学生回忆知识．打折后的商品售价＝商品的原标价×打折率．2．展示常用数量关系：①利润＝售价－进价；②利润率＝利润/进价×100%；③利润＝进价×利润率；④售价＝进价＋利润＝进价＋进价×利润率．二、合作探究探究点一：打折销售问题【类型一】求原价某商场节日酬宾：全场8折．一种电器在这次酬宾活动中的利润率为10%，它的进价为2000元，那么它的原价为多少元？解析：本题中的利润为(2000×10%)元，销售价为(原价×80%)元，根据公式建立起方程即可．解：设原价为x元，根据题意，得80%x－2000＝2000×10%.解得x＝2750.答：它的原价为2750元．方法总结：典例关系：售价＝进价＋利润，售价＝原价×打折数×0.1，售价＝进价×(1＋利润率)【类型二】求成本价某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打9折(即原价的90%)，并再让利40元销售，仍可获利10%，求该商品的进价．解析：实际售价是(900×90%－40)元，设该商品进价为每件x元，根据实际售价(不同表示法)相等列方程求解．解：设该商品的进价为每件x元，依题意，得900×0.9－40＝10%x＋x，解得x＝700.答：该商品的进价为700元．方法总结：(1)在解决实际问题时，要认真审题，如不打折时，售价＝标价，打折时，售价＝标价×打折率；(2)在以上公式中，只要知道其中的两个量，便能求出另一个量．【类型三】求折扣书店里每本定价10元的书，成本是8元．为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打多少折？解析：本题中的利润为10－8＝2(元)，因为让利10%给读者，所以书店的利润为[(1－10%)×2](元)，此时的售价为(10×折扣)元．根据商品利润＝商品售价－商品进价，就能建立起方程．解：设该书应打x折，根据题意，得10×eq\f(x,10)－8＝(10－8)×(1－10%).解得x＝9.8.答：该书应打九八折．方法总结：让利10%，即利润为原来的90%.探究点二：变化率问题我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在涨价30%后，又降价70%至39元，则这种药品在涨价前价格为多少元？解析：根据题意表示出涨价后以及降价后的价格进而得出等式求出即可．解：设这种药品在涨价前价格为x元，根据题意可得：(1＋30%)×(1－70%)x＝39，解得x＝100.答：这种药品在涨价前价格为100元．方法总结：根据题意得出正确的等量关系是解题关键．三、板书设计1．销售问题中的两个基本关系式：(1)利润＝售价－进价；(2)利润率＝eq\f(利润,商品进价)×100%.注意：(1)式中等式左边的“利润”若为正，就是盈利；若为负，就是亏损．(2)式还可以变形为利润率×进价＝售价－进价．2．百分率问题：增长率问题．本节课从和我们的生活息息相关的利润问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣．根据“实际售价＝进价＋利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题．审清题意，找出等量关系是解决问题的关键．另外，商品经济问题的题型很多，让学生触类旁通，达到举一反三，灵活运用有关公式解决实际问题，提高学生的解题能力．第5章一元一次方程5．3实践与探索第3课时工程问题及路程问题1．经历建立一元一次方程模型解决实际问题的过程，培养学生解决实际问题的基本技能．2．能借助图表分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题，直观感受方程模型的作用．重点：分析工程问题、行程问题中的数量关系，找等量关系．难点：建立实际问题的方程模型，解决实际问题．一、情境导入亲爱的同学们，你们读过名著《西游记》吗？关于孙悟空的故事你一定知道很多吧．有这样一首描述孙悟空捉妖的诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准．请你帮孙悟空算算当时的风速每分钟是多少里？二、合作探究探究点一：工程问题一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独施工24天完成．现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？解析：首先设乙队还需x天才能完成，由题意可得等量关系：甲队干三天的工作量＋乙队干(x＋3)天的工作量＝1，根据等量关系列出方程，求解即可．解：设乙队还需x天才能完成，由题意得eq\f(1,9)×3＋eq\f(1,24)(3＋x)＝1，解得x＝13.答：乙队还需13天才能完成．方法总结：找到等量关系是解决问题的关键．本题主要考查的等量关系为：工作效率×工作时间＝工作总量，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1.探究点二：行程问题【类型一】用一元一次方程解决相遇问题小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑行200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一．解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.解得x＝10.答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明．方法总结：找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系．【类型二】用一元一次方程解决追及问题小刚每天早晨要在7：40之前赶到距家1100m的学校上学，小刚以60m/min的速度出发，5min后，小刚的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以180m/min的速度去追小刚，并且在途中追上了他．(1)爸爸追上小刚用了多长时间？(2)追上小刚时，距离学校还有多远？解析：本题等量关系：爸爸所走的路程－小刚所走的路程＝追赶时相距的路程．解：(1)设爸爸追上小刚用了xmin，依题意有180x－60x＝60×5，解得x＝2.5.答：爸爸追上小刚用了2.5min.(2)1100－180×2.5＝1100－450＝650(m).答：追上小刚时，距离学校还有650m远．【类型三】用一元一次方程解决环形问题甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度是360米/分，乙的速度是240米/分．(1)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？(2)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？解析：(1)题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝400米．(2)题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者追上慢者一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程－乙走的路程＝400米．解：(1)设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x＋240x＝400.解得x＝eq\f(2,3).eq\f(2,3)分钟＝40秒．答：40秒后两人第一次相遇．(2)设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x－240x＝400.解得x＝eq\f(10,3).(eq\f(10,3)×360＋eq\f(10,3)×240)÷400＝5(圈).答：两人一共跑了5圈．方法总结：环形问题中的等量关系：两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇)，甲的行程＋乙的行程＝一圈周长；两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)，甲的行程－乙的行程＝一圈周长．三、板书设计1．工程问题：(1)工程总量＝效率×时间．(2)各部分的工程和＝工作总量＝1.2．行程问题→eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相遇问题,追及问题,环形问题))教学过程中，通过对熟悉的神话故事中人物问题的探讨与交流，提高学生的兴趣，体验生活中数学的应用与价值，感受数学与人类生活的密切联系，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性．让学生在实践中获得解决问题的方法，找到学习的乐趣．第6章一次方程组6.1二元一次方程组和它的解1．了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义．2．能根据简单的实际问题列二元一次方程组，会检验一对数是不是某个二元一次方程(组)的解．3．通过问题情境得出二元一次方程(组)，体会方程(组)是刻画现实世界的一个有效模型，同时培养学生探究创新的精神，增强合作交流的意识．重点：二元一次方程组及其解的含义．难点：理解二元一次方程组的解的含义．一、情境导入篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？二、合作探究探究点一：二元一次方程(组)的定义【类型一】识别二元一次方程组有下列方程组：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,x＋y＝2；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，,\f(1,x)＋y＝1；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋z＝0，,3x－y＝\f(1,5)；))④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,\f(x,2)＋\f(y,3)＝7；))⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋π＝3，,x－y＝1，))其中二元一次方程组有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有3个未知数．只有④⑤满足，其中⑤方程组中的π是常数．故选B.方法总结：识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.【类型二】利用二元一次方程的定义求参数的值已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．解析：根据二元一次方程满足的条件，得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.故填0.方法总结：二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数的项的最高次数均为一次；(3)方程是整式方程．探究点二：二元一次方程(组)的解【类型一】二元一次方程的解已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是()A．1B．3C．－3D．－1解析：将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.故选A.方法总结：根据方程的解的定义，将x，y的值代入方程中，方程左右两边相等，即可求解．【类型二】利用二元一次方程组的解求参数的值甲、乙两人共同解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋5y＝15，①,4x－by＝－2.②))由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4.))试计算a2020＋(－eq\f(1,10)b)2021的值．解析：由方程组解的定义知：甲看错了方程①中的a得到方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))说明eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1))是方程②的解；同样eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))是方程①的解．解：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1))代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10.把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))代入①，得5a＋20＝15，所以a＝－1.所以a2020＋(－eq\f(1,10)b)2021＝(－1)2020＋(－eq\f(1,10)×10)2021＝1－1＝0.方法总结：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．探究点三：列二元一次方程组小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张，那么可列方程组()A．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝10，,x＋y＝8))B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,10)＝8，,x＋2y＝10))C．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,x＋2y＝8))D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝8，,x＋2y＝10))解析：根据题意可得到两个相等关系：(1)1元贺卡张数＋2元贺卡张数＝8(张)；(2)1元贺卡钱数＋2元贺卡钱数＝10(元).设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张，可列方程组为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝8，,x＋2y＝10.))故选D.方法总结：要判断哪个方程组符合题意，可从题目中找出两个相等关系，然后代入未知数，即可得到方程组，进而得到正确答案．三、板书设计二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(二元一次方程（组）的定义,二元一次方程（组）的解,列二元一次方程组))通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程组的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解．第6章一次方程组6.2二元一次方程组的解法第1课时代入法(1)1．了解解二元一次方程组的基本思想是消元，会用代入消元法解二元一次方程组．2．通过探索二元一次方程组的解法，经历化“二元”为“一元”的过程，初步体会消元的思想以及把复杂问题转化为简单问题的化归思想．重点：用代入消元法解二元一次方程组．难点：熟练、正确地用代入消元法解二元一次方程组．一、情境导入十一假期，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元．每张成人票5元，每张儿童票3元．那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？二、合作探究探究点一：代入消元法【类型一】用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：(1)x－3y＝13;(2)3x＋2y＝5；(3)5x－10y＋15＝0.(4)4x－5y＋6＝x＋3y－4.解析：把x看做已知数求出y即可．解：(1)y＝eq\f(x－13,3).(2)y＝eq\f(5－3x,2).(3)整理得－10y＝－5x－15，解得y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2).(4)整理得3x－8y＝－10，解得y＝eq\f(3x＋10,8).方法总结：此题解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．【类型二】用代入法解二元一次方程组用代入法解下列方程组：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－6，①,2x＋3y＝15；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝19，①,x－y＝4；②))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＝1，①,x＋2y＝6；②))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝5，①,2x－y＝4.②))解析：方程组利用代入消元法求出解即可．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－6，①,2x＋3y＝15；②))把①代入②，得2x＋3(3x－6)＝15，解得x＝3.把x＝3代入①，得y＝9－6＝3，所以方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝19，①,x－y＝4；②))由②得x＝4＋y③.把③代入①得3(4＋y)＋4y＝19，解得y＝1.把y＝1代入③得x＝4＋1＝5.所以方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＝1，①,x＋2y＝6；②))由①得x＝1＋3y③，把③代入②得1＋3y＋2y＝6，解得y＝1.把y＝1代入③得x＝4，所以方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝5，①,2x－y＝4.②))由①得x＝2y＋5③，把③代入②得4y＋10－y＝4，解得y＝－2.把y＝－2代入③得x＝1，则方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))方法总结：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，再利用代入法将二元一次方程转化成一元一次方程，从而求出方程的解．探究点二：求待定系数的值已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝7，,ax－by＝1))的解，则a－b的值为()A.1B．－1C．2D．3解析：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))代入原方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝7，,2a－b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))所以a－b＝－1.故选B.方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．三、板书设计1．二元一次方程组eq\o(→,\s\up7(代入消元法))一元一次方程2．代入消元法的一般步骤：变→代→求→写3．思想方法：转化思想、代入消元思想、方程(组)思想．回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力．第6章一次方程组6.2二元一次方程组的解法第2课时代入法(2)1．会用代入消元法解较复杂的二元一次方程组．2．探索代入消元法解二元一次方程组的过程，感受“消元”思想，进一步加深对二元一次方程组的解法——代入法的理解．重点：用代入消元法解较复杂的二元一次方程组．难点：掌握代入消元法解二元一次方程组的过程．一、情境导入甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？我们可以设甲、乙速度分别为x，y千米/时，得到方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3＋2）x＋3y＝36，,2.5x＋（2＋2.5）y＝36.))可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？二、合作探究探究点一：用代入法解二元一次方程组用代入法解下列方程组：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－19，①,x＋5y＝1；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，①,3x－2y＝5；②))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－9y＝6，①,4x－7y＝13；②))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，①,\f(y＋1,4)＝\f(x＋2,3)．②))解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组(2)可将方程①变形为x＝eq\f(3,2)y，然后代入②求解；对于方程组(3)，比较两个方程系数的特点可知应将方程①变形为x＝3y＋2，然后代入②求解；对于方程组(4)，应将方程组变形为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，③,4x－3y＝－5，④))观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝eq\f(3y＋1,2).解：(1)由②，得x＝1－5y③，把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.把y＝3代入③，得x＝－14.所以原方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－14，,y＝3.))(2)由①，得x＝eq\f(3,2)y③，把③代入②，得3×eq\f(3,2)y－2y＝5，eq\f(5,2)y＝5，得y＝2.把y＝2代入③得x＝3.所以原方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))(3)由①，得x＝3y＋2③，把③代入②，得4(3y＋2)－7y＝13，12y＋8－7y＝13，5y＝5，y＝1.把y＝1代入③得x＝5.所以原方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.))(4)将原方程组整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，③,4x－3y＝－5.④))由③，得x＝eq\f(3y＋1,2)⑤.把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5，3y＝－7，y＝－eq\f(7,3).把y＝－eq\f(7,3)代入⑤，得x＝－3.所以原方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－\f(7,3)．))方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．探究点二：整体代入法解二元一次方程组解下列方程组：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝y－1，①,2（x－2）＋（y－1）＝5；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,3)＝2y，①,2（x＋1）－y＝11.②))解析：分别把(x－2)，(x＋1)看作一个整体代入求解．解：(1)把(x－2)看作一个整体代入②，得2(y－1)＋(y－1)＝5，解得y＝eq\f(8,3).把y＝eq\f(8,3)代入①得x－2＝eq\f(8,3)－1，解得x＝eq\f(11,3).所以方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,3)，,y＝\f(8,3)．))(2)由①，得x＋1＝6y.把x＋1＝6y代入②，得2×6y－y＝11.解得y＝1.把y＝1代入①，得eq\f(x＋1,3)＝2×1，x＝5.所以原方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.))方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．三、板书设计eq\a\vs4\al(解二元一次,方程组)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(基本思路是“消元”,代入法解二元一次方程组的一般步骤))回顾代入法解二元一次方程组的解法，借此探索系数不为±1的二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考，体验并掌握整体代入的思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力．第6章一次方程组6.2二元一次方程组的解法第3课时加减法(1)1．进一步理解解二元一次方程组的基本思想是消元．2．会用加减消元法解二元一次方程组，进一步体会“转化”“消元”思想．重点：用加减消元法解二元一次方程组．难点：熟练、正确地用适当方法解二元一次方程组．一、问题引入上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，那么如何解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1，①,2x－3y＝5②))呢？1．用代入法(消x)解方程组．2．解完后思考：用“整体代换”的思想把2x作为一个整体代入消元求解．3．还有没有更简单的解法？由x的系数相等，是否可以考虑①－②，从而消去x求解？4．思考：(1)两方程相减的依据是什么？(2)目的是什么？(3)相减时要特别注意什么？二、合作探究探究点一：用加减消元法解二元一次方程组用加减消元法解下列方程组：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝7，①,2x－3y＝－1；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝6，①,5x＋2y＝10；②))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋2y＝8，①,－\f(1,3)x＋6y＝16.②))解析：观察(1)中两式x的系数相同，则①－②可消去x；(2)中两式y的系数互为相反数，则①＋②可消去y；(3)中两式x的系数互为相反数，则①＋②可消去x.解：(1)由①－②得8y＝8，解得y＝1.将y＝1代入①式得x＝1.所以原方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))(2)由①＋②得8x＝16，解得x＝2.将x＝2代入①式得y＝0.所以原方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))(3)由①＋②得8y＝24，解得y＝3.将y＝3代入①式得x＝6.所以原方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3.))方法总结：用加减消元法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．探究点二：已知方程的解，求方程的系数已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,2)by＝2，,－ax＋by＝－11.))的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3，))求a，b的值．解：把解代入原方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b＝2①，,－2a－3b＝－11②，))由①＋②得－eq\f(3,2)b＝－9.解得b＝6.将b＝6代入①式得a＝－eq\f(7,2).所以a＝－eq\f(7,2)，b＝6.方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．探究点三：同解方程组已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝－6，,ax－by＝4))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5y＝16，,bx＋ay＝－8))的解相同，求(a＋b)2的值．解析：根据同解方程组的概念，将第一个方程组中2x＋5y＝－6与第二个方程组中的3x－5y＝16重新组合，解出方程组；再代入另外两个方程，组合成方程组，求出相应的字母a，b的值，从而解决问题．解：联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝－6，①,3x－5y＝16.②))①＋②得5x＝10.解得x＝2.把x＝2代入①得y＝－2.把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2))代入eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－by＝4，,bx＋ay＝－8))并整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,b－a＝－4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1.))则(a＋b)2＝(3－1)2＝4.方法总结：根据同解方程组的概念，将方程组重新分配，解出其中一个方程组后，再将解代入另外两个方程，从而求出相应的字母值．三、板书设计用加减法解同一未知数系数绝对值相同的方程组步骤：①使同一个未知数的系数相等则两式相减；使同一个未知数的系数互为相反数则两式相加，从而达到消去一个未知数的目的，使方程变为一元一次方程；②解一元一次方程；③求另一个未知数的值，得方程组的解．进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力．第6章一次方程组6．2二元一次方程组的解法第4课时加减法(2)1．会用加减法解未知数系数的绝对值不同的方程组．2．掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法，经历化二元一次方程组为一元一次方程的过程，理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想方法．重点：用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤．难点：灵活选用适当的方法解二元一次方程组．一、情境导入一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？(1)设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组为________．(2)如何用加减消元法解上述方程组？二、合作探究探究点一：用加减消元法解二元一次方程组用加减消元法解下列方程组：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－3，①,4x＋3y＝20；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝3，①,3x－2y＝15；②))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2)＋\f(2y＋5,3)＝5，①,3x－4y＝－2；②))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－0.3（y－2）＝\f(x＋1,5)，①,\f(y－1,4)＝\f(4x＋9,20)－1.②))解析：(1)观察x，y的两组系数发现两个方程中x的系数存在2倍关系，可以将方程①的两边同乘以2，与方程②中的x系数相同，两式相减即可消去x；(2)观察x，y的两组系数，x的系数的最小公倍数是12，y的系数的最小公倍数是6，所以选择消去y，把方程①的两边同乘以2，得8x＋6y＝6③，把方程②的两边同乘以3，得9x－6y＝45④，把③与④相加就可以消去y；(3)先化简方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝14③，,3x－4y＝－2④，))再把方程③与方程④相减，就可以消去x；(4)先化简方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝14，③,4x－5y＝6.④))观察其系数，方程④中x的系数恰好是方程③中x的系数的2倍，所以应选择消去x.把方程③两边都乘以2，得4x＋6y＝28⑤，再把方程⑤与方程④相减，就可以消去x.解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－3①，,4x＋3y＝20②，))由①×2得4x－10y＝－6③，将②－③，得13y＝26，即y＝2，将y＝2代入①，得x＝3.5，所以方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3.5，,y＝2.))(2)①×2，得8x＋6y＝6③，②×3，得9x－6y＝45④，③＋④，得17x＝51，x＝3.把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3.所以原方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－3.))(3)化简方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝14③，,3x－4y＝－2④，))③－④得8y＝16，y＝2，把y＝2代入③得x＝2.所以方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))(4)化简方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝14，③,4x－5y＝6.④))③×2，得4x＋6y＝28⑤.⑤－④，得11y＝22，y＝2.把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，x＝4.所以原方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2.))方法总结：用加减消元法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数．复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．探究点二：用加减法整体代入求值【类型一】由整体思想求代数式的值已知x，y满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝5，,3x＋y＝－1，))求代数式(x＋y)(x－y)的值．解析：观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值；两方程相加得4x＋4y＝4，从而求出x＋y＝1.解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝5，①,3x＋y＝－1，②))由②－①，得2x－2y＝－1－5，得x－y＝－3.由②＋①，得4x＋4y＝4，得x＋y＝1.所以代数式(x＋y)(x－y)＝1×(－3)＝－3.方法总结：解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．【类型二】由整体思想求参数字母的值已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝3k＋1，,5x＋3y＝k＋1，))且x＋y＝2，求k的值．解析：观察两个方程的系数，可知两方程相加得8x＋8y＝4k＋2，从而求出x＋y＝eq\f(2k＋1,4)，由x＋y＝2列出方程，从而求出k的值．解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝3k＋1①，,5x＋3y＝k＋1②，))由①＋②得8x＋8y＝4k＋2，即x＋y＝eq\f(2k＋1,4)，代入x＋y＝2，得eq\f(2k＋1,4)＝2.解得k＝eq\f(7,2).方法总结：利用整体思想用含参数的代数式表示出已知关系式，根据两式相等得出方程，从而求出参数的值．探究点三：构造二元一次方程组求值已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值．解析：根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n.解：因为xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＋1＝n－1，①,3m－2n－5＝1.②))整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2n＋2＝0，③,3m－2n－6＝0.④))④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以m＝4，n＝3.方法总结：解这类题，就是根据同类项的定义，利用相同字母的指数分别相等，列方程组求字母的值.三、板书设计用加减法解二元一次方程组的步骤：①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；②加减消元；③解一元一次方程；④求另一个未知数的值，得方程组的解．进一步理解用加减法解二元一次方程组的“消元”思想，从系数绝对值相等的方程组，转化为系数为任意数，进一步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生观察、分析问题的能力．第6章一次方程组6．2二元一次方程组的解法第5课时二元一次方程组与实际问题1．会根据问题情境及条件列出二元一次方程组，正确解方程组并检验其解是否合理．2．体会运用二元一次方程组求多项式中的待定系