浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（含答案）

浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1．下列各式是二次根式的是（）A．a2+1 B．−7 C．a 2．下列计算正确的是（）A．8−2=2 B．2+33．下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差：运动员甲乙丙丁平均数（环）9.19.29.19.2方差（环2）3.515.516.53.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”时，应假设（）A．a2≥b2 B．a2≤b2 C．a2>b2 D．a2<b25．若x=2是关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根，则m的值为（）A．1 B．3 C．-1 D．-36．一次足球联赛实行单循环比赛(每两支球队之间都比赛一场)，计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（）A．x(x-1)=15 B．x(x+1)=15 C．12x(x-1)=15 D．12x(7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于直角坐标系的原点O，点D的坐标是（2，1），则点B的坐标是（）A．(-2，-1) B．(-2，1) C．(-1，2) D．(1，2)8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD于点E，连接OE，若菱形ABCD的面积为16，OA＝4，则OE的长为（）A．3 B．2.5 C．5 D．29．已知O是矩形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，AE∥BD相交于点E，连接BE．若要使AD=BE，则可添加的条件的个数为（）①AB=33BC②AB=AE③∠BAE=120°A．1 B．2 C．3 D．410．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=12BD；③BN＋DQ=NQ；④AB+BNA．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(本题有6个小题，每小题3分，共18分)11．一个多边形的内角和为1800度，则这个多边形的边数为．12．若最简二次根式1−a与33可以合并，则a2的值13．如果样本方差是：S2那么x1+x2+x3+⋯+x14．设x1、x2是方程x2+mx−2=0的两个根，且x15．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线CD于点E，∠ABC的平分线交直线CD于点F，AD＝5，EF＝2，则线段AB的长为.16．如图，∆ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，BM=BN，∠ABN=15°（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为3+1时，正方形的边长为三、综合题（第17~19题各6分，第20~22题各8分，第23题10分，共52分）17．计算：（1）43﹣12+18 （2）2x2﹣3x18．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在5×5的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．（1）在图①中画一个以AB为边画一个格点正方形ABCD；（2）在图②中画一个格点平行四边形AEBF，使平行四边形面积为6；（3）在图③中画一个格点菱形AMBN，AMBN不是正方形．（提示：请画在答题卷相对应的图上）19．为了开展阳光体育运动，提高学生身体素质，学校开设了“引体向上”课程．为了解学生做引体向上的情况，现从八年级各班随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图1和图2，请根据有关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为，图1中m的值是；（2）本次调查获取的样本数据（6，7，8，9，10）中，众数为，中位数为；（3）补全条形统计图；（4）根据样本数据，若八年级有280名男生，请你估计该校八年级男“引体向上”次数在8次及以上的人数．20．如图，现有一段旧围墙AB，现打算一边利用该围墙（墙的最大可用长度15米），另外三面用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．（1）怎样围成一个面积为126m的长方形场地？（2）长方形场地面积能达到130m吗？如能，请给出设计方案，如不能，请说明理由．21．如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上.（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若∠B：∠CAD=5：4，22．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+223+22（1）7−43=(a−b3)2，则（2）已知x是4-23的算数平方根，求x2+2（3）当1≤x≤2时，化简x+2x−123．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．了解性质：如图1：已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，则有：AB2+CD2＝AD2+BC2；（图1）（图2）（图3）（图4）（图5）（1）性质应用：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，若AD=2，BC=4，CD=3，则AB=；（2）性质变式：如图2，图3，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．请以图3为例将重要结论证明出来．（3）应用变式：①如图4，在矩形ABCD中，O为对角线交点，P为BO中点，则PA2②如图5，在∆ABC中，CA=4，CB=6，D是∆ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，则AB的最小值是．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、a2+1≥1，则B、−7无意义，故此选项不符合题意；C、当a<0时，a无意义，故此选项不符合题意；D、33故答案为：A.【分析】形如“aa≥02．【答案】A【解析】【解答】解：A、8﹣2=22﹣2=2，故本选项正确．B、2+3≠5，故本选项错误；C、2×3=6，故本选项错误；D、8÷2=4=2，故本选项错误．故选A．【分析】根据二次根式的加法及乘法法则进行计算，然后判断各选项即可得出答案．3．【答案】D【解析】【解答】解：∵乙和丁的平均数较大，∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，∵丁的方差较小，∴选择丁参加比赛，故答案为：D.【分析】根据方差越小成绩越稳定可判断求解.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2⩽b2，故答案为：B.【分析】根据反证法的一般步骤是先假设结论不成立，写出即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：将x=2代入方程x得：4+2m−2=0，解得：m=−1．故答案为：C．【分析】将值代入求解即可.6．【答案】C7．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，∴B与D关于原点O对称，∵点D的坐标为（2，1），∴点B的坐标为（-2，-1），故答案为：A．【分析】根据平行四边形的性质得到点B和点D是关于原点的对称点，进而写出坐标即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：菱形ABCD的面积为12AC⋅BD=16∴AC=8，BD=4，∴在Rt△BDE中，OE=1故答案为：D.【分析】先根据菱形的性质和面积公式求出AC，进而得到BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出即可.9．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OD=OB，∠BAD=∠ABC=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AEDO是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AEDO是菱形，∴∠EAD=∠OAD，DE=AE=OA=OD，∠BDA=∠EDA①当AB=33BC时，BC=∴DE=AE=OA=OD=AB=DC=1∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO=∠BOA=60°，∴∠ADB=∠DAC=∠EAD=∠EDA=30°，∴∠EDB=∠ACD=60°，∵DE=CD，AC=BD，∴△ACD≌△BDE，∴AD=BE，①正确，②当AB=AE时△AOB是等边三角形，同理可证AD=BE，②正确；③当∠BAE=120°时∠EAD=30°，∴∠BAO=60°，则△AOB是等边三角形，同理可证AD=BE，③正确；④当∠BED=90°时，设AC与BE交于点F，连OE，如图所示，∵∠BED=90°，OB=OD，∴OB=OE=1∵DE∥AC，∴AC⊥BE，∴AF是BE的垂直平分线，∴AB=AE∴CD=AB=AE=DE，在Rt△BDE和Rt△ADB中，BD=BDDE=AB∴Rt△BDE≌Rt△DBA(HL)，∴AD=BE，④正确；∴可添加的条件是①②③④．故答案为：D．【分析】先根据矩形的性质得到对角线评分且相等，进而证出四边形AEDO是菱形，根据勾股定理求出AC，得到△AOB是等边三角形，再利用SAS求出△ACD≌△BDE，可证出①；根据等边三角形的性质可证出②③，最后通过证明Rt△BDE≌Rt△DBA(HL)证出④.10．【答案】D【解析】【解答】解：①连接AC、AN，AC交BD于点H，如图1所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，AH=CH，∠DBC＝∠ABD＝45°，∵∠AMN＝∠ABC＝90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，∴∠ANM＝∠NAM＝45°，∴AM＝MN，①正确；②∵∠MAH+∠AMH=90°，∠PMN+∠AMH=90°，∴∠HAM＝∠PMN，∵∠AHM＝∠MPN=90°，AM＝MN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN（AAS），∴MP＝AH＝12AC＝12BD，③将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，如图2所示，

则AR=AQ，∠BAR=∠DAQ，∠ABR=∠ADQ=90°，∴R、B、N三点在同一直线上，∵∠BAN＋∠QAD＝∠NAQ＝45°，∴∠RAN=∠QAN=45°，又∵AN=AN，∴△RAN≌△QAN（SAS），∴RN=QN，即BN＋DQ＝NQ，③正确；④作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，如图3所示，

∵点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW，∵∠AMN=∠SMW=90°，∴∠AMS=∠NMW，又∵∠ASM=∠NWM=90°，∴△AMS≌△NMW（ASA），∴AS＝NW，∴AB＋BN＝SB＋BW＝2BW，∵BW：BM＝1∶2，∴AB+BNBM=2故答案为：D．【分析】连接AC、AN，AC交BD于点H，根据正方形的性质可得A，B，N，M四点共圆，进而可得∠ANM＝∠NAM＝45°，可证出①；根据同角的余角互余可得∠HAM＝∠PMN，再根据全等三角形的判定AAS证明Rt△AHM≌Rt△MPN，可证出②；将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，根据旋转的性质和全等三角形的判定SAS可推得△RAN≌△QAN，进而可证出③；作MS⊥AB于S，MW⊥BC于W，根据ASA可证得△AMS≌△NMW，再根据等腰直角三角形的性质可证出④．11．【答案】12【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，则(n−2)×180°=1800°，解得：n=12．故答案为：12．【分析】根据多边形的内角和公式求出即可.12．【答案】2【解析】【解答】解：由题意得：1−a=3，解得：a=−2．∴a2∴a2故答案为：2．【分析】根据同类二次根式的定义求出a，再进行计算即可.13．【答案】30【解析】【解答】解：由s2∴x1故答案为：30．【分析】根据方差公式先确定数据的平均数，再得出即可.14．【答案】4【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程∴x1+x∵x1∴−m=2×(−2)，∴m=4.故答案为：4.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1·x2=ca得x1+x15．【答案】8或12【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝5，AB＝CD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，又∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA，∴∠DAE＝∠AED，则AD＝DE＝5；同理可得，CF＝CB＝5，当点F在D、E之间时，如图1，∵EF＝2，∴AB＝CD＝DE+CE＝DE+（CF-EF）＝5+5-2＝8；当点F在C、E之间时，如图2，∵EF＝2，∴AB＝CD＝DE+EF+CF＝5+2+5＝12.故答案为：8或12.【分析】根据平行四边形的性质可得BC=AD=5，AB=CD，由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，根据平行线的性质可得∠EAB=∠DEA，进而推出AD=DE=5，同理可得CF=CB=5，当点F在D、E之间时，根据AB=CD=DE+CE=DE+(CF-EF)进行计算；当点F在C、E之间时，根据AB=CD=DE+EF+CF进行计算.16．【答案】2【解析】【解答】解：∵△ABE为正三角形，∴∠ABE=60°，AB=BE∴∠NBE=∠ABE−∠ABN=45°∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=45°∴∠ABD=∠NBE．在△AMB和△ENB中BM=BN∠MBA=∠NBE∴△AMB≌△ENB（SAS）∴AM=EN在△MBN中，∠ABD+∠ABN=60°又∵BM=BN，∴△MBN为等边三角形，∴MN=BM．∵AM+BM+CM最小值为3+1∴EN+MN+CM的最小值为3+1即CE=3过点E作EF⊥BC交CB的延长线于F，如图所示，

可得∠EBF=90°−60°=30°．设正方形的边长为x，则BF=32x，在Rt△EFC，∵EF∴(解得x=2∴正方形的边长为2．故答案为：2．【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定SAS可证出△AMB≌△ENB，进而得到△MNB是等边三角形，得到CE，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于F，求出∠EBF=30°，再根据勾股定理求得正方形的边长即可.17．【答案】（1）解：43-12+=23+3=43−2=23+3（2）解：2x2﹣3x﹣1＝0x2−x2−32x+9x−34x1=3+17【解析】【分析】（1）先化简再合并同类二次根式即可.（2）利用配方法解方程即可．18．【答案】（1）解：画一个以AB为边画一个格点正方形ABCD，如图所示，（2）解：画一个格点平行四边形AEBF．如图所示，S▱AEBF（3）解：画一个格点菱形AMBN，AMBN不是正方形，如图所示，【解析】【分析】根据正方形、平行四边形、菱形的性质分别作图即可.19．【答案】（1）40；15（2）7；8（3）解：（4）解：280×10+8+440答：估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上人数有154人.20．【答案】（1）解：设CD=xm，则DE=（32-2x）m，由题意得：x（32﹣2x）=126，整理得x2﹣16x+63=0，解得x1=9，x2=7，当x1=9时，（32﹣2x）=14当x2=7时，（32﹣2x）=18＞15（不合题意舍去）∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．（2）解：设CD=ym，则DE=（32-2y）m，由题意得y（32﹣2y）=130整理得y2﹣16y+65=0△=（﹣16）2﹣4×1×65=﹣4＜0故方程没有实数根，∴长方形场地面积不能达到130m2．21．【答案】（1）证明：∵ΔABC≅ΔEAD，∴AD=BC，AB=AE，∠B=∠DAE，∴∠B=∠AEB，∴∠DAE=∠AEB，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：由（1）知AD//∴∠CAD=∠ACB，∵∠B：∴∠B：设∠B=5x，∠ACB=4x，∵AE⊥ED，∴∠AED=90°，∵ΔABC≅ΔEAD，∴∠BAC=∠AED=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴5x+4x=90°，∴x=10°，∴∠B=∠ADC=50°，∠ADE=∠ACB=4x=40°，∴∠EDC=10°.【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得AD=BC，AB=AE，∠B=∠DAE，由等腰三角形的性质可得∠B=∠AEB，则∠DA