湖北省武汉市新洲区部分学校2024−2025高二上学期期末联考数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页湖北省武汉市新洲区部分学校2024−2025高二上学期期末联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（

）

A． B．1 C． D．3．苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．4．已知等差数列，则是成立的（

）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要5．已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．若，则 D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．若圆：与圆：恰有三条切线，则的最大值为A． B．-3 C．3 D．8．如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间向量，，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若在上的投影向量为，则D．若与夹角为锐角，则10．设为坐标原点，直线过抛物线C：y2=2pxp>0的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（

）A．B．的最小值为C．若，则D．若，则直线的斜率为2或11．在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（

）A．三棱锥的体积为3B．二面角的余弦值为C．球的表面积为D．若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为三、填空题（本大题共3小题）12．记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为.13．在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为.；当焦点在轴时，双曲线的渐近线为.14．棱长为2的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最大时，三棱锥外接球的体积为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求直线的方程.16．设是公差不为零的等差数列，，.(1)求和；(2)求的前项和.17．已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.(1)求双曲线的标准方程；(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.18．如图，直角梯形中，，，，为的中点.平面外一点满足：，且.(1)证明：平面；(2)存在线段上一点，使得二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.19．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为．(1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；(2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；(3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由．

参考答案1．【答案】D【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案.【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以，故选：D2．【答案】C【详解】由又，则，所以，故选：C．3．【答案】A【详解】由题意，知该圆锥底面圆的半径为，设该圆锥的母线长为，高为.由，得，，所以该圆锥的体积.故选：A.4．【答案】B【分析】正面证明得到充分性成立，举反例否定必要性即可.【详解】当时，由等差数列下标和性质得显然成立，故充分性成立，设首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立，无法推出，可得必要性不成立，即则是成立的充分不必要条件.故选:B5．【答案】C【分析】由线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理可判定选项A、C，其它易证.【详解】若，因为平面，，所以，同理，过m上一点做直线n的平行线，则，设由m和确定的平面为，则，而，，同上可知，故，选项C正确；有可能，所以选项A错误；由上可知，且，所以，或，选项B错误；如上图，不一定成立，选项D错误.故选：C6．【答案】B【详解】解：设关于平分线的对称点为，则三点共线，设，则，又，所以为等边三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故选：B.

7．【答案】A【详解】由题意，圆，可化为，可得圆心，半径为，圆可化为，可得圆心，半径，又由圆恰有三条切线，所以两圆相外切，即，可得，即，设，则，当时，取得最大值，此时最大值为.故选：A.8．【答案】D【分析】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，由平方后求得，取中点E，连接，则，中应用余弦定理求得，两者结合和是与的关系，从而求得结论．【详解】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，因为，所以，又，所以，,，则，所以，取中点E，连接，则，，,,在中，，即，所以，即，又因为，所以，因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是．故选：D．9．【答案】ABD【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；对于B：结合向量的四则运算即可求解；对于C：利用投影的几何意义即可求解；对于D：根据向量的夹角公式即可求解.【详解】对于A：，，即：，解得：.故A选项正确；对于B：，，解得：.故B选项正确；对于C：在上的投影向量为：，即，代入坐标化简可得：，无解，故C选项错误；对于D：与夹角为锐角，，解得：，且与不共线，即，解得：，所以与夹角为锐角时，解得：.故D选项正确；故选：ABD.10．【答案】AB【详解】如图：对于A：根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为，由，故A正确；对于B：因为抛物线方程为，所以F1,0.根据抛物线的定义，，所以，故B正确；对于C：记直线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以.根据抛物线的定义：，，所以，故C错误；对于D：当时，直线斜率存在且不为0，设直线：y=kx-1.代入得：，整理得：.设Ax1,y1，Bx2,y2，则，由解得，故D错误.故选：AB11．【答案】ACD【详解】对A：根据题意，连接，作图如下：

由题可知为正三棱锥，故点为△的中心，又底面是边长的等边三角形，故，因为面面，故，则由勾股定理可得：；又等边三角形的面积为，故，故A正确；对B：连接，取AB中点为，连接，如下所示：

由A可知，，同理可得，又，故△，则，故，且；又，故，又面面，面面，故即为二面角的平面角；在△中，，在△中，；在△中，，则由余弦定理可得：，故B错误；对C：设内切球的半径为，的表面积为，则，则，故可得；又，故，则球的表面积为，故C正确；对D：易知在上，在上取点，使得，过作平面的平行平面，交于点，如下所示：

显然也为正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球；又，故，设球半径为，三棱锥表面积为，则由C所得公式，以及三角形相似可得：，故球的半径为，故D正确.故选：ACD.12．【答案】【详解】由题意得，.∵，∴，即，∴，∵，∴，∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列，∴.故答案为：.13．【答案】【详解】椭圆和双曲线的对称性相同，不妨设两个曲线的焦点都在轴，设两个曲线标准方程分别为：，，设两个曲线的焦点为，设为两曲线在第一象限的交点，设，由椭圆和双曲线的定义可得：，因为两曲线的交点与两焦点共圆，所以有，于是有，把的结果代入中，得，设椭圆的离心率为，因为双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，所以有，代入中，得，所以椭圆的离心率为；，代入中，得，所以双曲线的渐近线为，故答案为：；14．【答案】【详解】解：取为的中点，为的中点，连接，则且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又为的中点，为的中点，所以，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，所以点在线段上，因为垂直平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，由，则当最小时，直线与平面所成角最大，此时为的中点，如图以点为原点建立空间直角坐标系，则，设三棱锥外接球球心的坐标为，则，解得，所以三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的体积为.故答案为：.15．【答案】(1)(2)或【详解】（1）设圆的方程为，则，解得，故圆的方程为；（2）由（1）知，圆心为，半径为，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.16．【答案】(1)，.(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，∴，即，由等差数列的性质得，，由得，，即，

由得，，联立方程可得，，

∴，.（2）由得，时，，时，.当时，，

当时，，∴.17．【答案】(1)(2)或．【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线为等轴双曲线，所以设所求双曲线方程为，，又双曲线经过点，所以，即，所以双曲线的方程为，即．（2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，所以直线的方程为，所以原点到直线的距离，联立，得，所以且，所以，且，所以，所以的面积为，所以，解得，所以，所以直线的方程为或．18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，连接与的交点记为点，即又，且，平面，平面，又平面，又，平面，平面.（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，平行于为轴，建立空间直角坐标系，则，，设，则，即点则，设平面的法向量，由，取，则，易知，平面的一个法向量为，二面角的余弦值为，，整理得，解得（舍）或.，此时点为线段靠近点的三等分点，点到平面的距离，又，三棱锥的体积为.19．【答案】(1)或；(2)，(3)垂心在椭圆上，理由见解析【详解】（1）因为