云南省普洱市景东彝族自治县漫湾镇中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

第页，共页第19页，共19页高一数学（满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项1.答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑：回答非选择题时，用0.5毫米黑色迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知向量满足：，则（）A.1 B.3 C. D.10【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算律，结合模长公式求解即可.【详解】由由，得，所以，故选：D．2.在中，角的对边分别为，若，则（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由正弦定理求得，可得为等腰直角三角形，可求得.【详解】由，得，即，所以，则，则为等腰直角三角形，所以，故选：B．3.在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【答案】A【解析】【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.【详解】因为，所以，所以，设的中点为，则，则，所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心.故选：A4.已知点为外接圆的圆心，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出是以为直角的等腰直角三角形，结合投影向量的定义可得出结果.【详解】因为，所以，，即，即为的中点，所以是圆的直径.又因为，所以是以为直角的等腰直角三角形.所以，，所以在上投影向量为.故选：B.5.已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的计算方法，结合题干条件易得结果.【详解】设非零向量夹角为，向量在向量方向上的投影向量是，则，又，解得．故选：C.6.在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可.【详解】，，，，，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为.故选：D.7.在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中，即，所以，，又因为，则，，其中、均为正数，且有，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故则的最小值是.故选：A.8.已知点均在圆上，若有，则必有平分圆O.则满足要求的的个数为（）A.0个 B.仅有1个 C.仅有2个 D.3个或以上【答案】C【解析】【分析】分，，三种情况讨论可判定结论.【详解】由，当时，两向量共线反向，平分圆，符合题意，当，由，设圆的半径为1，变形可得，两边平方可得，所以，解得，因为，所以，同理可得，，所以平分圆，若时，当为偶数时，只要分为对，每对共线，可得，比如过圆心的两条直线与圆相交的四个点，满足，但不平分圆，所认不一定平分圆，故不符合题意，当为奇数时，可分三个点，使这三个向量满足，可得平分圆，另外剩余的一定是偶数点，由前面知道，这些点可分组，但不一定平分圆，故可得不一定平分圆，综上所述，可得只有与符合题意，故选：C.【点睛】思路点睛：分类讨论是解决本题的关键，掌握向量的有关运算与性质是基础.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于同一平面内的任意三个向量，下列四种说法错误的有（）A.B.若，且，则C.若，则或D.【答案】ABC【解析】【分析】对A，根据向量的数量积不满足结合律可判断，对B，若，则不一定成立，对C，根据向量及向量模的概念可判断，对D，由向量模的三角公式可判断.【详解】对于A：因为向量的数量积不满足结合律，故选项A错误；对于B：若，则不一定成立，故选项B错误；对于C：，但是与不一定是共线同向或反向，故选项C错误；对于D：，故选项D正确；故选：ABC．10.在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据三角形各心的性质结合向量的加减法则即可求得.【详解】A选项：为垂心，为高线的交点，则，选项A正确．B选项：，选项B正确；C选项：，选项C正确；D选项：，选项D错误；故选：ABC11.在锐角中，已知角的对边分别为，且，，则下列说法正确的是有（）A.的外接圆的周长为B.的周长的取值范围为C.的面积的取值范围为D.的内切圆的半径的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】将条件式利用正弦定理和三角恒等变换求得，，对A，由正弦定理求解判断；对B，利用正弦定理边化角并结合角的范围求解；对C，利用三角形面积公式结合正弦定理边化角并结合角的范围求解；对D，由内切圆，结合余弦定理，可得，结合B选项求解判断.【详解】由，得到，得到，由，得到，则，得到.因为为锐角三角形，则，且，得对于A选项：，即，外接圆周长为，故选项A错误；对于B选项：周长，，，，则，所以周长的取值范围为.故选项B正确；对于C选项：的面积，，，，.故选项C正确；对于D选项：，得，因为内切圆，则，由选项B，知，，故选项D正确；故选：BCD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．【答案】且【解析】【分析】因夹角为锐角可知数量积大于0，但要去掉夹角为0的情况.【详解】由题意知，得，当时，，得故答案为：且13.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为________.【答案】1【解析】【分析】由，为上一点，且满足，可求得，再用及表示出及，进而求数量积即可.【详解】由，可得，又，，三点共线，则有，由于，所以，即，又，且，，，故.故答案为：1.14.已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】利用向量的加减法运算，求出，即可得出，运用向量的数量积运算求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最小值.【详解】解：由题可知，平行四边形的图象如下：设，，，，则，所以，又，则有：，解得：，即，平行四边形的面积为，即，，，即：，，即：，，即，所以，，当且仅当：时，取等号，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的应用，涉及向量加减法运算、向量的数量积运算和模以及运用基本不等式求最值，考查转化思想和计算能力.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量满足，设与的夹角为，（1）若对任意实数，不等式恒成立，求的值；（2）根据（1）中与的夹角值，求与夹角的余弦值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解；（2）分别求出，再利用夹角公式即可得解．【小问1详解】将不等式两边同时平方，得，即因为，与的夹角为，则恒成立，所以，化简得，解得．【小问2详解】由（1）知，则，，则，则，故与夹角的余弦值为.16.三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花!（1）如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值.（2）如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解.（2）根据平面向量线性运算法则得到，再由点分所成的比为，得到，即可得到，设，则，最后由基本不等式计算可得.【小问1详解】设，则，，又，所以，又，所以，所以，所以．【小问2详解】因为，又点分所成的比为，即，所以，则，设，则，当或时，当时，当且仅当，即时取等号．即的最小值为．17.三角形中，分别是角对边，已知点是AB的中点，点在线段上，且，线段CD与线段交，（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若点是三角形的重心，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得；（2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值；（3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得，整理得，故，因为，所以.【小问2详解】如图，由题意可得，因为三点共线，故可设，又因三点共线，故，所以，故.【小问3详解】因为所以，因为，所以，于是，两边平方化简得：，当且仅当时取等号，所以，即.所以的最小值为.18.如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点．（1）用和表示；（2）若，求实数；（3）过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据及即可求解；（2）设，可得，根据三点共线可求，又根据，即可得实数的值；（3）设，可得是的中心，故，根据三点共线，得.由，，可得，根据及基本不等式求出的最小值，从而可求解.【小问1详解】由题意可得，所以.【小问2详解】设，由（1）得，所以,即.因为三点共线，所以，解得,所以，又.所以，解得.【小问3详解】设，因为分别是的中点，所以是的重心，所以.因为三点共线，所以，即.所以，，所以.因为，所以，即,所以，当且仅当时等号成立，所以.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.（1）已知，求；（2）若向量，求证：；（3）记，且满足，求的最大值.【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用新定义计算即得.（2）由新定义证得，，即可证明.（3）设，并表示出，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，结合正弦函数的性质即可