四川省成都市都江堰市领川实验学校2024-2025学年高二下学期入学考试 数学试卷（含解析）

领川实验中学高2023级高二下学期入学考试数学试卷一、单选题1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（）A极差 B.平均数 C.中位数 D.众数【答案】C【解析】【分析】利用极差，平均数，中位数和众数的定义进行求解，得到答案.【详解】由题得众数为2，极差为，平均数为，中位数为．故选：C2.直线与直线垂直，垂足为，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得．详解：∵直线与直线垂直，∴，∴，∴直线方程即为．将点的坐标代入上式可得，解得．将点的坐标代入方程得，解得．∴．故选B．点睛：本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题．3.点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接代入点到直线距离公式，即可得解.【详解】直线方程，即，点到直线的距离，故选：B.4.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A.①反映建议（2），③反映建议（1） B.①反映建议（1），③反映建议（2）C.②反映建议（1），④反映建议（2） D.④反映建议（1），②反映建议（2）【答案】B【解析】【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.故选：B.【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象变化的规律，此题为基础题.5.已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.【详解】圆的方程可化为，其圆心坐标为，半径为，当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.故选：C6.与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（）A.椭圆 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.圆【答案】B【解析】【分析】设所求动圆圆心为，圆的半径为，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的标准方程为，圆心为，半径为，设所求动圆圆心为，圆的半径为，由于动圆与圆、圆均外切，则，所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.故选：B.7.已知直线，相互平行，且，间距离为，则a的值为（）A. B.6 C.或 D.6或-4【答案】C【解析】【分析】根据两平行直线之间的距离公式即可求出．【详解】即，所以，间的距离为，解得或．故选：C．8.已知圆，则的最小值为A.10 B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】根据两点之间的距离公式，可得表示圆x2+y2-2x+4y-20=0上的点到原点的距离.根据图形，结合两边之差小于第三边，可知此距离的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的距离，进而求解.【详解】，.圆心为（1，-2）半径为5.又，结合图形可知所求的最小值为.故选B.【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了与圆的性质有关的最值问题，考查了数形结合和转化的思想方法，解答本题的关键是理解代数式所对应的几何意义.二、多选题9.已知等差数列，前项和，则（）A. B.C. D.为公差为的等差数列【答案】AC【解析】【分析】A.由，令求解；B.由求解；C.由求解；D.由判断.【详解】解：因为等差数列，前项和，所以，故A正确；，则，故B错误；，故C正确；，所以为公差为1的等差数列，故错误；故选：10.等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（）A.d＜0 B.C.当n＝5时最小 D.时n的最小值为8【答案】BD【解析】【分析】利用等差数列基本量计算以及等差数列前n项和公式进行判断.【详解】A：因为数列递增，故，故A错；B：因为，根据基本量展开，即，因为，所以，故B正确；C：由可知，所以前3项均为负数，故最小时，n为3或4.故C错；D：，，故当时，n最小值为8.故选：BD11.已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（）A. B.E的离心率等于C.的内切圆半径是 D.双曲线渐近线的方程为【答案】AB【解析】【分析】由几何关系得轴，再由离心率，渐近线的概念对选项逐一判断，【详解】因为M，O分别是，的中点，所以在中，，所以轴，对于A，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确，对于B，中，，，，所以，得：，故B正确，对于C，的周长为，设内切圆半径为r，根据三角形的等面积法，有，得：，故C错误，对于D，，双曲线渐近线的方程为，故D错误，故选：AB三、填空题12.经过两圆和的交点的直线方程为__．【答案】【解析】【分析】将两个圆的标准方程化为一般方程，然后作差，得到公共弦方程．【详解】解：的一般方程为：①，的一般方程为：②，①②可得，，即，所以两圆公共弦方程为，故答案为：．13.观察下列各式：，则____________．【答案】29【解析】【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第七项．根据数列的递推规律求解【详解】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第七项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，…，第七项为29，即．故答案29．【点睛】本题考查归纳推理，考查了数列的通项问题，需要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．14.袋中有红球､黑球､黄球､绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黄球的概率是__________.【答案】【解析】【分析】设事件分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，根据题意结合互斥事件的概率加法公式，列出方程组，即可求得答案.【详解】解：设事件分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，则事件两两互斥，根据题意，得，即，解得，所以得到黄球的概率是.故答案为：.四、解答题15.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为，离心率为；（2）x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得，结合椭圆的焦点在轴和上，分类讨论，即可求解；（2）设椭圆的标准方程为，根据题意求得的值，即可求解.【小问1详解】解：由题意，椭圆的长轴长为，离心率为，可得，可得，则，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为.综上，椭圆的方程为或.【小问2详解】解：由题意，设椭圆的标准方程为，如图所示，为椭圆的一个焦点，分别为短轴的两个端点，且焦距为，则为一等腰直角三角形，所以，所以，故所求椭圆的标准方程为.16.已知直线l经过两直线与的交点P，且垂直于直线．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出交点的坐标，再由题意设直线为，将点坐标代入求出，从而可求得直线l的方程；（2）求出直线l与两坐标轴的交点坐，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【小问1详解】由，得，即点，由题意设直线为，因为直线过，所以，得，所以直线l的方程为；【小问2详解】当时，，当时，，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为.17.已知等差数列中，（1）求数列的通项公式（2）求数列的前项和及【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出关于的方程组即可得解；（2）利用等差数列的前项公式即可得解.【小问1详解】依题意，设数列的首项是，公差是，因为，所以，解得，所以数列的通项公式.【小问2详解】因为，所以，则.18.已知椭圆的左右焦点为为其上顶点，正三角形（1）求椭圆的离心率；（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于的面积是，求椭圆的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合正三角形特征可得，求出离心率作答.（2）由（1）可得椭圆C的方程，再把直线方程与椭圆方程联立结合给定条件，求出半焦距c作答.小问1详解】设，显然，因为为正三角形，则，所以椭圆的离心率.【小问2详解】由（1）知，，椭圆的方程为：，显然，由消去y并整理得：，，即有，设，则有，，因此，整理得，满足，点O到直线的距离，，的面积，解得，所以椭圆的方程为.19.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【解析】【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为．设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为k，则．令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设．因为，所以．于是，所以则直线的斜率为．当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．【整体点评】方法一根据向量关系