湖南省永州日升高级中学2024-2025学年高三下学期2月份月考数学试题（解析版）

第页，共页第17页，共17页2025年上期日升高级中学高三2月份月考数学时量：120分钟满分：150分一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算先求出复数z，再求模长.【详解】因为，所以，所以，故故选：C2.已知集合，则集合中元素个数是（）A0个 B.1个 C.2个 D.无数个【答案】D【解析】【分析】根据集合是由两条直线上的所有点组成的集合可得答案.【详解】因为等价于或，所以集合是直线和直线上的所有点组成的集合，所以集合中的元素个数有无数个.故选：D3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（）A.8 B.6 C. D.0【答案】D【解析】【分析】由，，成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.【详解】，，成等比数列，，，化为，解得，则.故选：D.4.已知随机变量，且，则的最小值为（）A.9 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.【详解】根据正态分布的对称性及已知，有，可得，则，故，当且仅当，则时取等号，综上，目标式的最小值为3.故选：B5.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用两角和的正切公式求出，然后利用二倍角公式以及“1”的代换，结合弦化切，转化为，求解即可．【详解】解：因为，解得，所以．故选：D．6.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用等价转化的方式探讨“”与“”的关系而得解.【详解】因为，所以，从而有“”是“”充要条件.故选：C.7.已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点，即可求出，设的中点为，则，根据数量积的几何意义得到，即可得解.【详解】圆的圆心为，半径，直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又，所以当时，弦的长度取得最小值，即，设的中点为，则，所以.

故选：C8.已知半球的底面与圆台的下底面完全重合，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台的母线长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圆台及半球的轴截面，借助几何图形用圆台上底面圆半径表示出母线求解.【详解】半球的底面与圆台的轴截面，如图，设圆台上底面圆半径为，则，母线，圆台侧面积，当且仅当，即时取等号，此时，所以圆台侧面积取最大值时，圆台的母线长为.故选：C二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的是（

）A.某组数据的经验回归方程一定过点B.数据，，，，，，19，的分位数是C.甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18D.若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为4【答案】ACD【解析】【分析】根据经验回归方程必过样本中心点即可判断A；根据百分位数的定义即可判断B；根据分层抽样的性质即可判断C；根据方差的性质即可判断D.【详解】对于A，经验回归方程必过样本中心点，故A正确；对于B，将数据按从小到大的顺序排列为，因为，所以分位数是，故B错误；对于C，由题意，各层人数分别为，所以样本容量为18，故C正确；对于D，若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为，故D正确.故选：ACD.10.已知为圆上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）A.始终关于原点对称B.圆与关于原点对称C.与上的点的最小距离为6D.与上的点的最大距离为12【答案】BC【解析】【分析】设出点的坐标，表示出点的坐标，再结合圆上的点与一个图形上点的距离最值求法逐一分析求解.【详解】圆的圆心为，半径为2，对于A，设，由，得，则关于原点不一定对称，A错误；对于B，由在圆上，则，化简得到，是以为圆心，2为半径的圆，圆与关于原点对称，B正确；对于C，由选项B知，两圆的圆心距离为，即两圆外离，与上的点的最小距离是的圆心距离再减去两圆半径和的差，即，C正确；对于D，与上的点的最大距离是的圆心距离再加上两圆半径和，即，D错误.故选：BC11.在正方体中，分别为棱的中点，则（）A.平面B.C.直线与直线所成角D.若，则平面四点共面【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明可判断AB正确；由异面直线的向量求法可得C错误，由向量的坐标运算，根据空间向量共面定理可判断D正确.【详解】在正方体中，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，对于A，，设平面的一个法向量，因为平面，所以平面，A正确；对于B，因为，所以，B正确；对于C，设直线与直线所成角为，则，又，所以，C错误；对于D，因为，所以，则，设，则，解得，所以，所以共面，所以四点共面，可得D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知分别是曲线和直线上的点，则的最小值为______．【答案】##【解析】分析】平移直线与曲线相切，求出切点坐标，再利用点到直线距离公式计算即得.【详解】平移直线与曲线相切，设切点坐标为，由，求导得，依题意，即，而，解得，因此切点坐标为，所以的最小值为.故答案为：13.已知等差数列的前项和为，且，则数列的前6项和为__________.【答案】【解析】【分析】设出公差，根据条件得到方程，求出公差，通项公式，从而得到，求出前6项，求和即可.【详解】设公差为，则，，，解得，则，所以，故的前6项和为.故答案为：14.若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】变形得到，令，则表示点与圆上的动点连线的斜率，设出直线的方程为，由点到直线距离公式得到不等式，求出答案.【详解】，注意到，所以，令，则表示点与点连线的斜率，因为，所以点在圆上，所以表示点与圆上的动点连线的斜率，直线与圆有公共点，当直线斜率不存在时，直线与圆无公共点，直线斜率存在，设直线的方程为，即，则，解得，即的最大值为，所以.故答案为：四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.15.如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，.（1）当时，求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可；（2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】取的中点，连接，因为三棱柱为直棱柱，且为正三角形，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，根据已知条件得、、、、，当时，，则，所以，，，所以，，所以，，又，、平面，所以平面.【小问2详解】易知，则，当时，点，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，故当时，求直线与平面所成角正弦值为.16.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，点为的图象的一个对称中心.（1）求的解析式；（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值和最小值互为相反数，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据周期求解，利用对称可得，即可求解；（2）平移可得，即可利用整体法，结合三角函数的性质即可求解.【小问1详解】设的最小正周期为，则，所以，因为，所以，因为，所以，所以；【小问2详解】依题意，，因为，所以，当时，的最大值为，最小值为，不符题意；当时，的最大值为1，所以的最小值为，所以，解得，所以的最小值为.17.已知函数．（1）当时，证明函数在单调递增；（2）若函数在有极值，求实数a的取值范围；（3）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数．【答案】（1）证明见解析（2）（3）1个【解析】分析】（1）求导通过，即可求证；（2）由题意可得在有解，再由的单调性，结合零点存在性定理构造不等式求解即可；（3）由切线方程求得，再通过函数的单调性即可求解；【小问1详解】当时，由，可得，因，则，又因为，则，所以函数在单调递增；【小问2详解】，因为函数在有极值，所以在有解，又因为在单调递增，需使，即，所以，解得，故实数a的取值范围为；【小问3详解】因为函数在点处的切线方程为，所以，且，解得．故则，当时，，即在单调递增，因，所以在没有零点；当时，，此时函数有一个零点：当时，，即在没有零点．综上所述，函数的零点个数为1个．18.已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点.（1）若，求的值；（2）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.【答案】（1）3（2）8【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点及准线，利用给定的向量等式，结合抛物线定义求解.（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用导数的几何意义求出直线方程及交点坐标，再求出三角形面积的函数并求出最大值.【小问1详解】抛物线的焦点，准线，设，由，得，即，所以.【小问2详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由得：，，，由，得，求导得，则切线的方程为，即，同理，切线的方程为，由，解得，即，则点到直线的距离为，由，化简得：，因此，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为8.19.已知数列的前n项和为，若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”．记，称数列为的“余项数列”．（1）若的前四项依次为，试判断是否为“X数列”，并说明理由；（2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；（3）已知的正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）依次求出，再根据“X数列”定义进行判断即可.（2）由先求出数列通项公式，再依据“X数列”定义进行推算证明即可，接着由“余项数列”的定义公式进行计算即可.（3）先探究得出“余项数列”公差情况，再讨论时推出矛盾得到，接着探究时若得出矛盾，从而得出，进而得出即可进一步推出.【小问1详解】不是“X数列”，依题意，，则，，不符合题意，所以不是“X数列”.【小问2详解】由，得当时，；当时，，而不满足，因此，令，即，则当时，有，解得；当时，，则，而，于是