湖北省十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二3月月考数学试卷一､单选题（每题5分共40分）1.已知数列满足，则（）A.2 B. C. D.2024【答案】B【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由，可得，同理可得，所以数列是周期为3的数列，则.故选：B.2.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的导函数计算判断A，B，C，应用乘法求导运算判断D.【详解】因为所以A选项错误；因为，所以B选项错误；因为，所以C选项错误；因为，所以D选项正确.故选：D.3.已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义及通项公式即可得.【详解】，，即，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.故选：C.4.记等比数列的前n项和为，若，，则（）A.24 B.28 C.48 D.84【答案】D【解析】【分析】利用等比数列前n项和的性质即可得解.【详解】由等比数列的性质，得成等比数列，所以，又因为，，即，解得．故选：D.5.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】求，利用导数的几何意义可求的值.【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∴，∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴，即，故.故选：D.6.已知，则（）A. B. C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】根据导数定义可得，求得得解.【详解】由，可得，即，又，则，所以.故选：D.7.过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，利用导数表示出在点处的切线方程和在点处的切线方程，再代入点，化简即可得到结果.【详解】设，由，得，曲线在点处的切线方程为，把代入切线方程，得，化简得，同理可得曲线在点处的切线方程为，都满足直线，直线的方程为.故选：A8.若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解.【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点，而函数在上单调递增，则或，解得或，所以实数a的取值范围是.故选：C二､多选题（每题6分共18分）9.已知数列的前项和为，下列说法正确的有（）A.若，则数列是等差数列B.若数列是等差数列且，，则当时，取得最大值C.若数列是等比数列，则，，成等比数列D.若数列是等差数列，则【答案】BD【解析】【分析】对于A，利用与间的关系，求出，即可求解；对于B，根据条件得，，即可求解；对于C，取，当为偶数时，，即可求解；对于D，利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解.【详解】对于选项A，因为①，当时，②，由①②得到，又时，，不满足，所以，则，数列不是等差数列，故选项A错误，对于选项B，因为，且，则公差，由，得到，所以，故当时，取得最大值，所以选项B正确，对于选项C，取，为等比数列，且首项为，公比为，当为偶数时，，此时，，不成等比数列，所以选项C错误，对于选项D，因数列是等差数列，则，所以选项D正确，故选：BD.10.函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（）A.是函数的极值点 B.在区间上单调递增C.是函数的最小值点 D.在处切线的斜率小于零【答案】AB【解析】【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解.【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；则是函数的极小值点，故A正确；在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确．故选：AB11.设函数则下列说法正确的有（）A.函数仅有1个零点B.是的极小值点C.函数的对称中心为D.过可以作三条直线与的图象相切【答案】ACD【解析】【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D.【详解】对AB，，，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以，，又，所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A正确，B错误；对C，由，得，所以函数的图象关于对称，故C正确；对D，设切点为，则，故切线方程为，又过点，所以，整理得，即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确．故选：ACD．三､填空题（每题5分共15分）12.已知数列的前项和为，且满足，则_______．【答案】【解析】【分析】利用来求得正确答案.【详解】根据题意，数列满足，当时，有；当时，有，不符合，故故答案为：13.已知函数，，则的最小值为________________.【答案】【解析】【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可.【详解】因为，令，可得，而，，所以，，函数单调递减；，，函数单调递增，所以时函数最小为值，所以函数在的最小值分别为.故答案为：.14.已知定义在的函数满足，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】令函数，求导函数并根据函数符号与单调性的关系判断得出的单调性，再利用单调性解不等式可得结论.【详解】构造函数，则，又，，可得，因此在上单调递增，原不等式可化为，即，可得，因此，解得.故答案为：.四､解答题15.已知数列满足：，.（1）若，求证：为等差数列.（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证；（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】因为，所以，即，，又，所以是以为首项，为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）可得，则，所以，所以.16.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由复合函数的求导法则求解即可；（2）由复合函数的求导法则求解即可；（3）由复合函数的求导法则求解即可；【小问1详解】函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则可得：.所以；【小问2详解】函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则可得：.所以【小问3详解】函数可以看作函数和的复合函数，，所以.17.已知函数，.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）试判断函数单调性.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性．【小问1详解】当时，，则，所以，，，故当时，函数在点处的切线方程为，即.【小问2详解】函数的定义域为，，当时，，减区间为，无增区间；当时，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，综上所述，当时，的减区间为，无增区间；当时，的减区间为，增区间为.18.设(1)求的极值点；(2)求的单调区间；(3)求在的最大值与最小值；(4)画的草图.【答案】(1)极小值点，极大值点；(2)单调递增区间为，单调递减区间为和；(3)最大值为63，最小值为0；(4)草图见解析.【解析】【分析】对于(1)(2)(3)，首先对函数求导函数，再令，并求解，从而可得到与随的变化情况表，进而求解；对于(4)，根据与随的变化情况表以及的极值作图即可.【详解】由题意，，令，解得，，，当变化，，变化状态如下表：极小值极大值(1)为为的极小值点，为的极大值点；(2)的单调递增区间为，单调递减区间为和；(3)由表可知，的极小值为，的极大值为，又因为，故在上的最大值为63，最小值为0；(4)的草图如下所示：19.已知是各项均为正数的等比数列，且，，数列满足（1）分别求数列、的通项公式；（2）设数列的前项和，求的最小值.【答案】（1）；；（2）2.【解析】【分析】（1）根据是各项均为正数的等比数列，利用“”求解，然后利用数列通项公式与