四道微分方程练习题详解A6

四道微分方程练习题详解1.微分方程y'=(13x8-7)y7的计算主要内容：本文通过分离变量微分方程计算法，介绍微分方程y'=(13x8-7)y7的主要计算步骤。主要步骤：因为y'=(13x8-7)y7，所以eq\f(dy,dx)=(13x8-7)y7,由微分方程分离变量计算有：eq\f(dy,y7)=(13x8-7)dx,两边同时取积分，有：eq\i(,,eq\f(dy,y7))=eq\i(,,(13x8-7)dx)eq\i(,,y-7dy)=eq\i(,,(13x8-7)dx)-eq\f(y(-6),6)=13eq\i(,,x8)dx-7eq\i(,,)dx-eq\f(y(-6),6)=eq\f(13,9)*x9-7x+C1，两边同时乘以54，则有：-9*y(-6)=78x9-63x+C将方程变形为：y6(78x9-63x+C)+9=0。2.微分方程y'=(32x+28y)2的通解习题主要内容：本文通过适当的变量代换，介绍求解微分方程y'=(32x+28y)2通解的主要步骤。主要步骤：解：设u=32x+28y，对x求导有：eq\f(du,dx)=32+28eq\f(dy,dx),代入微分方程有：eq\f(du,dx)=32+28u2,eq\f(du,28u2+32)=dx,两边同时积分有：eq\i(,,\f(du,(28u2+32)))=eq\i(,,dx),eq\i(,,\f(du,(32[(eq\f(7,8))u2+1])))=eq\i(,,dx),eq\f(1,32)eq\i(,,\f(du,(eq\f(7,8))u2+1))=eq\i(,,dx),eq\f(1,32)eq\i(,,\f(du,(eq\r(\f(7,8))u)2+1))=x,eq\f(1,eq\r(896))eq\i(,,\f(d(eq\r(\f(7,8))u),(eq\r(\f(7,8))u)2+1))=x,eq\f(1,eq\r(896))arctan(eq\r(\f(7,8))u)+C1=x.对上述方程进行恒等变形有;arctan(eq\r(\f(7,8))u)=eq\r(896)*(x+C),两边取正切函数有：eq\r(\f(7,8))*u=tan[eq\r(896)*(x+C)],将u=32x+by代入，有：eq\r(\f(7,8))*(32x+28y)=tan[eq\r(896)*(x+C)]。3.求解微分方程17x2+2x-8y'=0的通解主要步骤：解：根据题意，由不定积分分离变量法有：17x2+2x-8y'=0，17x2+2x=8y'，即：17x2+2x=8eq\f(dy,dx),对微分方程变形有：(17x2+2x)dx=8dy,两边同时对x积分有：eq\i(,,(17x2+2x))dx=8eq\i(,,dy),eq\f(17,3)x3+x2=8y+C1,所以：y=eq\f(17,24)x3+eq\f(1,8)x2+C.4.求微分方程(32x3+21y3)dx-43xy2dy=0的通解主要内容：本题主要通过微分方程的齐次方程通解计算方法，以及换元、分离变量等知识，介绍计算微分方程(32x3+21y3)dx-43xy66dy=0的通解步骤。主要步骤：解：对微分方程进行变形，同时除以xy有：[32*(eq\f(x,y))66+21*eq\f(y,x)]-43dy=0，设eq\f(y,x)=u,则y=xu，求导有：dy=udx+xdu，代入方程有：(eq\f(32,u66)+21u)dx-43dy=0，(eq\f(32,u66)+21u)dx-43(udx+xdu)=0,(eq\f(32,u66)-22u)dx=43xdu,进一步对上述方程变形有：eq\f(43u66du,22u2-32)=-eq\f(dx,x),两边同时积分有：eq\f(1,3)eq\i(,,\f(43du3,(22u3-32)))=-eq\i(,,\f(dx,x)),eq\f(43,66)eq\i(,,\f(d(22u3-32),(22u3-32)))=-ln|x|+C1,eq\f(43,66)ln(22u3-3