河南省部分学校2024-2025学年高三下学期2月开学收心考试数学试题（解析版）

第页，共页第18页，共18页2024-2025学年第二学期高三年级2月收心考数学考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合和集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别解一元二次不等式和分式不等式，再求交集即得.【详解】由可得，即，由，解得：，即，故.故选：C.2.已知为虚数单位，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用指数幂运算及虚数单位的运算，即可求解.【详解】因为，所以的虚部为，故选：D.3.已知点是角终边上一点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边经过某点的三角函数值及二倍角公式即可求解.【详解】依题意可得，所以.故选：A4.已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出的坐标，再根据投影向量的公式计算即可.【详解】因为，所以，又因为，两式相减可得，所以，所以在方向上的投影向量为，故选：A.5.某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【解析】【分析】先求出英文单词“”中字母所有排列，即可求解.【详解】因为“”中字母共有种排法，所以该同学写错的情况有种，故选：D.6.已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则（）A.54 B. C.或54 D.或27【答案】B【解析】【分析】利用等差数列、等比数列定义列式计算得解.【详解】由，，，成等差数列，得公差，由，，，，成等比数列，得，而，解得，所以.故选：B7.已加直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，P为弦MN的中点，若直线OP（O为坐标原点）的方程为，则（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】联立直线与渐近线方程求得坐标，再由中点坐标公式得到坐标，即可求解；【详解】由双曲线方程易得渐近线方程：，联立，解得：，即解得：，即所以点由题意可知，解得：故选：B8.已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知不等式变形为，可得出，令，利用导数求出的取值范围，可得出，然后分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二、三种情况下，结合参变量分离法可求出实数的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的，，即，即，因为，故，故，令，其中，则，由可得，由可得，所以，由题意可得恒成立，当时，显然该不等式成立，此时，；当时，则，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，；当时，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，则.综上所述，，即实数的取值范围是.故选：D.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，棱台的体积为56，则下列说法正确的是（）A.该四棱台高为3 B.该四棱台的侧棱长为C.该四棱台的侧面积为 D.该四棱台一定不存在内切球【答案】BC【解析】【分析】利用正四棱台的结构特征，结合体积公式、侧面积公式，计算判断ABC；结合球的结构特征判断D.【详解】对于A，设该四棱台的高为，则，解得，A错误；对于B，该四棱台的侧棱长，B正确；对于C，该四棱台的斜高为，侧面积为，C正确；对于D，若该四棱台有内切球，内切球必与两底相切，球的直径为四棱台的高6，而该球的直径一定小于正四棱台下底边长4，矛盾，因此该四棱台不存在内切球，D错误.故选：BC10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在上的值域为C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象关于y轴对称D.若方程在上恰好有一个根，则m的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】利用三角函数恒等变换化简函数，再结合正弦函数图象与性质逐项求解判断.【详解】函数，对于A，函数的最小正周期为，A错误；对于B，当时，，，则，B正确；对于C，，是偶函数，C正确；对于D，当时，，函数在上递增，函数值从1增大到，在上递减，函数值从减小到，程在上恰好有一个根，即直线与函数在上的图象只有一个交点，，即，D正确.故选：BCD11.已知为抛物线的焦点，，为抛物线上两动点，分别过作抛物线的切线，两切线交于点，则（）A.B.若直线的倾斜角为，则C.直线的方程为D.点的坐标为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用抛物线标准方程的形式，结合条件，即可求解；对于B，由选项条件，设直线方程为，联立抛物线方程，利用根与系数间的关系，即可求解；对于C，设过点的抛物线的切线方程为，联立抛物线方和，消得到，利用，得到，即可求解；对于D，利用选项C的中结果，可得两切线方程，联立求出交点，即可求解.【详解】对于选项A，因为为抛物线的焦点，则，解得，所以选项A正确，对于选项B，由选项A知，，又直线的倾斜角为，设直线方程为，由，消得，则，，所以选项B错误，对于选项C，由题可设在点的抛物线的切线方程为，由，消得到，则，又，则，解得，所以在点的抛物线的切线方程为，即，所以选项C正确，对于选项D，由选项C知，在点的抛物线的切线方程为，同理可得在的切线方程为，由，解得，，所以点，故选项D正确，故选：ACD.【点晴】关键点点晴，本题的关键在于选项C，设出在的抛物线的切线方程，联立抛物线方程，利用直线与抛物的位置关系，得出斜率与间的关系.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数的图象经过点，则__________.【答案】【解析】【分析】设出幂函数的解析式，代入求出参数值即可.【详解】依题意，设，由函数的图象经过点，得，解得，所以.故答案为：13.已知100个样本数据的平均数为14，标准差为4，其中，，则这40个数据的方差为__________.【答案】17.56【解析】【分析】由平均值和方差的公式计算.【详解】由题意得的平均数是，方差为；设这40个数据的平均数为，方差为，则，解得；故，解得.故答案为：17.5614.若为正项数列的前项和，且满足，则数列为__________数列（从“等差”和“等比”二者中选一个填到横线上）；若数列满足：，（），则数列的通项公式为__________.【答案】①.等差②.【解析】【分析】根据条件，解得，利用等差数列的定义，即可求解；由条件得到，利用累加法得到当时，，令，利用错位相减法，即可求解.【详解】由，即，解得或（舍），所以为常数，又，故数列为以为首项，公差为的等差数列，则，得到，当时，，令①，则②，由①②得到，所以，得到时，，又时，，满足，所以，故答案为：等差，.【点晴】方法点晴，数列求和常用的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和；（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和；（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆的左、右焦点分别是，，过且斜率为的直线与椭圆分别交于M，N两点.（1）当时，求的面积；（2）若直线OM的斜率与直线ON的斜率满足，求椭圆C的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，求出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积.（2）设椭圆右焦点坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式列式求解.【小问1详解】当时，椭圆的焦点，直线，由消去得，设，则，，所以的面积为.【小问2详解】设，右焦点，则直线，由消去得，则，，由，得，即，因此，解得，所以椭圆C的方程是.16.如图，圆锥的底面直径和母线长度均为2，是底面圆上的一条弦.（1）当时，证明：；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】分析】（1）根据边长关系可证，，进而可知线面垂直，进而可得线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间向量求解空间角即可.【小问1详解】易知，，是等腰直角三角形，为的中点，，又，平面，平面平面平面．【小问2详解】当时，，过点D作z轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系,则设平面的一个法向量为则，令，则，设平面的一个法向量为则，令，则，设平面与平面的夹角为，故平面与平面夹角的余弦值为.17.已知中，角的对边分别是，.（1）证明：成等差数列；（2）若，内切圆半径为r，求r的最大值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为角的关系，再由诱导公式得，由两角和的正弦公式化简后可得的正切值，从而得B角大小，进而得证；（2）利用余弦定理及基本不等式可得的范围，利用面积相等可得，变形后再次利用基本不等式即可求解的范围.【小问1详解】，，，，，，，，即，，，，，成等差数列；【小问2详解】由余弦定理可得，即，，当且仅当时等号成立，因为，，，当且仅当，即时等号成立，即，的取大值为．18.一颗质地均匀的正四面体骰子，四个面分别印有数字1，2，3，4，记投掷完后，与地面接触面上的数字为该次投掷的点数，连续随机投掷三次，得到的点数分别是x，y，z.（1）求为偶数的概率：（2）记随机变量，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）利用列举法求出基本事件总数，两次数字之和为偶数包含的基本事件个数为8，利用古典概型求概率．（2）可取的值为，然后求出相应的概率列出分布列，求出期望，从而可求解.【小问1详解】由题意知，样本空间，，共16个样本点设事件“为偶数”，则，共8个样本点，所以，即“为偶数”的概率为.【小问2详解】连续随机投掷三次，得到的点数共有种情况，由题意可知的所有可能取值为，当时，有4种情况，概率为；当时，，点数共有18种情况，概率为；当时，点数共有，24种情况，概率为；当时，点数共有18种情况，概率为；所以的分布列是0246所以数学期望.19.已知函数在单调递增.（1）求a的值；（2）解不等式（为函数的导函数）；（3）证明：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究其单调性后可得其最小值，再令，利用导数研究其单调性即可得解；（2）构造函数，利用导数研究其单调性即可得解；（3）由（2）可得在上恒成立，令，结合对数运算可得，由（1）可得在上恒成立，令，可得，即可得证.【小问1详解】，由函数在单调递增，则在上恒成立，令，即在上恒成立，若，则当时，，不符；故