2024-2025学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）期初数学试卷（3月份）

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）期初数学试卷（3月份）一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（）A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝62．（2分）某快递员十二月份送餐统计数据如下表：送餐距离小于等于3公里大于3公里占比70%30%送餐费4元/单6元/单则该快递员十二月份平均每单送餐费是（）A．4.4元 B．4.6元 C．4.8元 D．5元3．（2分）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米4．（2分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（）A．2 B． C．3 D．5．（2分）如图，△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，则下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．6．（2分）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．7．（2分）二次函数y＝x2﹣2x+5图象的顶点坐标为．8．（2分）若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差小，则x可以为．（列举一个满足条件的值）9．（2分）方程x2﹣mx+2m＝0的两个根为x1，x2．若x1•x2＝﹣4，则x1+x2＝．10．（2分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为cm．11．（2分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，BA，CD的延长线相交于点P，AC，BD相交于点Q．若∠P＝30°，∠AQD＝72°，则∠B的度数是°．12．（2分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是．13．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，E为AD中点，CF⊥BE，垂足为G，交AB边于点F，则CF的长为．14．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为°．15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0m4…y…﹣12﹣1…若1＜m＜3，则a的取值范围为．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝2，BD是高．若，则BC的长的最小值为．三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）计算求解：（1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0；（3）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°．18．（8分）甲城市有2个景点A，B，乙城市有3个景点C，D，E．从中随机选取景点游览，求下列事件的概率．（1）选取1个景点，恰好在甲城市；（2）选取2个景点，恰好在同一个城市．19．（8分）周老师平时上班有A，B两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图：（1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差min．（2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明．（3）你建议周老师应如何选择上班路线？20．（8分）《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝64.5米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿BE所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的像（∠CED＝∠FEG），GE＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米．已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度AB．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D．（1）求证：△BCD∽△ABC．（2）若AC＝1，求AD的长．22．（8分）为测量某建筑物BC的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角∠CAB为45°，沿着倾斜角∠DAB为18°的斜坡AD前行30m到达D处，此时测得顶端C的仰角∠CDE为58°，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）23．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．24．（8分）用直尺和圆规完成下列作图．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）如图（1），过⊙O内一点M作直线交⊙O于点A，B，使AM＝BM；（2）如图（2），过⊙P外一点N作直线交⊙P于点C，D，使CN＝CD．25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．26．（8分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O切线；（2）若AB＝10，，求⊙O的半径；（3）若F是AB中点，直接写出BD、CE与AF的数量关系．27．（8分）综合与实践【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？【实验探究】（1）获得猜想观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号）①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补；（2）推理证明已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°求证：过点A，B，C，D可作一个圆．证明：假设过点A，B，C，D不能作一个圆．如图⑤，过A，B，C三点作⊙O，点D不在圆上．若点D在⊙O外，AD与⊙O交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC＝①∵∠B+∠D＝180°∴∠AEC＝∠D，而∠AEC是△CDE的外角，∴∠AEC②∠D．出现矛盾，故假设不成立．所以点D在过A，B，C三点的圆上．同理可证点D在⊙O内的情况．【应用结论】（3）如图⑥，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠ABC+∠ADC＝180°，AC平分∠BAD．①若∠BAC＝30°，求∠CBD的度数．②若CE＝3，AE＝5，求线段BC的长．

2024-2025学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）期初数学试卷（3月份）参考答案与试题解析题号123456答案CBDBDA一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（）A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6【答案】C【解答】解：x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．故选：C．2．（2分）某快递员十二月份送餐统计数据如下表：送餐距离小于等于3公里大于3公里占比70%30%送餐费4元/单6元/单则该快递员十二月份平均每单送餐费是（）A．4.4元 B．4.6元 C．4.8元 D．5元【答案】B【解答】解：该快递员十二月份平均每单送餐费是：4×70%+6×30%＝4.6（元），故选：B．3．（2分）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米【答案】D【解答】解：设返回过程中小杰身高为FH，由FH∥AB∥EC，得，由GB＜DB，得GH＜DC＝3．故选：D．4．（2分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解答】解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∵BC＝3，BD＝2，∴，∴BA，∴AD＝BA﹣BD2．故选：B．5．（2分）如图，△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，则下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，∴AB与DE是对应边，相似比为1：2，∵BC的对应边为EF，由图可知：DF≠EF，∴，∴选项A不成立；∵△ABC∽△DEF，且∠A和∠D是对应角，∴∠A＝∠D，∴，∴选项B不成立；∵△ABC∽△DEF，∴，∴选项C不成立；∵△ABC∽△DEF，∴，∴选项D成立．故选：D．6．（2分）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【答案】A【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴，∴，如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴，∴，∴，∴，∴1，解得：OH＝36，∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，故选：A．二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．7．（2分）二次函数y＝x2﹣2x+5图象的顶点坐标为（1，4）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．8．（2分）若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差小，则x可以为2（答案不唯一）．（列举一个满足条件的值）【答案】见试题解答内容【解答】解：数据5，6，7，8，9中，每2个数相差1，一组数据2，3，4，5，x前4个数据也是相差1，若x＝1或x＝6时，两组数据方差相等，而数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差小，则x＝2（答案不唯一），故答案为：2（答案不唯一）．9．（2分）方程x2﹣mx+2m＝0的两个根为x1，x2．若x1•x2＝﹣4，则x1+x2＝﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣mx+2m＝0的两根，∴x1+x2＝m，x1•x2＝2m＝﹣4，解得：m＝﹣2，∴x1+x2＝m＝﹣2故答案为：﹣2．10．（2分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，圆锥的底面周长＝2π×2＝4π（cm），则4π×R＝10π，解得，R＝5，故答案为：5．11．（2分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，BA，CD的延长线相交于点P，AC，BD相交于点Q．若∠P＝30°，∠AQD＝72°，则∠B的度数是21°．【答案】21．【解答】解：∵∠BAC是△APC的外角，∠P＝30°，∴∠BAC＝∠P+∠C＝30°+∠C，由圆周角定理得：∠B＝∠C，∴∠BAC＝∠P+∠C＝30°+∠B，∵∠AQD是△AQB的外角，∴∠AQD＝∠BAC+∠B，∴30°+∠B+∠B＝72°，∴∠B＝21°，故答案为：21．12．（2分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是．【答案】．【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB，故答案为：．13．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，E为AD中点，CF⊥BE，垂足为G，交AB边于点F，则CF的长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABC都是矩形，∴AD＝BC＝10，∠A＝∠CBF＝90°，∵CF⊥BE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠GBC＝90°，∠GBC+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠FCB，∴△ABE∽△BCF，∴，在Rt△ABE中，∵AB＝12，AE＝5，∴BE13，∴，∴CF，故答案为．14．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为60°．【答案】60．【解答】解：连接FG、OG、OH，如图，∵⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，∴OG⊥AB，OH⊥CD，∴∠OGB＝90°，∠OHC＝90°，∵∠B＝∠C＝120°，∵五边形OGBCH的内角和为540°，∴∠O＝120°，∴∠GFH＝60°，在圆内接四边形EFGM中，∵∠E＝120°，∴∠FGM＝60°，∴∠GNF＝60°．故答案为：60．15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0m4…y…﹣12﹣1…若1＜m＜3，则a的取值范围为﹣1＜a．【答案】﹣1＜a．【解答】解：由题意可知2，c＝﹣1，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣1，当x＝1，y＝2时，2＝a﹣4a﹣1，解得a＝﹣1，当x＝3，y＝2时，2＝9a﹣12a﹣1，解得a＝﹣1，当x＝2，y＝2时，2＝4a﹣8a﹣1，解得a，∴若1＜m＜3，则a的取值范围为﹣1＜a．故答案为：﹣1＜a．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝2，BD是高．若，则BC的长的最小值为22．【答案】22．【解答】解：取AC中点E，过E作EF⊥AC，过点A作AF⊥AB，交EF于F，则∠AEF＝∠BAF＝90°，AEAC，∴∠FAE+∠DAB＝∠FAE+∠AFE＝90°，•∴∠AFE＝∠BAD，∴BDAC，BD是△ABC的高，.∴BD＝AE，∠BDA＝∠AEF＝90°，△BDA≌△AEF（AAS），∴AB＝AF＝2，则BF2，∵E为AC中点，EF⊥AC，∵EF是AC的垂直平分线，∴CF＝AF＝2，由三角形三边关系可知，BC≥BF﹣CF＝22，∴当F、C、B三点共线时取等号，即：BC的最小值为22；故答案为：22．三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）计算求解：（1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0；（3）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°．【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝4；（2）x1＝1，；（3）．【解答】解：（1）（x+2）（x﹣4）＝0，∴x+2＝0，x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝4；（2）（x﹣1）（x﹣1+2x）＝0，即（x﹣1）（3x﹣1）＝0，∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，∴x1＝1，；（3）原式．18．（8分）甲城市有2个景点A，B，乙城市有3个景点C，D，E．从中随机选取景点游览，求下列事件的概率．（1）选取1个景点，恰好在甲城市；（2）选取2个景点，恰好在同一个城市．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）选取1个景点，恰好在甲城市的概率为；（2）列表如下：ABCDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由表知共有20种等可能结果，其中选取2个景点，恰好在同一个城市有8种结果，所以选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为．19．（8分）周老师平时上班有A，B两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图：（1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差22min．（2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明．（3）你建议周老师应如何选择上班路线？【答案】（1）22；（2）B上班路线用时更稳定；（3）建议选择A路线（答案不唯一，合理即可）．【解答】解：（1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差40﹣18＝22（min），故答案为：22．（2）路线A所用时间的平均数为24（min），方差为[（40﹣24）2+（22﹣24）2+（21﹣24）2+（19﹣24）2+（18﹣24）2]＝66，路线B所用时间的平均数为27（min），方差为[（30﹣27）2+（27﹣27）2+（26﹣27）2+（25﹣27）2+（27﹣27）2]＝2.8，∵66＞2.8，∴B上班路线用时更稳定；（3）由用时的平均数知，A路线平均用时更少，所以建议选择A路线（答案不唯一，合理即可）．20．（8分）《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝64.5米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿BE所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的像（∠CED＝∠FEG），GE＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米．已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度AB．【答案】47米．【解答】解：∵∠CED＝∠FEG，∠CDE＝∠FGE＝90°，∴△CDE∽△FGE，∴，∴，∴DE＝6米，∴BE＝BD+DE＝64.5+6＝70.5米，∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，∴，∴，∴AB＝47米，答：飞虹塔的高度AB为47米．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D．（1）求证：△BCD∽△ABC．（2）若AC＝1，求AD的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【解答】（1）证明：AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠DBC＝∠A＝36°，∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ABC．（2）解：∵△BCD∽△ABC．AC＝1，∴，∴，解得AD或AD（舍去）．∴AD的长为．22．（8分）为测量某建筑物BC的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角∠CAB为45°，沿着倾斜角∠DAB为18°的斜坡AD前行30m到达D处，此时测得顶端C的仰角∠CDE为58°，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【答案】建筑物BC的高度约为61m．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，由题意得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，在Rt△ADF中，∠DAF＝18°，AD＝30m，∴DF＝AD•sin18°≈30×0.30＝9（m），AF＝AD•cos18°≈30×0.95＝28.5（m），∴DF＝BG＝9m，设DG＝BF＝xm，∴AB＝AF+BF＝（28.5+x）m，在Rt△DCG中，∠CDG＝58°，∴CG＝DG•tan58°≈1.6x（m），在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴CB＝AB•tan45°＝（28.5+x）m，∵CG+BG＝CB，∴1.6x+9＝28.5+x，解得：x＝32.5，∴BC＝1.6x+9＝61（m），∴建筑物BC的高度约为61m．23．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．【答案】见解答．【解答】证明：（1）∵Δ＝4（m﹣4）2﹣4×（﹣1）×（m2﹣1）＝8（m﹣2）2+28，而8（m﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1＝y＝m2﹣1，∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），∵﹣1＜m＜1，∴m2﹣1＜0，∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．24．（8分）用直尺和圆规完成下列作图．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）如图（1），过⊙O内一点M作直线交⊙O于点A，B，使AM＝BM；（2）如图（2），过⊙P外一点N作直线交⊙P于点C，D，使CN＝CD．【答案】见解析．【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求；（2）如图，直线NC即为所求．25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．【答案】（1）；（2）t．【解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴3．∵对称轴为直线x，∴t．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，∵a＞0，∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，∴t，即t．26．（8分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O切线；（2）若AB＝10，，求⊙O的半径；（3）若F是AB中点，直接写出BD、CE与AF的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）；（3）AF＝BD+CE．【解答】（1）证明：连OD，如图1，在△AOC和△AOD中，，∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠ACO＝∠ADO，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∴∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O切线；（2）解：连接OD，如图2，∵，∴设BC＝3x，则CA＝4x，∴（4x）2+（3x）2＝100，∴x＝2，∴BC＝6，设OD＝OC＝a，则OB＝6﹣a，∵，∴，∴，∴，∴，∴⊙O半径为；（3）解：AF＝B