数学 第四册（五年制高职） 教案 3.1-18.1.2椭圆的几何性质

五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》教案课题18.1.2椭圆的几何性质授课时间学习目标1.熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质2.会根据椭圆的方程描述椭圆的几何性质，能根据条件求出椭圆的标准方程教学重点椭圆的几何性质教学难点贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括图18-4图18-4曲线的方程是曲线上任意一点的横坐标x与纵坐标y所满足的方程.接下来通过椭圆的标准方程，学习椭圆上任意一点的坐标横坐标x、纵坐标y的取值范围，进而学习椭圆的范围、对称性、特殊点及扁平程度等几何性质.一、问题探究观察如图18-4所示标准方程为的椭圆，回答下面的问题：（1）该椭圆上点的横坐标的取值范围是什么?纵坐标呢?图18-4图18-4（3）该椭圆与两个坐标轴的交点坐标是什么？二、抽象概括一般地，焦点在轴上的椭圆有如下性质：（1）范围由椭圆标准方程可知，椭圆上任意一点都满足不等式，即，所以.同理可得.学生活动思考，讨论交流理解把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决教学过程教学内容教师活动学生活动三、例题讲析这说明椭圆位于直线和所围成的矩形内（如图18-5）（2）对称性在椭圆方程中，以代替，方程不变，这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.同理，以代替，方程不变，所以椭圆关于轴对称；以代替，同时以代替，方程不变，所以椭圆关于坐标原点对称.由此可知，椭圆关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称.x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心称为椭圆的中心.（3）顶点在椭圆的标准方程中，令，得，这说明，是椭圆与轴的两个交点.同理，令，得，这说明，，是椭圆与轴的两个交点.椭圆与坐标轴的交点也是椭圆与其对称轴的交点，这四个点称为椭圆的顶点.图18-6如图18-6，线段，分别称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别称为椭圆的半长轴长和半短轴长.图18-6例6求椭圆的长轴长、短轴长、焦距和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆例7已知椭圆的一个顶点为（3，0），一个焦点为（1，0），求椭圆的标准方程.掌握椭圆的对称性掌握椭圆的顶点、长轴、短轴的概念思考，寻找解决问题的方法教学过程教学内容教师活动学生活动四、合作交流五、课内练习六、问题探究七、例题讲析四、合作交流椭圆有几个顶点、有几个焦点、有几条对称轴？五、课内练习1.求椭圆的长轴长、短轴长、焦距和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.2.已知椭圆的两个顶点为（0，-4）,（0，4），一个焦点为（3，0），求椭圆的标准方程.3.已知椭圆的两个顶点为（0，-3）,（-4，0），求椭圆的标准方程.（4）离心率椭圆可以看作是“压扁的圆”.用什么量可以刻画椭圆的扁平程度？六、问题探究观察椭圆与（如图18-8），这两个椭圆中哪个椭圆更扁一些？这两个椭圆焦距与长轴长之比的大小关系如何？一般地，椭圆的焦距与长轴长之比称为椭圆的离心率,用表示，即.因为，所以.c越接近于a，则半短轴长b越小，椭圆越扁；而当越接近于0时，半短轴长b越接近于a，椭圆越圆.即e越接近于1椭圆越扁；反之，e越接近于0，椭圆越接近于圆.七、例题讲析例8求椭圆的离心率.例9已知椭圆的长轴长为6，离心率为，求椭圆的标准方程.思考，口答对照例题的解题思路和解题格式，自行完成练习掌握离心率概念在教师引导下思考主动求解。掌握规范的解题格式教学过程教学内容教师活动学生活动八、合作交流九、思维拓展八、合作交流焦点在轴上的椭圆具有怎样的几何性质呢？根据焦点在轴上和焦点在轴上的椭圆的性质完成表18-2，并比较这两类椭圆性质的相同点和不同点.表18-2椭圆的标准方程和性质标准方程图形范围对称性顶点坐标长轴、短轴焦距的关系离心率九、思维拓展利用GeoGebra软件可以方便地观察椭圆离心率对椭圆扁平程度的影响.例如，打开GeoGebra，选用工具，根据提示“选定两个焦点及椭圆上一点”，先后点击（-3,0），（3,0）以及（5,0），即可得到椭圆的图象（如图18-9）.尝试以下操作，体会改变长轴长和焦距对于椭圆“扁平”程度的影响.拖动点C，此时A、B两点不动，观察图形变化情况，说出你的结论；拖动点B，此时A、C两点不动，观察图形变化情况，说出你的结论.完成表格思考、尝试操作回答问题教学过程教学内容教师活动学生活动十、课内练习十一、课堂小结十、课内练习1.求椭圆的离心率.2.已知