2024秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程练习含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-2.3.1双曲线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．方程eq\f(x2,2sinθ＋4)＋eq\f(y2,sinθ－3)＝1(θ∈R)所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线答案：C2．设点P在双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于()A．22 B．16 C．14 D．12解析：由双曲线定义知|PF2|－|PF1|＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3，|PF2|＝9，进而易得△F1PF2的周长为22.答案：A3．双曲线eq\f(x2,m2＋12)－eq\f(y2,4－m2)＝1的焦距是()A．16 B．4 C．8 D．2eq\r(2m2－8)答案：C4．若方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,m＋1)＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A．－1<m<3 B．m>－1C．m>3 D．m<－1解析：依题意应有m＋1>0，即m>－1.答案：B5．若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>n>0)和双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是()A．m－a B.eq\f(1,2)(m－a)C．m2－a2 D.eq\r(m)－eq\r(a)解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(m).①由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2eq\r(a).②①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，所以|PF1|·|PF2|＝m－a.答案：A二、填空题6．已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的肯定值等于6.则双曲线的标准方程为________．解析：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5.所以b2＝52－32＝16.所以所求双曲线标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.答案：eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝17．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________．解析：双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1，故a2＝16，a＝4，2a＝8.P在左支上，|PF1|<|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝－2a＝－8.答案：－88．若双曲线以椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为________．解析：椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝eq\r(7)，所以焦点为(±eq\r(7)，0)，左右顶点为(±4，0)．于是双曲线经过点(±eq\r(7)，0)，焦点为(±4，0)，则a′＝eq\r(7)，c′＝4，所以b′2＝9，所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1三、解答题9．已知双曲线与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．解：由题意可得，椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(eq\r(15)，4)，B(－eq\r(15)，4)，由点A在双曲线上知，eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))所以所求双曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.10.如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，所以|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝eq\f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq\f(91,4).所以动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,\f(91,4))＝1(x≤－eq\f(3,2))．B级实力提升1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为()A．－1＜k＜1 B．k＞1C．k＜－1 D．k＞1或k＜－1答案：A2．已知双曲线x2－y2＝1的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|＋|PF2|＝________．解析：由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(2eq\r(2))2＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4.所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝(4＋2|PF1|·|PF2|)＋2|PF1|·|PF2|＝20.所以|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)3．已知双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1，如图，点A的坐标为(－eq\r(5)，0)，B是圆x2＋(y－eq\r(5))2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解：设点D的坐标为(eq\r(5)，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又