2024秋高中数学模块综合评价含解析新人教A版必修2

PAGE1-模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l1：2x＋my＝2，l2：m2x＋2y＝1，且l1⊥l2，则m的值为()A．0 B．－1C．0或1 D．0或－1解析：因为l1⊥l2，所以2m2＋2m＝0，解得m＝0或m＝－1.答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A.eq\r(2)π B．2eq\r(2)πC．2π D．4π解析：设底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r＝h＝eq\f(\r(2),2)l，则eq\f(1,2)(eq\r(2)r)2＝1，r＝1，l＝eq\r(2).所以圆锥的侧面积为πrl＝eq\r(2)π.答案：A3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：当三棱锥D­ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC.取AC的中点O，则∠DBO即为直线BD和平面ABC所成的角．易知△DOB是等腰直角三角形，故∠DBO＝45°.答案：C4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x解析：由题意知，圆心(1，0)到点P的距离为eq\r(2)，所以点P在以(1，0)为圆心、eq\r(2)为半径的圆上．所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.答案：B5．下列命题中，正确的是()A．随意三点确定一个平面B．三条平行直线最多确定一个平面C．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行解析：由线面垂直的性质，易知C正确．答案：C6．已知M(3，2eq\r(3))，N(－1，2eq\r(3))，F(1，0)，则点M到直线NF的距离为()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：易知NF的斜率k＝－eq\r(3)，故NF的方程为y＝－eq\r(3)(x－1)，即eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0.所以M到NF的距离为eq\f(|3\r(3)＋2\r(3)－\r(3)|,\r(（\r(3)）2＋12))＝2eq\r(3).答案：C7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为2eq\r(2)，正四棱柱的对角线为2eq\r(6).而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝2eq\r(6).所以R＝eq\r(6).所以S球＝4πR2＝24π.答案：C8．在平面直角坐标系xOy中，圆C与圆O：x2＋y2＝1外切，且与直线x－2y＋5＝0相切，则圆C的面积的最小值为()A.eq\f(4,5)π B．3－eq\r(5)πC.eq\f(3－\r(5),2)π D．(6－2eq\r(5))π解析：由题可知，(0，0)到直线x－2y＋5＝0的距离为eq\f(|5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).又因为圆C与圆O：x2＋y2＝1外切，圆C的直径的最小值为eq\r(5)－1，圆C的面积的最小值为eq\f(π（\r(5)－1）2,4)＝eq\f(3－\r(5),2)π.答案：C9．已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，则下列命题不正确的是()A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βB．若m∥n，α∩β＝m，则n∥α，n∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β解：由m⊥α，m∥n，得n⊥α.又n⊂β，所以α⊥β，故A正确．在B项中，m∥n，α∩β＝m，则n⊂α，n∥β或n∥α，n⊂β或n∥α，n∥β.所以选项B不正确．由线面垂直，面面垂直的判定，C、D正确．答案：B10．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点B到平面AB1C的距离是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．4解析：由正方体的性质，易知AC＝B1C＝AB1＝eq\r(2)，所以S△AB1C＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2).又S△ABC＝eq\f(1,2)×12＝eq\f(1,2).知V三棱柱B1-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).设点B到平面AB1C的距离为h，从而V三棱锥B-AB1C＝eq\f(1,3)·h×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,6)，所以h＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).答案：C11．已知直线(1＋k)x＋y－k－2＝0恒过点P，则点P关于直线x－y－2＝0的对称点的坐标是()A．(3，－2) B．(2，－3)C．(1，3) D．(3，－1)解析：由(1＋k)x＋y－k－2＝0得k(x－1)＋(x＋y－2)＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))故点P的坐标为(1，1)．设点P关于直线x－y－2＝0的对称点的坐标是(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)－\f(b＋1,2)－2＝0，,\f(b－1,a－1)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，))所以点P关于直线x－y－2＝0的对称点的坐标是(3，－1)．答案：D12．如图，多面体ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下面结论正确的是()A．A1B∥B1CB．平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1C．平面CB1D1∥平面A1BDD．异面直线AD与CB1所成的角为30°解析：若A1B∥B1C，因为A1B∥CD1，所以B1C∥CD1，冲突，故A错误．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1，则平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1也是错的，故B错误．因为A1B∥CD1，A1D∥CB1，所以平面CB1D1∥平面A1BD，故C正确．因为ABCDA1B1C1D1为正方体．所以∠BCB1＝45°，又AD∥BC，所以AD与CB1所成的角为45°，故D错误．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P­ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P­ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：114．已知直线l1的方程为y1＝－2x＋3，l2的方程为y2＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－2.由斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x－2.答案：y＝－2x－215．若直线l：y＝kx与曲线M：y＝1＋eq\r(1－（x－3）2)有两个不同交点，则k的取值范围是________．解析：曲线M：y＝1＋eq\r(1－（x－3）2)是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y＝1上方的半圆．要使直线l与曲线M有两个不同交点，则直线l在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l与曲线M相切时，k取得最大值eq\f(3,4)；当直线l过点(2，1)时，k取最小值eq\f(1,2).故k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))16．(2024·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S­ABC的全部顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.又由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，所以三棱锥S­ABC的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9.所以r＝3.所以S球表＝4πr2＝36π.答案：36π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若l2在x轴上的截距为eq\f(3,2)，且l1⊥l2.(1)求直线l1与l2的交点坐标；(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．解：(1)设l2的方程为2x－y＋m＝0，因为l2在x轴上的截距为eq\f(3,2)，所以3－0＋m＝0，m＝－3，即l2：2x－y－3＝0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,2x－y－3＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))所以直线l1与l2的交点坐标为(2，1)．(2)当l3过原点时，l3的方程为y＝eq\f(1,2)x.当l3不过原点时，设l3的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1.又直线l3经过l1与l2的交点，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,2a)＝1，得a＝eq\f(5,2)，l3的方程为2x＋y－5＝0.综上，l3的方程为y＝eq\f(1,2)x或2x＋y－5＝0.18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝eq\f(1,2)CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝eq\r(3).(1)求证：PD⊥AB；(2)求四棱锥P-ABCD的体积．(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.(2)解：S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(AB＋CD)·AD＝eq\f(3\r(3),2)，又PA⊥平面ABCD，所以V四棱锥P-ABCD＝eq\f(1,3)×S梯形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).19．(本小题满分12分)已知圆C的圆心坐标为(a，0)，且圆C与y轴相切．(1)已知a＝1，M(4，4)，点N是圆C上的随意一点，求|MN|的最小值；(2)已知a＜0，直线l的斜率为eq\f(4,3)，且与y轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,3))).若直线l与圆C相离，求a的取值范围．解：(1)由题意可知，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.又|MC|＝eq\r(（4－1）2＋（4－0）2)＝5，所以|MN|的最小值为5－1＝4.(2)因为直线l的斜率为eq\f(4,3)，且与y轴相交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,3)))，所以直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x－eq\f(2,3).即4x－3y－2＝0.因为直线l与圆C相离，所以圆心C(a，0)到直线l的距离d＞r.则eq\f(|4a－2|,\r(42＋32))＞|a|.又a＜0，所以2－4a＞－5a，解得a＞－2.所以a的取值范围是(－2，0)．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点D是线段AB上的动点．(1)当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD；(2)线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得DE∥AC1，因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.(2)解：当CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1.证明：因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD.又CD⊥AB，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1，因为CD⊂平面CDB1，所以平面ABB1A1⊥平面CDB1，故点D满意CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1.因为AB＝5，AC＝3，BC＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，故△ABC是以角C为直角的三角形，又CD⊥AB，所以AD＝eq\f(9,5).21．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若直线l过点(－2，0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2，易求得直线l与圆C的交点为A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|－k－2＋2k|,\r(k2＋1))＝eq\r(（\r(2)）2－12)＝1，解得k＝eq\f(3,4)，所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM，所以△PMC为直角三角形．所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.设点P为(x，y)，由(1)知点C为(－1，2)，|MC|＝eq\r(2)，因为|PM|＝|PO|，所以eq\r(（x＋1）2＋（y－2）2－2)＝eq\r(x2＋y2)，化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到直线2x－4y