2025届高考数学专题二函数零点精准培优专练理

PAGEPAGE1培优点二函数零点一、运用零点存在性定理一、运用零点存在性定理推断函数零点所在区间例1：函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知原函数是上的增函数，，，故依据零点存在定理得到零点存在于上，故选B．二、函数零点个数的判定二、函数零点个数的判定例2：已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上解的个数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数是上的偶函数，可得，又，可得，故可得，即，即函数的周期是，又时，，要探讨方程在区间上解的个数，可将问题转化为与在区间有几个交点．画出两函数图象如下，由图知两函数图象有个交点．故选B．三、求函数零点三、求函数零点例3：已知定义在上的奇函数满意，当时，，则函数在区间上全部零点之和（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据奇函数满意，可知其周期为，∵函数的一条对称轴为，可由向右平移个单位得到，在同一坐标系作出与的图象如图：依据图像可知函数与的图象均关于点对称，且函数与的图象在区间上有四个交点，所以函数在区间上全部零点之和为，故选D．四、四、依据函数零点状况求参数的取值范围例4：函数，方程有个不相等实根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依据题意画出函数的图象：设，有两个不同的根，，故当时，将代入方程得到，此时关于的方程的根是，，故不符合题意；当时，当时，关于的方程有唯一实数解，当时，关于的方程有三个实数解，故方程有个不相等实根，符合题意要求，所以，故答案为C．五、二分法五、二分法例5：在用二分法求函数在区间上的唯一零点的过程中，取区间上的中点，若，则函数在区间上的唯一零点（）A．在区间内 B．在区间内C．在区间或内 D．等于【答案】D【解析】依据用二分法求方程的近似解的方程和步骤，函数在区间上的唯一零点．故选D．对点对点增分集训一、选择题1．函数的零点肯定位于区间（）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知函数在其定义域上是增函数，因为，，所以函数的零点肯定位于区间内．故选B．2．函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，．所以函数零点所在的区间是，故选B．3．函数在上的全部零点之和等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，分别作出函数与的图象，由图象可知函数的对称性，可知两函数图象均关于对称．由图可知，函数在上的全部零点之和等于．故选D．4．已知是定义在上且以为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数为奇函数，所以在上必有．当时，由，得，即，解得．因为函数是周期为的奇函数，所以，此时在区间上有个零点，，．，此时在区间上有四个零点，，，．当时，，所以，即，此时在区间上有两个零点，．所以共有个零点．故选D．5．用二分法求如图所示函数的零点时，不行能求出的零点是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】二分法求函数的零点时，函数必需满意在零点两侧的函数值异号，而图中函数在零点的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出．故选C．6．定义域为的偶函数满意对，有，且当时，，若函数至少有个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，∴，∴图象关于直线对称，画出函数与函数的图象如下，由图可知，要使至少要有个零点，即函数与的图像至少要有个交点，则有，且点在函数的下方，即，故选B．7．已知是函数在上的全部零点之和，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数在上的全部零点之和，即在上的全部实数根之和，即在上的全部实数根之和．令，，因为可知函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，作出两个函数的大致图象，如图所示，由图象知，两个函数的图象有个交点，且个交点的横坐标之和为，故选B．8．已知函数，关于的方程有个不同的实数解，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，由，解得，当时，，函数为增函数；时，，函数为减函数，当时，函数取得极大值也是最大值为．方程化为，解得或．画出函数的图象如图：依据图象可知的取值范围是时，方程有个解．故选C．9．已知定义域为的偶函数满意对随意的，有，且当时，．若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数为偶函数，当时，，即，故，所以函数是周期为的周期函数，且为偶函数．令，得到，也即函数图象与函数的图象有三个交点，画出两个函数图象如下图所示：由图可知，要使两个函数图象有三个交点，则需直线的斜率在两条切线的斜率之间．当时，．将代入并化简得，其判别式，解得或（舍）．同理，当时，，将代入化简后，同样令判别式为零，求得或（舍）．所以实数的范围是，故选B．10．已知函数，则下列关于函数的零点个数的推断正确的是（）A．当时，有个零点；当时，有个零点B．当时，有个零点；当时，有个零点C．无论为何值，均有个零点D．无论为何值，均有个零点【答案】B【解析】分四种状况探讨：①时，，∴，此时的零点为；②时，，∴，则时，有一个零点，时，，没有零点；③若，时，，则时，，，可得，有一个零点，若时，则，没有零点；④若，时，，则时，即可得，有一个零点，时，没有零点．综上可知，当时，有个零点；当时，有个零点．故选B．11．已知函数，则方程的实根个数不行能为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】画出函数图象，如图所示：当时，；当时，，视察图象，当时，则或，此时对应的有四个解，即方程有个根，当时，则或或，对应的的有个解，即方程有个根，同理可得当，，，，分析，结合的取值状况，可知方程的根不行能为，故选D．12．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，当时，；当时，令，则，所以函数在上单调递减，由函数在区间内有唯一零点，得，或，即或，又，，所以①或②所以，满意的可行域如图或图中的阴影部分所示，则表示点与点所在直线的斜率，当，满意不等式组①时，的最大值在点处取得，为，的取值范围为；当，满意不等式组②时，的最小值在点处取得，依据，得，所以最小值为，的取值范围为，综上所述，可得的取值范围为故选A．二、填空题13．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数有个零点．【答案】【解析】由题意知，所以．当时，令，即，令，，因为，所以当时，与的图象有个交点，即时，有个零点，又函数是定义域为的奇函数，所以函数有个零点．14．对于函数与，若存在，，使得，则称函数与互为“零点亲密函数”，现已知函数与互为“零点亲密函数”，则实数的取值范围是．【答案】【解析】易知函数为增函数，且，所以函数只有一个零点，则取，由，知．由与互为“零点亲密函数”知函数在区间内有零点，即方程在内有解，所以，而函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，又当时，，当时，，所以，所以实数的取值范围是．15．已知函数和在的图象如图，给出下列四个命题：①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根；③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根，其中正确命题是． 【答案】①③④【解析】∵函数有三个零点，其中，，，当时有两个解，当时有两个解，当时有两个解，所以方程有且仅有个根，∴①正确．函数有两个零点，其中，，当时有一个解，当时有一个解，所以方程有且仅有