2025年中考数学总复习《矩形的判定与性质》专项检测卷附答案

第第页2025年中考数学总复习《矩形的判定与性质》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，连接AC、BD，AC与BD交于点O，若OA＝OD＝5，AB＝6，则四边形ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．48 D．602．已知▱ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD．使得▱ABCD是矩形的条件是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．132 B．13 C．6013 4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．22 C．10 5．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8 B．9 C．10 D．116．如图，过矩形ABCD的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F、G、H，依次联结四个垂足，可得到矩形EFGH．设对角线AC与BD的夹角为α（0＜α＜90°），那么矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．cot2α7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则下列说法错误的是（）A．B、D之间的距离等于C、E之间的距离 B．AF＝2EF C．四边形BCDE的面积为23D．四边形BCDE是正方形8．如图，在矩形ABCD中，AB＝30cm，动点P从点A出发沿AB边以5cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当t＝（）s时，四边形APQD是矩形．A．3 B．4 C．5 D．69．如图，把矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，已知AB＝3，BC＝4，CE＝6，EF＝8，M是AF的中点，则CM的长为（）A．5 B．5 C．525 10．如图，四边形ABCD是矩形，E，F分别是边AB，CD上的动点（不与端点重合），且AE＝CF，过点A作直线EF的垂线，垂足为G，连接CG．设AB＝a，BC＝b（a＞b），AG的最大值为d．给出下面三个结论：①b≤EF＜a2+b2；②a2+b2＝2d2；A．① B．②③ C．①③ D．①②③二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝8，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为．12．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连接EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连接CE，若CE＝CF，则EF长为．13．如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝°．14．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，CD＝5，DMAN=54，点M，N分别在边AB，BC上，AN⊥DM，则15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．下列结论：①BD＝DG；②CE=2BD；③CH＝EH；④FG=2三．解答题16．如图，在▱ABCD中，E，F两点分别在边AB，CD上，连接DE，BF，AF，DE⊥AB，且∠ADE＝∠CBF．（1）求证：四边形DEBF为矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AD＝6，AF＝10，求AE的长．17．如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，AF是BC边上的中线，连接BD，以BD为边作等边△BDE，连接AE．（1）求证：四边形AEBF为矩形；（2）若AC＝4，求四边形AEBF的面积．18．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．（1）求证：四边形DEFG为矩形；（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AB＝6，CE＝2，求OE的长．20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）点E是AD上一点，点F是BC的中点，连接BE，CE，EF，若BE＝12，CE＝5，BC＝13，求EF的长．21．如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．22．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE．若BD＝4，AE＝210，求菱形ABCD的面积．23．如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．参考答案一．选择题题号12345678910答案CDCCCBDCCC一．选择题1．解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵OA＝OD＝5，∴AC＝2OA＝10，BD＝2OD＝10，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AB＝6，∴BC=A∴S四边形ABCD＝BC•AD＝8×6＝48，故选：C．2．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形；②∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形；③∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；④∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；综上所述，使得▱ABCD是矩形的条件为①③④，故选：D．3．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，∴BC=B∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积=12AB×AC=12∴AD=AB⋅AC∴MN的最小值为6013故选：C．4．解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD=1∴CE=10故选：C．5．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6，OB＝OD=∴∠DOC＝90°，CD=O∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故选：C．6．解：设矩形ABCD的对角线交于点O，如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，OE＝OF＝OG＝OH，∴S矩形ABCD＝4S△OAB，S矩形EFGH＝4S△OEF，∴矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值=S∵EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴SOEF∵BF⊥OA，OE＝OF，∴cosα=OF∴矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值＝cos2α．故选：B．7．解：连接CE，BD，∵DE是AC的垂直平分线，∴∠ADF＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∵AF＝BF，∴DF为△ABC的中位线，∴DF∥BC，∴∠ACB＝∠ADF＝90°，∵BE⊥DF，∴∠DEB＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BD＝CE，故A不符合题意；∵四边形BCDE是矩形，∴AC∥BE，∴∠A＝∠EBF，∵∠ADF＝∠DEB＝90°，AF＝BF，∴△ADF≌△BEF（AAS），∴DF＝EF，∵∠A＝30°，∴AF＝2DF，∴AF＝2EF，故B不符合题意；∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∴AC=A∴CD=1∴四边形BCDE的面积=BC⋅CD=2×3故C不符合题意；∵BC＝2，CD=3∴BC≠CD，∴四边形BCDE不是正方形，故D符合题意；故选：D．8．解：由题意得，CQ＝tcm，AP＝5tcm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝30cm，∴DQ＝（30﹣t）cm，当四边形APQD是矩形时，DQ＝AP，∴30﹣t＝5t，∴6t＝30，∴t＝5，故选：C．9．解：∵AB＝3，BC＝4，CE＝6，EF＝8，∴AB：CE＝BC：EF＝1：2，∵矩形ABCD和矩形CEFG，∴∠B＝∠E＝90°，∴矩形ABCD和矩形CEFG相似，∴∠ACB＝∠CFE，∵∠FCE+∠CFE＝90°，∴∠FCE+∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°，∵M是AF的中点，∴CM=12如图，延长AD交EF于点H，得矩形CEHD，矩形DHFG，∴CD＝EH＝AB＝3，CE＝DH＝6，∴AH＝AD+DH＝4+6＝10，FH＝EF﹣EH＝8﹣3＝5，∴AF=AH2∴CM=5故选：C．10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，如图所示，连接AC，交EF与点H，取AH的中点为O，连接OG，∴AC=A∵E、F分别是边AB，CD上的动点（不与端点重合），且AE＝CF，∴EF＜AC，即EF＜a当点E在AB中点时，则点F在CD中点，∴AE＝BE＝CF＝DF，且AB∥CD，∠ADC＝∠BAD＝90°，∴四边形AEFD和四边形EBCF是矩形，∴EF⊥AB，EF＝BC＝b，∴b≤EF＜a2+∵AE∥CF，∴∠1＝∠4，在△AEH和△CFH中，∠1=∠4∠2=∠3∴△AEH≌△CFH（AAS），∴AH＝CH，EH＝FH，即点H是AC，EF的中点，∵AG⊥EF，∴∠AGH＝90°，当点E、F运动时，点G在以AH为直径，点O为圆心的⊙O上运动，∴当点G与点H重合时，AG为⊙O的直径，此时AG的最大值为d=AH=1∴a2+b2＝4d2，故②错误；在⊙O中，AG≤AH，即d≤AC，∵OG=OH=1∴OC＝CH+OH=12AC+14在△COG中，OC﹣OG＜CG＜OC+OG，即34∴AC＜CG＜AC，当点C，O，G三点共线时，取到等号，∴12AC≤CG≤AC∴CG≥d，故③正确；综上所述，正确的有①③，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，∵四边形ABCD是矩形，AB＝15，BC＝8，∴CD＝AB＝15，AD＝BC＝8，∠ADC＝90°，∴AC=A∵PF∥BC，∴∠PFD+∠ADC＝180°，∴∠PFD＝90°，∵PE⊥AD，∴∠PED＝∠EDF＝∠PFD＝90°，∴四边形DEPF是矩形，∴EF＝DP，要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，∵S△ADC∴DP′=AD⋅CD故EF的最小值为12017故答案为：1201712．解：作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD为矩形，BD＝5，CD＝3，∴AD＝BC＝5，∠CDE＝∠BCD＝90°，∴四边形CDEH为矩形，BC=B∴EH＝CD＝3，ED＝HC，∵BF＝DE，CE＝CF，设CE＝CF＝x，则BF＝DE＝4﹣x，∵CD2+DE2＝CE2，∴32+（4﹣x）2＝x2，解得x=25∴ED=HC=4−25∴FH=CF−HC=9∴EF=E故答案为：15413．解：由题意得，CD′＝CD，∵四边形OD'DC为菱形，∴DD′＝CD，∴CD′＝DD′＝CD，∴△CDD′是等边三角形，∴∠DCD′＝60°，∴∠D′CO＝60°，∵四边形A'BCD'是个矩形，∴∠BCD′＝90°，∴∠A'CB＝30°，故答案为：30．14．解：如图，过点D作平行于AB的直线，与交过点A且平行于BC的直线交于R，交BC的延长线于S，过点D作DE⊥AB于E，则四边形ABSR是平行四边形，∵四边形ABCD中，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABSR是矩形，同理四边形AEDR是矩形，∴∠ABC＝∠S＝∠R＝∠DEM＝90°，∵AN⊥DM，∴∠EDM＝90°﹣∠DFN＝90°﹣∠AFE＝∠BAN，∵∠DEM＝∠ABN＝90°，∴△EDM∽△BAN，∴DEAB∵DMAN∴DEAB∵AB＝8，AB＝8，BC＝6，CD＝5，∴DE=54×∴AR＝BS＝DE＝10，∴SC＝4，∴DS=5∴DR＝8﹣3＝5，在直角三角形ARD中，由勾股定理得：AD=52+1故答案为：5515．解：连接DF、HF，如图所示：∵∠ABC＝90°，BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，由旋转得：△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，∠ADE＝90°，∠DEA＝∠DAE＝45°，∴∠ABD=∠ADB=180°−45°2=67.5°∵EF∥AB，∴∠AEF＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴∠GFB＝90°，EF＝AB＝AD＝ED，∠DEF＝90°﹣∠AED＝45°，∴∠GBF＝90°﹣∠ABD＝22.5°，∵∠EDC＝∠EFC＝90°，ED＝EF，EC＝EC，∴△EDC≌△EFC（HL），∴CD＝CF，∴∠CFD=∠CDF=1∴∠GFD＝90°﹣∠CFD＝67.5°＝∠FGD，∴BD＝FD＝GD，∴点D是BG的中点，即BD＝DG，故①正确；∵∠GDC＝∠ADB＝67.5°，∴∠EDG＝90°﹣∠GDC＝22.5°，∵△EDC≌△EFC，∴∠DEH=∠FEC=1∴DH＝EH，∵∠HDC＝∠HCD＝67.5°，∴DH＝CH，∴CH＝EH＝DH，故③正确；∵CH＝EH，∠EFC＝90°，∴HD=HF=1∵∠HDF＝∠DBF+∠DFB＝45°，∴△HDF是等腰直角三角形，∴DF=2∵CE＝2DH，BD＝DF，∴CE=2BD，故设DF交CE于O，∵△HDF是等腰直角三角形，∠DHC＝∠FHC＝45°，∴△DOH和△FOH都是等腰直角三角形，∴OD＝OH＝OF，设OD＝OH＝OF＝a，∴DG＝DF＝2a，DH=HF=EH=2∴HG=DG−DH=2a−2a，∴GFEF∴EF∴EFGF∴EF=(1+2∴GE=EF−FG=即FG=2EG，故综上所述，正确的有①②③④；故答案为：①②③④．三．解答题（共8小题）16．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠DAE＝∠C，在△ADE与△CBF中，∠ADE=∠CBF∠DAE=∠C∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）解：∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵DF＝BE，∴BE＝6，∵DE⊥AB，BF∥DE，∴BF⊥AB，∴∠AHD＝∠ABF＝90°，∵四边形DEBF为平行四边形，∴DE＝BF，∵AD2﹣AE2＝DE2，AF2﹣AB2＝BF2，∴AD2﹣AE2＝AF2﹣AB2，∴62﹣AE2＝102﹣（AE+6）2，∴AE=717．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵点D是AC的中点，AF是BC边的中线，∴AF＝BD，∠CBD＝30°，AF⊥BC，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∵△BDE是等边三角形，∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∴AF＝BD＝BE，∠EBF＝60°+30°＝90°，∴∠EBF＝∠AFC＝90°，∴AF∥BE，∴四边形AEBF是平行四边形，又∵∠AFB＝90°，∴平行四边形AEBF是矩形；（2）解：∵AC＝4，△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB＝4，∵AF是BC边的中线，∴∠AFB=90°，BF=1在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=AB2又∵四边形AEBF是矩形，∴S矩形AEBF18．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴点D是BC的中点．∵E点是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC.∵DG⊥AC，EF⊥AC，∴EF∥DG．∴四边形DEFG是平行四边形．又∵∠EFG＝90°，∴四边形DEFG为矩形；（2）∵AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，AB＝10，∴DE＝AE=12由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE＝5．在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF=A∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∴AD＝AB＝BC＝6，∵EC＝2，∴BE＝6﹣2＝4，在Rt△ABE中，AE=AB2∴DF＝AE＝4，在Rt△AEC中，AC=AE2∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE=12AC20．（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．