2025年中考数学总复习《二次函数中正方形的存在性问题》专项检测卷有答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《二次函数中正方形的存在性问题》专项检测卷有答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．(1)求该抛物线的表达式；(2)如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标；(3)若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标．2．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点E在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长；(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标；(3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值．4．已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m．①当四边形为正方形时，求m的值；②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围．5．定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．(1)抛物线的顶点坐标为，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为；(2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式；(3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值．6．综合与探究如图1，欣欣利用几何画板绘制了抛物线，抛物线的顶点的坐标为，且经过点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图2，欣欣继续利用几何画板绘制了一条平行于轴的直线，当直线上所有点的纵坐标为时，在上取、两点（点在点的左侧），以为边在的下方利用几何画板软件构造正方形，且点、恰好在抛物线上，求点的坐标．(3)如图3，欣欣继续利用几何画板绘制了抛物线，抛物线的顶点的坐标为，向上平移（2）中的直线，使得直线与两条抛物线从左向右依次交于，，，四点，若点，，直接写出的长．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点．(1)求a，b的值．(2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E，①当直线经过点D时，求的长；②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点①连接，，当取最小值时，求b的值；②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积．9．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)当四边形为正方形时，求线段的长．10．已知抛物线的图象经过点，．其对称轴为直线，与轴的另一交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点在线段上，过点作轴于点，以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标．11．如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求点A的坐标；(3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m．①求线段的长（用含m的代数式表示）；②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值．12．如图①，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接，交抛物线于点，点的坐标为．(1)求此抛物线的解析式；(2)求点的坐标；(3)如图②，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为．①求线段的长（用含的代数式表示）；②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时的值．13．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点、均在这条抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，点，之间的部分记为图象．以原点为中心，为边长构造正方形，其中边平行于轴，边平行于轴．(1)_____；(2)当点落在直线上时，求出此时正方形的边长；(3)当正方形的面积为时，试通过计算判断点是否在正方形的内部；(4)当图象在正方形内部（不包括边界）的图象随的增大而增大时，直接写出的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，．经过点O，A的抛物线L：交AB于点C，点C的横坐标为1．点P在线段AB上，当点P与点C不重合时，过点P作轴，与抛物线交于点Q.以PQ为边向右侧作矩形，且．设点P的横坐标为m时，解答下列问题．(1)求此抛物线L的解析式；(2)当抛物线的顶点落在边上时，求m的值；(3)矩形为正方形时，直接写出m的值．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为．(1)求二次函数的解析式；(2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标；(3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．(1)(2)或(3)或或．【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可；（2）直线的表达式为，代入A、C求出表达式，过点M作轴，交于点N，设，则，结合，再根据即可求出答案；（3）求解对称轴为直线，顶点坐标为，如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；，设，，证明，可得，，再建立方程求解即可；如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，同理可得：，可得，，如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，此时，，证明四边形是正方形，从而可得答案．【详解】（1）解：，，，将A、B、C代入，得，解得，抛物线的函数表达式为；（2）解：设直线的表达式为，代入A、C得，解得，，过点M作轴，交于点N，设，则，，，即，解得或，或；（3）解：∵抛物线为，∴对称轴为直线，顶点坐标为，如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；∴，设，，∵正方形，∴，，∴，∴，∴，，∴，解得：，（舍去），∴，，同理可得：，，∴，∴；如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，同理可得：，∴，，∴，解得：（舍去），，∴，同理可得：，，∴，∴；如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，此时，，∴，且，此时四边形是正方形，∴，综上：或或．【点睛】本题考查的是待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．2．(1)(2)(3)点坐标或或或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线的解析式为，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，推出，设，则，由点在直线上，列式计算，可求得的值，利用平移的性质即可求解．当沿着点逆时针旋转得到，设，则点，然后表示出的坐标，再代入一次函数即可解答．【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，∴解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵点和，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，设，且，则，，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，依题意得，解得（舍去）或，∴；（3）解：令，则，解得或，∴，设直线的解析式为，将，代入，解得,，∴直线的解析式为，∵四边形是正方形，∴，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，∴∴，∴设，当点在轴左侧，轴下方时，则，，∴，∵点在直线上，∴．解得或（舍去），当时，，，点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点，则点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点，当点在轴左侧，轴上方时，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则，，∴，∵点在直线上，∴，解得：（舍去），，∴，，同理可得：；当点在轴右侧，轴下方时，作轴，轴，如图：设，则点，则点，∴，解得，∴（舍去），∴点的坐标为；当点在轴右侧，轴上方时，作轴，轴，如图：则，，∴，∵点在直线上，∴，解得：（舍去），∴，∴点N的坐标为；综上，点坐标或或或．【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的关系，数形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键．3．(1)(2)(3)【分析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题的关键；（1）把，，代入，即可求得答案；（2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案；（3运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案；【详解】（1）解：把，，代入得，，解得：，，，∴抛物线的解析式为；（2）解：设，四边形是正方形，，即，解得：，，，∴当四边形是正方形时，点的坐标；（3）解：如图，连接，过点作轴交于点．设直线的解析式为．把，代入，得，解得：，直线的解析式为，，，，设，则，，，由题意，得，当时，达到最大值为；4．(1)；(2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或．【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围．（1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式；（2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可；②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，，，抛物线与轴的交点坐标为，，抛物线的解析式为；（2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，，，，当四边形为正方形时，，，，解得，（不符合题意，舍去），或者，解得，（不符合题意，舍去），的值为1或0；②根据①可知：当或时，，当时，，，当或时，，当时，的取值范围为或．5．(1)，(2)(3)【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．（1）根据顶点式直接写出顶点坐标；（2）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；（3）写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求a．【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，故答案为：，（2）解：，∴顶点为，∵关于x轴的对称点为，∴抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式为：；（3）解：当时，，∴，∴，∴，∵抛物线L的对称轴为直线，∴点，∴，∵四边形是正方形，∴，即，解得：（舍）或．∴．6．(1)抛物线的解析式为(2)(3)【分析】本题是二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，正方形的性质，一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．（1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；（2）由题意可知，直线为，设，，则，，再根据正方形的性质列方程组，可求出、，即可求解；（3）根据题意可求出，进而求出抛物线的解析式为，令，求出，即可求解．【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）直线上所有点的纵坐标为，直线为，设，，，，四边形是正方形，，，由①得：，，当时，（不合题意，舍去），当时，，代入②式得：，解得：或（舍去），，；（3）点，，，都在直线上，且直线平行于轴，，抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入得：，解得：，抛物线的解析式为，当时，，解得：，，，，．7．(1)(2)①；②【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题；（2）①根据抛物线得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而推出点的坐标，即可解题；②设点P的坐标为，进而得到点的坐标为，结合正方形性质得到点的坐标为，根据点F在抛物线上，建立等式求解，即可解题．【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得；（2）解：①由（1）知，抛物线解析式为，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，轴，当直线经过点D时，有，则，；②设点P的坐标为，轴，点的坐标为，，在的左侧作正方形，且点F在抛物线上，，点的坐标为，且，整理得，解得或，动点P不与点O，B重合，，点P的坐标为．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，正方形性质，二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．8．(1)(2)①；②或【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）①联立两方程得到，然后设，，得到，然后求得点D的横坐标，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长，然后求出直线，即可求b值；②分为点P在抛物线上和点Q在抛物线上两种情况，利用全等三角形，结合一次函数的解析式即可解题．【详解】（1）∵，∴，，.设抛物线的表达式为.将代入，得.∴抛物线的函数表达式为，即.（2）①联立.整理，得.设，.由根与系数的关系，得.∵点D是的中点，∴点D的横坐标为.将代入，得.∴点D在直线上运动，且.……如图1，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长.设直线的函数表达式为，将，代入，得.解得.∴直线的函数表达式为，令，得.∴.将点代入，得.②（ⅰ）当点P在抛物线上时，如图2，过点M作直线l平行于x轴，过点P，N分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H.设点M，N，P的横坐标分别为m，n，p.由①知，，∴.∴.同理可得，即.∴.∵是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，.∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴.∴.∴.（ⅱ）当点Q在抛物线上时，如图3，过点N作直线l平行于y轴，过点Q，M分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H.设点M，N，Q的横坐标分别为m，n，q.由①知，，，∴，.∴，.由（ⅰ）得，∴，.∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴.∴，.∴.综上所述，正方形有三个顶点在抛物线上时，正方形的面积为或.【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键．9．(1)(2)【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．（1）将点代入抛物线中求出解析式为；（2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解．【详解】（1）将点代入抛物线中，得解得，∴抛物线解析式为；（2）设、分别与轴交于点M和点N，当四边形为正方形时，设，则，，∴E点坐标为，代入抛物线中，得到：，解得，（负值舍去），∴．10．(1)(2)【分析】（1）先将点代入解析式得到，再将点代入解析式，结合对称轴公式可得到，，即可得到答案；（2）先利用待定系数法求得直线的解析式，设，则点，得到，连接，设与交于点，根据正方形的性质推出，从而得到，代入抛物线解析式即可到答案．【详解】（1）解：抛物线的图象经过点对称轴为直线，且经过点解得：抛物线的解析式为．（2）解：设直线的解析式为，，解得：直线的解析式为设，轴于点点坐标为连接，设与交于点，如图四边形是正方形，，轴，，点的横坐标为点在抛物线上解得：（舍去），当时，点的坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，解二元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．11．(1)(2)(3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解；（2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可；（3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可．【详解】（1）解：把点代入抛物线得，，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）解：在，当时，，解得，（不符合题意，舍去），∴；（3）解：①∵轴，轴，∴，∵，∴，∴，∵点是抛物线的一点，且横坐标为，∴，∴，∵过点作轴于点，∴，∴，∴；②设直线的解析式为，把代入中得，解得，，∴直线的解析式为，∵点在直线的图象上，且点的横坐标为，∴，由①得，，点，∴，设，∵点的纵坐标相同，∴轴，，当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示，∴，解得，；当为正方形的对角线时，连接，交于点Q，∵四边形是正方形，∴，，，∴四边形是矩形，则，∴，解得，；综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键．12．(1)(2)(3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解；（2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可；（3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可．【详解】（1）解：把点代入抛物线得，，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）解：已知抛物线的解析式为：，∴令时，，解得，，（不符合题意，舍去），∴；（3）解：①∵轴，轴，∴，∵，∴，∴，∵设点是抛物线的一点，且横坐标为，∴，∴，∵过点作轴于点，∴，∴，∴；②∵，∴设直线的解析式为，∴，解得，，∴直线的解析式为，∵点在直线的图象上，且点的横坐标为，点三点共线，∴，由①得，，点，∴，设，∵点的纵坐标相同，∴轴，，当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示，∴，解得，；当为正方形的对角线时，连接，交于点∵四边形是正方形，∴，，，∴四边形是矩形，则，∴，解得，；综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键．13．(1)2(2)或(3)当时，点Q在正方形的内部；当时，点Q在正方形的外部(4)或【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得，解答即可b的值；（2）根据点落在直线上，同时也在抛物线上，构造方程组，求得x的值即为m的值，结合题意解答即可；（3）当正方形的面积为时，得，解得或，确定P的坐标，Q的坐标，确定正方形的位置，解答即可．（4）先计算抛物线与，的交点，再结合定义，利用数形结合思想，分类计算即可．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，解得：，故答案为：．（2）解：∵点落在直线上，同时也在抛物线上，∴点P的坐标是方程组的解，解得或，∴或，∴或，故正方形的边长为或．（3）解：当正方形的面积为时，得正方形的边长为3，∴，解得或，当时，，∴，∴点，在x轴上，当时，，∴，∴点，在第四象限，∵以原点为中心，3为边长构造正方形，其中边平行于轴，边平行于轴，∴点，点，点，点，∴，时，点在正方形的内部，∴点在正方形的内部，点正方形的外部．（4）解：∵，解得，∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，，设直线与抛物线的交点分别为E，F，∵点落在直线上，同时也在抛物线上，∴点P的坐标是方程组的解，解得或，∴或，设直线与抛物线的交点分别为G，H，∵点落在直线上，同时也在抛物线上，∴点P的坐标是方程组的解，解得或，∴或，当点P与点E重合时，此时；由，，正方形内部的G图象仅是对称轴左侧的部分，满足y随x的增大而增大，符合题意，同理可证，当点B与点G重合时，也符合题意，此时，故；当时，正方形内部的G图象是对称轴左侧，右侧的两部分，部满足y随x的增大而增大，不符合题意，舍去；同理可证，当也是符合题意的，故或．【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，方程组求图象的交点，正方