2025年中考数学总复习《二次函数与反比例函数》专项检测卷附答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《二次函数与反比例函数》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若抛物线与x轴围成封闭区域（包含边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则函数的图象是如图所示的（）A． B． C． D．2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为（

）A． B． C． D．4．已知点A(4，y1)，B(﹣1，y2)，C(﹣3，y3)均在抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）上，则y1，y2，y3的大小关系为（

）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y15．如图，双曲线经过斜边的中点D，与边相交于点C，若的面积为6，则k的值为（）

A．4 B．8 C．10 D．126．已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为则下列结论：④关于x的方程无实根．其中正确的结论是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④二、填空题7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一点，等边三角形的面积是，则．

8．已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，的边与反比例函数有交点．（1）如图①，点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为点B，的面积为6，则k的值为．（2）如图②，反比例函数的图象经过的顶点A和边的中点C．若的面积为6，则k的值为．9．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在轴上，双曲线经过斜边0A的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=6，则的值为．10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C的坐标分别为，反比例函数的图象经过点B，则反比例函数的表达式为．11．如图，等腰的边在x轴的负半轴上，点B在第二象限且的面积为6，反比例函数的图象经过点B，则k的值是．12．已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为．三、解答题13．有一块形状如图1的四边形余料，，，，，，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在上．(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边在上，设，矩形的面积为y，①求y关于x的函数表达式．②求矩形面积y的最大值．(2)能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+b与双曲线交于A（1，3），B（3，m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．(1)求a，b，k的值；(2)求△OAB的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点的横坐标为．(1)请直接写出，的值；(2)如图，若抛物线的对称轴为直线，点为直线上一动点，当垂直平分时，求的值；(3)过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线与抛物线的另一个交点为，线段，的长度之和记为．①求关于的函数解析式；②根据的不同取值，试探索点的个数情况．16．如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)根据图像直接写出不等式时的解集．17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标；(3)点M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，，，使得与的面积相等，①求出点Q到直线的距离；②当线段的长度最小时，直接写出此时Q点坐标．18．在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上．(1)当时，求的值；(2)在（1）的条件下，当时，求的取值范围；(3)若时，函数的最小值为，求的值．参考答案题号123456答案CADAAC1．C【分析】先求出抛物线与坐标轴的交点，再画出大致函数图象，从而可得，然后根据正比例函数的图象即可得．【详解】解：对于抛物线，当时，，解得或，当时，，画出抛物线的大致函数图象如下：由此可知，抛物线与轴围成封闭区域（包含边界）内整点为，，和，共有4个，则，所以函数的解析式为，当时，，观察四个图象可知，只有经过点，即为函数图象，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象、正比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．2．A【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质．观察函数图象即可求解．【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，∴不等式的解集为或．故选：A．3．D【分析】根据“上加下减，左加右减”的方式对原解析式进行变形即可．【详解】解：将二次函数的图象向左平移5个单位，所得图象的解析式为，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握平移后解析式的变化规律．4．A【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为x＝2，然后比较三个点离y轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．【详解】解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣4ax+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵A（4，y1），B（﹣1，y2），C（-3，y3），∴点C离y轴最远，点A离y轴最近，∵抛物线开口向上，∴y1＜y2＜y3．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握依据函数解析式确定函数的开口方向，对称轴及增减性．5．A【分析】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．过D点作x轴的垂线交x轴于E点，设出点D的坐标，根据中点可表示点B的坐标，进而表达点C的坐标，根据面积公式，建立方程，可求出k的值．【详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，

设D点的横坐标为x,纵坐标就为，为的中点．，，，，，．故选：A．6．C【分析】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．根据二次函数的图象和性质逐个判断求解即可．【详解】解：∵对称轴是直线，∴，即，∵抛物线开口向下，∴，∴，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴有两个不相等的实数根，∴，即，故②正确；∵当时，，∴，即，故③错误；∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的最大值为n，∴关于x的方程无实根，故④正确；综上所述，正确的有①②④，故C正确．故选：C．7．【分析】过点作于点，根据等边三角形的性质得出，则，根据反比例函数的几何意义，即可求解．【详解】解：过点作于点，

∵是等边三角形，∴∴∴,故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．8．【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，k的几何意义，以及三角形中位线性质．（1）根据k的几何意义得到求解，再结合，即可解题；（2）根据三角形中位线性质得到的面积为6，的面积为12，设，表示出点B，点C的坐标，利用点A，点C都在反比例函数图象上建立等式求解出，即可解题．【详解】（1）解：的面积为6，，，，．故答案为：．（2）解：边的中点为C．的面积为6，的面积为6，的面积为12，设，，，即，，，整理得，解得，k的值为，故答案为：．9．8【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，利用的性质求解即可．【详解】解：作于，∵点、在双曲线上，∴，∵点为的中点，，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∴，故答案为：8．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和相似三角形的判定与性质，明确k的几何意义是解题的关键．10．【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，进而求出，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，把代入中得：，∴反比例函数解析式为，故答案为：．11．【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【详解】解∶，，，，反比例函数图象位于第二、四象限，故答答为∶．12．【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称．【详解】∵已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，∴交点坐标为∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点关于原点对称，∴该点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键．13．(1)①；②当时，y取到最大值(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为【分析】（1）①由锐角三角函数可求的长，由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解；（2）用分别表示，的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】（1）解：①如图2，四边形是矩形，，，，，，；②点在线段上，，，当时，的最大值为10；（2）能，如图1，当点在线段上时，过点D作于，四边形是矩形，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，当时，有最大值为，，能截出比（1）中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14．(1)a=-1，b=4，k=3(2)4(3)存在，P（-2，0）或（10，0）【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）先由直线解析式求得D（0，4），C（4，0），根据△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积求得△AOB的面积；（3）根据题意得到PC•OD=12，即=12，即可求得PC的长，从而求得P的坐标．【详解】（1）将点A（1，3）代入y=得：3=，解得k=3，故反比例函数的表达式为：y=，将点B（3，m）代入y=得：m=1，故点B（3，1），将点A（1，3），B（3，1）代入y=ax+b，得，解得；故a=-1，b=4，k=3；（2）由一次函数y=-x+4可知，D（0，4），C（4，0），则△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积=-=4；（3）∵△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．∴PC•OD=12，即=12，∴PC=6，∴P（-2，0）或（10，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．15．(1)(2)(3)①；②当时，点有2个，当时，点只有1个【分析】（1）把，，两点坐标代入，求出的值即可；（2）过点作轴交于点，连接，证明轴，得出直线的解析式为，设，根据，建立方程，解方程，即可求解；（3）①设，且,则，根据对称性可得，则，进而分类讨论得出；②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解．【详解】（1）解：把，两点坐标代入，得，，解得，；（2）解：如图所示，过点作轴交于点，连接，由（1）可得抛物线解析式为对称轴为直线，当时，，则，∵，则，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴∴∵垂直平分∴，，∴是等腰直角三角形，∴轴，设直线的解析式为，将，代入得，解得：所以直线的解析式为，设，∵点是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则且,则，∴，∵∴，解得：或（舍去）（3）解：如图所示，设，且,则，过点作轴的垂线与抛物线的另一个交点为，则点与点关于对称，∴∴，∴；当时，当时，∴②∵当时，,∵当时，，对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而增大，最大值为（取不到），当时，,当时，对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而减小，当时，（取不到），函数图象如图所示，∴当时，点有2个，当时，点只有1个．【点睛】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题，待定系数法求解析式，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．(1)(2)6(3)或【分析】（1）先把代入求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；（2）先求解C的坐标，再利用，从而可得答案.（3）由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案.【详解】（1）解：把代入得：所以反比例函数的解析式为：把代入得把代入得：解得：所以一次函数的解析式为：（2）解：为令则即（3）解：由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，所以：或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，三角形面积的计算，利用图象法解不等式，掌握“数形结合的方法”是解本题的关键.17．(1)(2)(3)①１；②或【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可．（2）取点，先证明，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，解答即可．（3）确定直线的解析式为：，设，则，，则，，设，则点Q到直线的距离为，利用三角形面积相等，构造二次函数求值计算即可．【详解】（1）把，点分别代入解析式，得得