北京市2024年中考数学试卷附真题解析

北京市2024年中考数学试卷一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、此选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故答案为：B.

【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.2．如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为()A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵OE⊥OC，

∴∠COE=90°，

∵∠AOC=58°，

∴∠EOB=180°-∠AOC-∠COE=180°-58°-90°=32°.

故答案为：B.

【分析】由垂直的定义得∠COE=90°，从而根据平角的定义，由∠EOB=180°-∠AOC-∠COE代入计算即可得出答案.3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：A、由数轴可得-2＜b＜-1，故A选项错误，不符合题意；

B、由数轴可得-2＜b＜-1，∴1＜|b|＜2，故B选项错误，不符合题意；

C、由数轴可得-2＜b＜-1＜2＜a，∴|a|＞|b|，∴a+b＞0，故C选项正确，符合题意；

D、由数轴可得-2＜b＜-1＜2＜a，∴ab＜0，故D选项错误，不符合题意.

故答案为：C.

【分析】由数轴可得-2＜b＜-1＜2＜a，据此可直接判断A选项；然后根据绝对值的几何意义，可判断B选项；由有理数的加法法则“绝对值不相等得异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”，据此可判断C选项；由有理数的乘法法则“异号两数相乘，积为负数”可判断D选项.4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为()A． B． C．4 D．16【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，

∴△=b2-4ac=0，即（-4）2-4c=0，

解得c=4.

故答案为：C.

【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此斌结合题意列出方程，求解即可.5．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

第一次取到白球的概率为：

第二次取到白球的概率为：

则两次都取到白球的概率为：

故答案为：D.

【分析】根据简单事件的概率即可求出答案。6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为()A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：m=5×4×1017=20×1017=2×10×1017=2×1018.

故答案为：D.

【分析】根据m=5×日前已部署上架和调试的设备的算力列出式子，然后根据单项式乘以单项式法则进行计算，进而再根据用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.7．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则.上述方法通过判定得到，其中判定的依据是()A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【解析】【解答】解：由作图过程可得OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，

∴△COD≌△C'O'D'（SSS），

∴∠AOB=∠A'O'B'.

故答案为：A.

【分析】根据作图过程可得OC=O'C'=OD=O'D'，CD=C'D'，从而结合全等三角形的判定定理即可答案.8．如图，在菱形中，，O为对角线的交点.将菱形绕点O逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E，F，G，H.对八边形给出下面四个结论：

①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.上述结论中，所有正确结论的序号是()A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】【解答】解：延长BD和DB，连接OH，

∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，

∴∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，

∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，

∴点A'、B'、C'、D'一定在对角线AC、BD上，且OD=OD'=OB=OB'，OA=OA'=OC=OC'，∴AD'=C'D，∠D'AH=∠DC'H=30°，

又∵∠D'HA=∠DHC'，

∴△AD'H≌△C'DH（AAS），

∴D'H=DH，C'H=AH，

同理可证D'E=BE，BF=B'F，B'G=DG，

∵∠EA'B=∠HC'D=30°，A'B=C'D，∠A'BE=∠C'DH=120°，

∴△A'BE'≌△C'DH（ASA），

∴DH=BE，

∴DH=BE=D'H=D'E=BF=B'F=B'G=DG，

∴该八边形各边都相等，故①正确；

根据角平分线的性质定理得点O到该八边形各边所在直线的距离相等，故④正确；

根据题意得∠ED'H=120°，

∵∠D'OD=90°，∠OD'H=∠ODH=60°，

∴∠D'HD=150°，

∴该八边形各个内角不相等，故②错误；

∵OD=OD'，D'H=DH，OH=OH，

∴△D'OH≌△DOH（SSS），

∴∠D'OH=∠DOH=45°，∠D'HO=∠DHO=75°，

∴OD≠OH，

∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误，

综上，正确的有①④.

故答案为：B.

【分析】延长BD和DB，连接OH，由菱形性质得∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，由旋转性质得点A'、B'、C'、D'一定在对角线AC、BD上，且OD=OD'=OB=OB'，OA=OA'=OC=OC'，从而可用AAS判断出△AD'H≌△C'DH，得D'H=DH，C'H=AH，同理可证D'E=BE，BF=B'F，B'G=DG；由ASA判断出△A'BE'≌△C'DH，得DH=BE，据此可判断①；根据角平分线的性质定理得点O到该八边形各边所在直线的距离相等，可判断④；通过角度计算可判断②；用SSS判断出△D'OH≌△DOH，得∠D'OH=∠DOH=45°，∠D'HO=∠DHO=75°，​​​​​​​据此可判断③.二、填空题9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.【答案】【解析】【解答】解：由题意得x-9≥0，

解得x≥9.

故答案为：x≥9.

【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.10．分解因式：.【答案】【解析】【解答】解：x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).

故答案为：x(x+5)(x-5).

【分析】先提取各项的公因式x，再将剩下的商式利用平方差公式进行第二次分解即可.11．方程的解为.【答案】【解析】【解答】解：，

方程两边同时乘以x(2x+3)约去分母，

得x+2x+3=0，

解得x=-1，

当x=-1时，x(2x+3)≠0，

∴原分式方程的解为：x=-1.

故答案为：x=-1.

【分析】方程两边同时乘以x(2x+3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是.【答案】0【解析】【解答】解：∵点(3，y1)在函数的图象的图象上，

∴

∵点(-3，y2)在函数的图象的图象上，

∴，

∴.

故答案为：0.

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点将两点坐标分别代入反比例函数的解析式，用含k的式子表示出y1与y2，最后再求和即可.13．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02，当一个工件的质量x（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是.【答案】160【解析】【解答】解：∵工件的质量满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品，

∴抽取的十个工件质量为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02共8个，

∴估计这200个工件中一等品的个数是（个）.

故答案为：160.

【分析】用工厂加工的工件总数量乘以抽取的样本中质量为一等品的所占的分率即可得出答案.14．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则°.【答案】55【解析】【解答】解：∵直径AB平分非直径的弦CD，

∴AB⊥CD，

∴∠B=90°-∠D=55°，

∴∠C=∠B=55°.

故答案为：55.

【分析】由平分非直径的弦得直径垂直于弦可得AB⊥CD，由直角三角形两锐角互余可得∠B的度数，进而再根据同弧所对的圆周角相等可得∠C的度数.15．如图，在正方形中，点E在上，于点F，于点G.若，，则的面积为.【答案】【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=5，∠ADC=∠DAB=90°，AB∥CD，

∵CG⊥DE，AF⊥DE，

∴∠AFD=∠AFE=90°，

∴∠CGD=90°，

在Rt△CDG中，∠CGD=90°，

，

∵∠ADF+∠CDG=∠CDG+∠DCG=90°，

∴∠ADF=∠DCG，

在△ADF与△DCG中，

∵∠CGD=∠DFA=90°，∠ADF=∠DCG，AD=CD，

∴△ADF≌△DCG（AAS），

∴DG=AF=3，

∵AB∥CD，

∴∠CDG=∠AEF，

∴tan∠CDG=tan∠AEF，

∴，即，

∴，

∴.

故答案为：.

【分析】由正方形的性质得AD=CD=5，∠ADC=∠DAB=90°，AB∥CD，在Rt△CDG中，由勾股定理算出DG的长，由同角的余角相等得∠ADF=∠DCG，从而用AAS判断出△ADF≌△DCG，由全等三角形对应边相等得DG=AF=3，由二直线平行，内错角相等得∠CDG=∠AEF，由等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得，据此求出EF的长，最后根据三角形的面积计算公式计算即可.16．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排【答案】60；【解析】【解答】解：节目D的演员的候场时间为30+10+20=60min；

若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按C-A-B-D的先后顺序进行彩排.

故答案为：60；C-A-B-D.

【分析】根据候场时间的定义进行计算可得第一空的答案；由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，故那么C在A的前面；B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，故B在D前面.三、解答题17．计算：【答案】解：原式

【解析】【分析】先根据零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”、二次格式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质分别化简，再计算乘法，最后计算有理数的减法及合并同类二次根式即可.18．解不等式组：.【答案】解：解不等式①，得，

解不等式②，得，不等式组的解集为【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.19．已知，求代数式的值.【答案】解：原式，，，原式【解析】【分析】将待求式子的分子去括号合并同类后利用提取公因式法分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，进而约分化简；由已知等式可得a-b=1，从而整体代入化简后的式子计算即可.20．如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，.（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，，求的长.【答案】（1）证明：E是的中点，，∴，，四边形为平行四边形；（2）解：，，在中，，，，E是的中点，，，四边形为平行四边形，，在中，由勾股定理得.【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理得EF∥AD，然后根据两组对边分别平行得四边形是平行四边形可得结论；

（2）在Rt△EFB中，由∠FEB的正切函数及EF的长可求出FB的长，由三角形的中位线定理可求出AD=2EF=2，由平行四边形的对边相等可得CF=AD=2，最后在Rt△BCF中，利用勾股定理可算出BC的长.21．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.【答案】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，由题意得：，解得：，，这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是符合“标准”.【解析】【分析】设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为(40-x)mg/km，改进前该汽车的A类物质排放量为mg/km，B类物质排放量为mg/km，然后根据改进前该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和为92mg/km，列出方程，求出x的值，再与35进行比较即可得出结论.22．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.（1）求k，b的值；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围.【答案】（1）解：由题意得将（2，1）代入得：，解得：，将，（2，1），代入函数中，得：，解得：，，；（2）解：m的取值范围为.【解析】【解答】解：（2）解：，，两个一次函数的解析式分别为，，当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，即当时，对于x的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，当直线与直线平行时，，当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，，m的取值范围为.【分析】（1）将点(2，1)代入y=-kx+3可得-2k+3=1，解得k=1，再将k=1与(2，1)代入y=kx+b，可求出b的值；

（2）由（1）中所求的k、b的值可求出两个一次函数的解析式为y=x-1与y=-x+3，由题意可得当x＞2时，对于x的每一个值，直线y=mx的图象在直线y=x-1和直线y=-x+3的上方，画出草图，由图象可得直线y=mx与y=x-1平行及直线y=mx与x轴的夹角大于直线y=x-1与x轴的夹角两种情况都符合题意，进而根据两直线平行则比例系数k一样可得m=1，再根据直线与x轴夹角越大其比例系数k的绝对值越大可得m＞1，综上即可得出答案.23．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名数师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.教师评委打分：b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

平均数中位数众数教师评委m学生评委根据以上信息，回答下列问题：①m的值为，n的值位于学生评委打分数据分组的第组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲乙丙k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k（k为整数）的值为.【答案】（1）91；4；<（2）甲；【解析】【解答】解：（1）①从10名教师评委的打分可以发现出现次数最多的是91分，出现了四次，

∴教师评委打分的众数m=91；

根据直方图，学生评委45为同学的打分从低到高排列后，排23位的成绩在第4组，

故答案为：91；4；

②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为

故答案为：＜；

（2）甲选手的平均数为×(93+90+92+93+92)=92，

甲选手的方差S2甲=×[2×(92-92)2+2×(93-92)2+（90-92）2]=1，

乙选手的平均数为×(91+92+92+92+92)=91.8，

乙选手的方差S2乙=×[4×(92-91.8)2+(91-91.8)2]=0.16，

∵甲选手的平均分高于乙选手的平均分，

∴甲的排序在乙的前面，

∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，

∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，

∵5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k

∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k≥91+92+92+92+92，

即92≥k≥91，

∵k为整数，

∴k=92或91，

当k=92时，

丙选手的平均数为×(90+94+90+94+92)=92，

丙选手的方差为S2丙=×[2×(90-92)2+2×(94-92)2+（92-92）2]=3.2，

甲选手的平均分等于丙选手的平均分，丙选手的平均分大于乙选手的平均分，且丙选手的方差大于甲选手的方差，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手排序最靠前的是甲，符合题意；

当k=91时丙选手的平均数为×(90+94+90+94+91)=91.8，

丙选手的方差为S2丙=×[2×(90-91.8)2+2×(94-91.8)2+（91-91.8）2]=3.36，

甲选手的平均分大于丙选手的平均分，丙选手的平均分等于乙选手的平均分，且丙选手的方差大于乙选手的方差，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不符合题意；

不符合题意.

故答案为：92.

【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；

（2）由题意可得丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，据此建立不等式组求出k的取值范围，再结合k是整数，分情况算出甲、乙、丙的平均数及方差，再比较即可得出结论.24．如图，是的直径，点C，D在上，平分.（1）求证：；（2）延长交于点E，连接交于点F，过点B作的切线交的延长线于点P.若，，求半径的长.【答案】（1）证明：平分，，

又∵，，；（2）解：，，不妨设，，则，，，，，，，解得，取的中点M，连接，

∴，，，是的切线，，，解得x=

故半径的长为.​​​​​​​【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠AOC=2∠AOD，由圆周角定理得∠AOC=2∠B，则∠B=∠AOD，由同位角相等，两直线平行，得OD∥BC；

（2）由题意设OF=5x，BF=6x，则OB=OF+BF=11x=OC=OE，OP=11x+1，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OFE∽△BFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，取BC的中点M，连接OM，由垂径定理得OM⊥BC；由二直线平行，内错角相等，得∠OBM=∠POB，由切线的性质得OB⊥PB，从而根据等角的同名三角函数值相等并结合余弦函数的定义可建立方程求出x的值，得出答案.

25．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下：V/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与V，与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为cm（结果保留小数点后一位）.【答案】（1）解：由题意得，设V与h1的函数关系式为：，由表格数据得：，解得：，，当时，，；

补全表格如下：V/mL040100200300400500/cm01.02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8（2）解：根据表格所给出的数据，利用描点法画出函数v关于h1的函数图象及v关于h2的函数图象如下：（3）1.2；8.5【解析】【解答】解：（3）①将v=320代入v=40h1，

得40h1=320，

解得h1=8；

由图象可得当v=320时，h2≈9.2cm，

∴当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为9.2-8=1.2cm；

故答案为：1.2；

②从图象可得，当两个水杯中水面高度相同时，其水面高度约为8.5cm.

故答案为：8.5.

【分析】（1）根据表格给出的数据可得v与h1成正比例函数关系，从而利用待定系数法求出v关于h1的解析式，进而将v=40代入计算可求出对应的h1得值，据此补全表格即可；

（2）根据表格所给出的数据，将v的值作为点的横坐标，对应的h1的值作为点的纵坐标，在坐标平行内分别描出各点，再连线，即可得到v关于h1的函数图象，同理可得v关于h2的函数图象；

（3）①将v=320代入v=40h1，算出对应的h1的值，再通过图象读出当v=320时，对应的h2的值，再求差即可；

②通过图象在v=320的左右两侧分别找出h1=h2的值即可.26．在平面直角坐标系中，已知抛物线.（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求a的取值范围.【答案】（1）解：把代入得，

，抛物线的顶点坐标为；（2）解：由题意得y1=a×(3a)2-2a2×3a=3a3，

y2=ax22-2a2x2，

∵y1＜y2，

∴y2-y1=ax22-2a2x2-3a3=a(x22-2ax2-3a2)=a(x2-3a)(x2+a)＞0，

分两种情况：①当时，(x2-3a)(x2+a)＞0，

∴或解得x2＞3a或x2＜-a，

又∵3≤x2≤4，

∴3a＜3或-a＞4，

∴a＜1或a＜-4又，；

当时，(x2-3a)(x2+a)＜0，

∴或解得3a＜x2＜-a，

又∵3≤x2≤4，

∴3a＜3且-a＞4，

解得a＜-4

综上，当或a＜-4，都有y1＜y2.【解析】【分析】（1）经a=1代入y=ax2+2a2x得出抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式可得顶点坐标；

（2）根据抛物线上点的坐标特点表示出y1与y2，利用作差法建立出x2与a的不等式组，由于a的值不确定，故需要分类讨论，最后再根据取值范围进行取舍即可.27．已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作的垂线交射线于点E.（1）如图1，当点D在射线上时，求证：C是的中点；（2）如图2，当点D在内部时，作，交射线于点F，用等式表示线段与的数量关系，并证明.【答案】（1）证明：连接，由题意得：，，，，，，，，，，，点C是的中点；（2）解：，证明如下：在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，，，，，又，，，，，，，，G是的中点，，，，，，，，，.【解析】【分析】（1）连接CD，由等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BDC=，则∠A=∠BDC，由等角对等边得CA=CD，由等角得余角相等可推出∠1=∠2，再由等角对等边得CD=CE，则CA=CE，据此可得结论；

（2）EF=2AC，证明如下：在射线AM上取点H，使得BH=BA，取EF的中点G，连接DG，由等边对等角及三角形内角和定理推出，由等式性质推出∠ABC=∠HBD，用SAS判断出△ABC≌△BHD，由全等三角形的性质得AC=HD，∠BHD=∠A=由角的构成推出∠FHD=2a，由二直线平行，同位角相等得∠EFD=∠A=，∠EDF=∠3=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得GF=GD，EF=2GD，由等边对等角及三角形外角性质推出∠HGD=∠FHD=2，由等角对等边得DG=DH，从而即可得出结论.28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”.（1）如图，点，.①在点，，中，点是弦的“可及点”，其中；②若点D是弦的“可及点”，则点D的横坐标的最大值为；（2）已知P是直线上一点，且存在的弦，使得点P是弦的“可及点”.记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围.【答案】（1）；45；（2）解：t的取值范围是或.【解析】【解答】解：（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'，∵若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，∵点A（0，1），B（1，0），∴OA＝OB＝1，又∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，由对称得：∠O'BA＝O'AB＝45°，∴△O'BA为等腰直角三角形，∴O'（1，1），设⊙O半径为R，则，故C1在⊙O'外，不符合题意；

C2O'＝2﹣1＝1＝R，故C2在⊙O'上，符合题意；

故C3在⊙O'外，不符合题意，∴点C2是弦AB的“α可及点”，可知B，O'，C2三点共线，∵，∴，