初中几何知识点

初中几何知识点三角形教学目标1、理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念;2、掌握三角形的三边间的关系;3、会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度。难点重点1、熟练掌握三角形的三条重要线段;2、会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度一、知识点梳理(1)三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.(2)三角形的分类.不等边三角形,锐角三角形,,三角形,,三角形直角三角形,,(按角分),(按边分),钝角三角形,,等腰三角形(等边三角形),(3)三角形的三边关系:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)三角形的重要线段?三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心?三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心?三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)(5)三角形具有稳定性(6)三角形的内角和定理及性质定理:三角形的内角和等于180?.推论1:直角三角形的两个锐角互补。推论2:三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。推论3:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。(7)多边形的外角和恒为360?。全等三角形知识梳理一、知识网络,对应角相等,性质,,对应边相等,,,边边边SSS,,,全等形全等三角形应用,,边角边SAS,,,,判定角边角ASA,,,,角角边AAS,,斜边、直角边HL,,,作图,角平分线,性质与判定定理,二、基础知识梳理(一)、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上(二)灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。(1)已知条件中有两角对应相等，可找:?夹边相等(ASA)?任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等，可找?夹角相等(SAS)?第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找?任一组角相等(AAS或ASA)?夹等角的另一组边相等(SAS)证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:1.确定已知条件(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系);2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么;3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。常见考法(1)利用全等三角形的性质:?证明线段(或角)相等;?证明两条线段的和差等于另一条线段;?证明面积相等;(2)利用判定公理来证明两个三角形全等;(3)题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。误区提醒(1)忽略题目中的隐含条件;(2)不能正确使用判定公理。轴对称变换[轴对称变换]由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换(•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到([轴对称变换的性质](1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样(2)•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点((3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分([作一个图形关于某条直线的轴对称图形](1)作出一些关键点或特殊点的对称点((2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形(用坐标表示轴对称[关于坐标轴对称]点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，-y)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(-x，y)[关于原点对称]点P(x，y)关于原点对称的点的坐标是(-x，-y)[关于坐标轴夹角平分线对称]点P(x，y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是(y，x)点P(x，y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是(-y，-x)[关于平行于坐标轴的直线对称]点P(x，y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x，y);点P(x，y)关于直线y=n对称的点的坐标是(x，2n-y);等腰三角形[等腰三角形]有两条边相等的三角形是等腰三角形(相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边(两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角([等腰三角形的性质]性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(特别的:(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理]如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)(特别的:(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形((2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形((3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形((4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形([利用“三角形奠基法”作图]根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形.等边三角形[等边三角形]三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形([等边三角形的性质]等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60?[等边三角形的判定方法](1)三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;3)有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形((角平分线的性质[角平分线的作法]见课本[角平分线的性质]在角平分线上的点到角的两边的距离相等.AMPCONB?OP平分?AOB，PM?OA于M，PN?OB于N，?PM=PN[角平分线的判定]到角的两边距离相等的点在角的平分线上.AMPCONB?PM?OA于M，PN?OB于N，PM=PN?OP平分?AOB[三角形的角平分线的性质]三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等([添加辅助线口诀]几何证明难不难，关键常在辅助线;.知中点、作中线，倍长中线把线连线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现;公共角、公共边，隐含条件要挖掘;平移对称加旋转，全等图形多变换.角平分线取一点，可向两边作垂线;也可将图对折看，对称之后关系现;角平分线加平行，等腰三角形来添;角平分线伴垂直，三线合一试试看。勾股定理知识总结一(基础知识点:1:勾股定理222直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a+b,c)要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用:22(1)已知直角三角形的两边求第三边(在中，，则，,ABC，,:C90cab,，2222，)bca,,acb,,(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理222如果三角形的三边长:a、b、c，则有关系a+b,c，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边，不妨设最长边长为:c;222222(2)验证c与a+b是否具有相等关系，若c,a+b，则?ABC是以?C为直角的直角三角形222222(若c>a+b，则?ABC是以?C为钝角的钝角三角形;若c<a+b，则?ABC为锐角三角形)。222abc，,b(定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三ac222acb，,bbb边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为acac斜边)3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是?图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变?根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下:1224()，，,,abbac，，化简可证(方法一:4SSS，,,正方形正方形EFGHABCD2方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积(122Sabcabc,，，,，42四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2222222abc，,大正方形面积为所以Sabaabb,，,，，()21112SSabc,，,,，Sabab,，,，()()2S2方法三:，，化简得证,,ADEABE梯形梯形2226:勾股数222abc，,?能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，b，为ac正整数时，称，，为一组勾股数bac3,4,56,8,105,12,137,24,25?记住常见的勾股数可以提高解题速度，如;;;等22n,2,?用含字母的代数式表示组勾股数:(为正整数);nnnnn,，1,2,122222221,22,221nnnnn，，，，(为正整数)(，bmn,,nmmnmnmn,，,2,aacbc为正整数)ncbca二、规律方法指导ba1(勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。DCH2(勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解EGF直角三角形边边关系的题目。abcBA3(勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识AaD在应用过程中易犯的主要错误。bc224.勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系:a+bEc2a,c，•那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否BCb是直角三角形的判定方法(5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解(我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)一、平行四边形”来1、定义:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。表示:平行四边形用符号“?表示。2、平行四边形性质:(1)角:平行四边形的邻角互补，对角相等;(2)边:平行四边形两组对边分别平行且相等;(3)对角线:平行四边形的对角线互相平分;(4)对称性:平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心;(5)面积:等于底和高的积，即S=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是?ABCDa边到其对边的距离，即对应的高。平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形(3、平行四边形的判定:?定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形?方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形?方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形?方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形?方法4:一组平行且相等的四边形是平行四边形若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。二、几种特殊四边形的有关概念)矩形:有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是(1矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握:?平行四边形;?一个角是直角，两者缺一不可((2)菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握:?平行四边形;?一组邻边相等，两者缺一不可((3)正方形:一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形((4)梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握:?一组对边平行;?一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题((5)等腰梯形:是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形(二、典例分析例1一个三角形的两边长分别为2和9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少,(三边关系:判定能否成三角形;求线段的取值范围;证明线段的不等关系)针对性练习:若一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为3cm,则它的另一边长是。,，ABC和，ACB,ABC例2如图,已知中,的角平分线BD,CE相交于点O,且求，A,60，BOC的度数。(内角和定理)AEDOBCA,，则的度数为多少,思考:若，BOC，A,n例3如图，BP平分?FBC，CP平分?ECB，?A=40?求?BPC的度数。EC2A4P31BF2例4如图,AD是,ABC的中线,DE=2AE.若S,24cm,求S?ABC?ABEAEBCD例5:已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的1/4，求这个多边形的边数。(内角和与外角和、用方程解)0一个正多边形的每一个内角和都等于120，求它的边数。正多边形与镶嵌例6用正三角形、正方形、正六边形能否进行镶嵌,思路分析:可以进行镶嵌的条件是:一个顶点各个内角和是360?。三、本章思想方法:1、方程思想,BDE例7已知:在中，?C=?ABC，BE?AC，是正三角形，求?C的度数。,ABC2、化归思想:(证明线段的平行问题，常转化为证明角相等或互补来解决)例8:如图，?B=42?，?A+10?=?1，?ACD=64?，求证:AB?CD。DCAB针对性练习:1、能把一个任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是三角形的()A、角平分线B、中线C、高D、两边中点连线A22、如图2，在,ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，则S,4cmS?ABC?BEF的值为。E222211