高一数学必修一第一章集合与函数知识点总结

高一数学必修一第一章集合与函数知识点总结精华版高一数学必修1第一章知识点总结第一章集合与函数概念1.1、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性如:世界上最高的山(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员}～{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。,注意:常用数集及其记法:非负整数集,即自然数集,记作:N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1,列举法:{a,b,c……}2,描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来～写在大括号内表示集合的方法。{x,R|x-3>2},{x|x-3>2}3,语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4,Venn图:4、集合的分类:(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合2(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x=,5,二、集合间的基本关系1.‚包含?关系—子集A,B注意:有两种可能,1,A是B的一部分～,,2,A与B是同一集合。,,,,反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2(‚相等?关系:A=B(5?5～且5?5～则5=5)2实例:设A={x|x-1=0}B={-1,1}‚元素相同则两集合相等?即:?任何一个集合是它本身的子集。A,A?真子集:如果A,B,且A,B那就说集合A是集合B的真子集～记作AB(或BA)?如果A,B,B,C,那么A,C?如果A,B同时B,A那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集～记为Φ规定:空集是任何集合的子集～空集是任何非空集合的真子集。nn-1,有n个元素的集合～含有2个子集～2个真子集三、集合的运算运算类交集并集补集型定设S是一个集合～A是S的一由所有属于A且属于B由所有属于集合A或属于义个子集～由S中所有不属于A的元素所组成的集合,叫集合B的元素所组成的集的元素组成的集合～叫做S:做A,B的交集(记作AB合～叫做A,B的并集(记作:中子集A的补集,或余集,:,读作‘A交B’,～即AB,读作‘A并B’,～即～即记作CAS::AB=,x|xA～且AB={x|xA～或xB})(,,,第1页共23页xB,(,CA={x|x,S,且x,A}S韦SAAB恩BA图图2图1示::性AA=AA=AA::A)(CB)=C(AB)(Cuuu::AΦ=ΦAΦ=A::(CA)(CB)=C(AB)uuu::::质AB=BAAB=BA:A(CA)=Uu::ABAAB,,,:A(CA)=Φ(u::ABBABB,,例题:考点一:集合的定义及其关系题型1:集合元素的基本特征AB,[例1],2015年江西理,定义集合运算:(设～集合ABzzxyxAyB,,,,,|,,AB,,1,2,0,2,,,,,,的所有元素之和为,,A(0,B(2,C(3,D(6AB,ABAB,[解题思路]根据的定义～让在中逐一取值～让在中逐一取值～在值就是的元素yxyxAB,AB,[解析]:正确解答本题,必需清楚集合中的元素～显然～根据题中定义的集合运算知=～故应选择D,,0,2,4【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平～所以成为高考的一个热点～这时要充分理解所定义的运算即可～但要特别注意集合元素的互异性。题型2:集合间的基本关系[例2](数集与之的关系是,,,,,,X,(2n，1),,n,ZY,(4k,1),,k,ZXYYXX,YX,YA(,B(,C(,D(XY[解题思路]可有两种思路:一是将和的元素列举出来～然后进行判断,也可依选择支之间的关系进行判断。XY[解析]从题意看～数集与之间必然有关系～如果A成立～则D就成立～这不可能,同样～B也不能成立,而如果D成立～则A、B中必有一个成立～这也不可能～所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点～解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义～逐个进行检验～不方便进行检验的～就设法举反例。新题型:1(第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2015年8月8日在北京举行～若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}～集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}～集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}～则下列关系正确的是,,A,BB,CA:B,CB:C,AA(B.C.D.B:CAA[解析]D,因为全集为～而=全集=22,,A,B,z,xy，xy,x,A,y,B,,,,2((2006•山东改编,定义集合运算:,设集合A,1,0,B,2,3,则集A,B合的所有元素之和为A,BA,B,,A,B,0,6,12[解析]18～根据的定义～得到～故的所有元素之和为18P,,P,xlogx,1,,x|x,P,且x,Q3((2007〃湖北改编,设和Q是两个集合～定义集合P,Q,～如果～3,,Q,xx,1,那么P,Q等于,,,,,,x1,x,3P,xlogx,1,(0,3)Q,xx,1,(,1,1)[解析],因为～～所以3P,Q,(1,3)222,,,,,,A,xy,x,4B,yy,x,4C,(x,y)y,x,44(研究集合～～之间的关系2CCABBA,,A,xy,x,4[解析]与～与都无包含关系～而,因为表示第2页共23页222的定义域～故,表示函数的值域～,A,R,,B,yy,x,4B,[,4,，,)y,x,4y,x,422CC表示曲线上的点集～可见～～而与～与都无包含关系BAAB,,C,(x,y)y,x,4y,x,4考点二:集合的基本运算222[例3]设集合～,,,,A,xx,3x，2,0B,xx，2(a，1)x，(a,5),0,1,若～求实数的值,,,A:B,2aA:B,A,2,若～求实数的取值范围若～,,aA:B,2[解题思路]对于含参数的集合的运算～首先解出不含参数的集合～然后根据已知条件求参数。2[解析]因为～,,,,A,xx,3x，2,0,1,222,1,由知～～从而得～即2,B,,A:B,22，4(a，1)，(a,5),02a,,1a,,3～解得或a，4a，3,02a,,1当时～～满足条件,,,B,xx,4,0,2,,2，，2a,,3当时～,,～满足条件,,B,xx,4x，4,0,2a,,1a,,3所以或22B,2,对于集合～由,,4(a，1),4(a,5),8(a，3)A:B,AB,A因为～所以,,0a,,3?当～即时～～满足条件,B,,,,0a,,3?当～即时～～满足条件,,,B,2,,0a,,3?当～即时～才能满足条件～,,B,A,1,25,aa1，2,,2(，1),,,,由根与系数的关系得～矛盾,2,,2a1，2,,52,,a,7,a,,3故实数的取值范围是a【名师指引】对于比较抽象的集合～在探究它们的关系时～要先对它们进行化简。同时～要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.[新题导练]x2S:T,,,,S,yy,3,x,RT,yy,x,1,x,R6(若集合～～则是,,STA.,B.,C.,D.有限集,xx,,S,yy,3,x,R[解析]A,由题意知～集合表示函数的值域～故y,3,x,R22,,T,yy,x,1,x,R集合,表示函数的值域～S,(0,，,)y,x,1,x,RS:T,S～故T,[,1,，,),,M,(x,y)x，y,2,,N,(x,y)x,y,4M:N(已知集合7～～那么集合为,,,,,,3,,1(3,,1)x,3,y,,1(3,,1)A.,B.,C.,D.x，y,2x,y,4M:N[解析]D,表示直线与直线的交点组成的集合～A、B、C均不合题意。2Bxxx,,，,|320,,Axax,,,{|10}ABB:,a8(集合,,且,求实数的值.1B,1,2,,ABB:,,,AB0,1,1,A2,A1[解析],先化简B得,.由于,故或.2a,a,,10210a,,a,12因此或,解得或.A,,a,01容易漏掉的一种情况是:的情形,此时.0,1,a2故所求实数的值为.练习:第3页共23页基础巩固训练:1(,吴川市川西中学16届第四次月考,设全集UAB,则右图中阴UAxxxBxx,,，,,,,R,(3)0,1,,,,影部分表示的集合为()A(,B(,C(,D(xx,0xx,,,30xx,,,,31xx,,1,,,,,,,,A:B[解析]C,图中阴影部分表示的集合是～而～故,,A,x,3,x,0,,A:B,x,3,x,,1AB:2.,韶关高三摸底考,已知则=AxxxBxx,,,,,(1)0,log0,,,,2A(,B(,C(,D((,0)(0,,,，,:(0,1)(0,2)(,,,0)，[,,,,,,解析]A,因为～～所以A,x0,x,1B,x0,x,1A:B,x0,x,13.,苏州高三调研考,集合的所有子集个数为{1,0,1},3[解析]8,集合的所有子集个数为2,8{1,0,1},，x,BAB4.,16年无锡市高三第一次月考,集合中的代表元素设为～集合中的代表元素设为～若yxAB且～则与的关系是,y,AB,AAB,,,[解析]或,由子集和交集的定义即可得到结论,,,,S,x|x,2,3,T,x|a,x,a，8,S:T,R5((2015年天津)设集合～则的取值范围是,,a,3,a,,1,3,a,,1A(,B(a,,3a,,1a,,3a,,1C(或,D(或S:T,R,,,,S,x|x,2,3,xx,,1或x,5[解析]A,～～,,T,x|a,x,a，8a,,1,,3,a,,1所以～从而得,a，8,5,2,,,,P,m,1,m,0Q,m,Rmx，4mx,4,0对于任意实数x恒成立6(,则下列关系中立的是()PPA(;B(;C(;D(QQP,QP:Q,,,0m,m,0[解析]A,当时～有～即,2,,(4),4，，(,4),0mm,2m,0,,Q,m,R,1,m,0mx，4mx,4,0,当时～也恒成立～故,,PQ,m,R,1,m,0～所以Q,,,,P,1,2,3,4,5Q,3,4,5,6,77.设f(n),2n，1(n,N)～～～记,ˆˆˆˆˆˆ,,,,Q,n,Nf(n),QP,n,Nf(n),P(P:CQ):(Q:CP)～～则,()NN,,,,,,,,0,31,23,4,51,2,6,7A.;B.;C.;D.第4页共23页ˆˆˆˆ[解析]A,依题意得～～所以～,,(P:CQ),0,,,,P,0,1,2Q,1,2,3Nˆˆ～故应选A,,(Q:CP),3N8(,16届惠州第一次调研考,设A、B是非空集合～定义x2～已知A=～B=～ABxxABxAB，,,,,,{}且{|2,0}yyx,,{|2}xyxx,,则A〓B等于,,A(,B(,C(,D(0,，,0,12,:，,0,12,:，,0,1(2,):，,，，，，,,,,,,,,2x[解析]D,～?A=[0～2]～～?B=,1～，?,～2002xxx,,,,,x,,,021?A?B=[0,，?,～A?B=,1～2]～则A〓B,0,1(2,):，,,,1.2、函数的有关概念1(函数的概念:设A、B是非空的数集～如果按照某个确定的对应关系f～使对于集合A中的任意一个数x～在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应～那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作:y=f(x)～x?A(其中～x叫做自变量～x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值～函数值的集合{f(x)|x?A}叫做函数的值域(注意:1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零,(2)偶次方根的被开方数不小于零,(3)对数式的真数必须大于零,(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么～它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零～(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.,相同函数的判断方法:?表达式相同,与表示自变量和函数值的字母无关,,?定义域一致(两点必须同时具备)2(值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法例题:2,1,配方法:对于,可化为,‚二次函数型?的函数常用配方法～如求函数～可y,,sinx,2cosx，422变为解决y,,sinx,2cosx，4,(cosx,1)，2,2,基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求～如函数22y,log(,x，2x，3)u,,x，2x，3y,logu就是利用函数和的值域来求。1122第5页共23页2x，1,3,判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域y,2x,2x，212x，12由得～若～则得～所以是函数值域中x,,y,y,0y,0yx,2(y，1)x，2y,1,022x,2x，23,133，132的一个值,若～则由得～故所求,y,且y,0y,0,,[,2(y，1)],4y(2y,1),0223,133，13值域是[,]222cosx,3y,,4,分离常数法:常用来求‚分式型?函数的值域。如求函数的值域～因为cosx，12cosx,3555y,,2,,,(,,,,]～而～所以～故cosx，1,(0,2]cosx，1cosx，1cosx，121y,(,,,,]23xy,,5,利用基本不等式求值域:如求函数的值域2x，4344y,x,0x,0x,0x，,2x,,4当时～,当时～～若～则y,04xxx，x44433x,0x，,,(,x，),2(,x),(),4[,,]若～则～从而得所求值域是44x,x,x42,6,利用函数的单调性求求值域:如求函数的值域y,2x,x，2(x,[,1,2])113242(,1,,)(,,0)因～故函数在上递减、在上递y,8x,2x,2x(4x,1)y,2x,x，2(x,[,1,2])221511(0,)(,2)[,30]增、在上递减、在上递增～从而可得所求值域为228,7,图象法:如果函数的图象比较容易作出～则可根据图象直观地得出函数的值域,求某些分段函数的值域常用此法,。3.函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中～以函数y=f(x),(x?A)中的x为横坐标～函数值y为纵坐标的点P(x～y)的集合C～叫做函数y=f(x),(x?A)的图象(C上每一点的坐标(x～y)均满足函数关系y=f(x)～反过来～以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x～y)～均在C上.(2)画法A、描点法:B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换第6页共23页4(区间的概念,1,区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间,2,无穷区间,3,区间的数轴表示(5(映射一般地～设A、B是两个非空的集合～如果按某一个确定的对应法则f～使对于集合A中的任意一个元素x～在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应～那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作‚f,对应关系,:A,原,象,B,象,?,对于映射f:A?B来说～则应满足:(1)集合A中的每一个元素～在集合B中都有象～并且象是唯一的,(2)集合A中不同的元素～在集合B中对应的象可以是同一个,(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况((3)分段函数的定义域是各段定义域的交集～值域是各段值域的并集(补充:复合函数如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则y=f[g(x)]=F(x)(x?A)称为f、g的复合函数。例题:考点一:判断两函数是否为同一个函数[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数,233,1,～,f(x),xg(x),x1x,0,x,g(x),,2,f(x),～,x,1x,0;,2n,121nn，，12*2n,1,3,～,n?N,,g(x),(x)f(x),x2x，1,4,～,f(x),xg(x),x，x22,5,～f(x),x,2x,1g(t),t,2t,1[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数～就要考查函数的三要素。【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域(由于值域是由定义域和对应关系确定的～所以～如果两个函数的定义域和对应关系完全一致～即称这两个函数为同一函数。第,5,小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的2概念理解不透～在函数的定义域及对应法则f不变的条件下～自变量变换字母对于函数本身并无影响～比如～f(x),x，122～都可视为同一函数.f(t),t，1f(u，1),(u，1)，1[新题导练]y,x1((2016〃佛山)下列函数中与函数相同的是()2x3322xtxA.y=();B.y=;C.y=;D.y=x第7页共23页33y=～所以应选择B[解析]B,因为t,tlg(2x,1)2((16年重庆南开中学)与函数的图象相同的函数是,,y,0.111111A.,B.,C.,D.y,y,(x,)y,2x,1(x,)y,||2x,12x,122x,121lg11lg(2x,1)lg(2x,1)2x,1[解析]C,根据对数恒等式得～且函数的定义域为～故应(,，,)y,0.1,10,y,0.122x,1选择C考点二:求函数的定义域、值域题型1:求有解析式的函数的定义域122ln(x,3x，2，,x,3x，4)[例2].,15年湖北,函数的定义域为()f(x),xA.;B.,C.;D.(,,,,4):[2,，,)(,4,0):(0,1)[,,4,0):(0,1][,,4,0):(0,1)[解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。[解析]欲使函数有意义～必须并且只需f(x)2,xx,3，2,0,2xx,,3，4,0,D～故应选择,x,[,4,0):(0,1),22xxxx,3，2，,,3，4,0,,x,0,【名师指引】如没有标明定义域～则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围～实际操作时要注意:?分母不x能为0,?对数的真数必须为正,?偶次根式中被开方数应为非负数,?零指数幂中～底数不等于0,?负分数指数幂中～底数应大于0,?若解析式由几个部分组成～则定义域为各个部分相应集合的交集,?如果涉及实际问题～还应使得实际问题有意义～而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则～实际问题的定义域不要漏写。题型2:求抽象函数的定义域2，xx2,,,,fx,lg[例3],2006〃湖北,设～则的定义域为,,，，f，f,,,,2,x2x,,,,A.，，，，,B.，，，，,C.，，，，,D.，，，，,4,0:0,4,4,,1:1,4,2,,1:1,2,4,,2:2,4x2,,,,[解题思路]要求复合函数的定义域～应先求的定义域。f(x)f，f,,,,2x,,,,x,,,,22,,2，x,2,,,22x,0[解析]由得～fx()的定义域为～故,22,x,,,,22.,x,x2,,,,f，fx,,,4,11,4:，，，，,4,,1:1,4解得。故的定义域为.选B.，，，，,,,,2x,,,,第8页共23页的定义为～则函数的定义域是满足不等式【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数fx()[,]abfgx[()]的x的取值范围,一般地～若函数的定义域是～指的是～要求的定义域agxb,,()fgx[()][,]abxab,[,]fx()就是时的值域。xab,[,]gx()题型3,求函数的值域2[例4]已知函数～若恒成立～求的值域f(a),2,aa，3y,0y,x,4ax，2a，6(a,R)[解题思路]应先由已知条件确定取值范围～然后再将中的绝对值化去之后求值域af(a)32,1,a,[解析]依题意～恒成立～则～解得～y,0,,16a,4(2a，6),023173192()2(3)()()()fa,,aa，,,a，，fa,f,,所以～从而～～所以f(a),f(,1),4minmax242419[,,4]的值域是f(a)4【名师指引】求函数的值域也是高考热点～往往都要依据函数的单调性求函数的最值。[新题导练]x,,213.,2015安徽文、理,函数的定义域为(fx(),log(1)x,2,x,2,1,0x,3[解析],由解得[3,)，,,x,1,0,x,1,1,R4(定义在上的函数的值域为～则函数的值域为()yfx,()[,]abyfx,,(1)A(,B(,C(,D(无法确定[1,1]ab,,[,]ab[1,1]ab，，[解析]B,函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到～所以～它们的值域是一样yfx,,(1)yfx,()的fx(2)gx(),5((2015江西改)若函数的定义域是～则函数的定义域是yfx,()[1,3]x,113131,2x,3x,1[,1):(1,]x,[,1):(1,][解析],因为的定义域为～所以对～但故fx()[1,3]gx()222221[,3]((2015江西理改)若函数6的值域是～则函数的值域yfx,()Fxfx,，，，，，3fx()是1210[2,]F,t，(,t,3)[解析],可以视为以为变量的函数～令～则F(x)f(x)t,f(x)3t321t,1(t，1)(t,1)21,[,1]F,t，F,1,,,～所以～在上是减函数～在[1,3]上是增函数～故F(x)的最大2223tttt10值是～最小值是23考点三:映射的概念第9页共23页密文,加密,～接收方由密文明文,解密,～已[例5],06陕西,为确保信息安全～信息需加密传输～发送方由明文,,知加密规则为:明文对应密文例如～明文对应密文当接收abcd,,,abbccdd，，，2,2,23,4.1,2,3,45,7,18,16.方收到密文时～则解密得到的明文为,,14,9,23,28A(,B(,C(,D(7,6,1,46,4,1,74,6,1,71,6,4,7[解题思路]密文与明文之间是有对应规则的～只要按照对应规则进行对应即可。[解析]当接收方收到密文14～9～23～28时～ab，,214a,6,,,,b,429bc，,,,有～解得～解密得到的明文为C(,,c,12323cd，,,,,,d,7428d,,,【名师指引】理解映射的概念～应注意以下几点:,1,集合A、B及对应法则f是确定的～是一个整体系统,,2,对应法则有‚方向性?～即强调从集合A到集合B的对应～它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的,,3,集合A中每一个元素～在集合B中都有象～并且象是唯一的～这是映射区别于一般对应的本质特征,((,4,集合A中不同元素～在集合B中对应的象可以是同一个,,5,不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.[新题导练](集合={3～4}～={5～6～7}～那么可建立从到的映射个数是__________～从到的映射个数是__________.7ABABBA[解析]9,8,从A到B可分两步进行:第一步A中的元素3可有3种对应方法,可对应5或6或7,～第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理～不同的映射种数N,3〓3,9.反之从B到A～道理相同～有N,2〓2〓2,8种不同映射.12练习:基础巩固训练:1M:N,NM1((2007〃广东改编)已知函数的定义域为～的定义域为～则f(x),g(x),ln(1，x)1,xM:N,R[解析],因为,故(,,，,)MN,,，,,,,(1,),(,1)2(函数的定义域是y,log(3x,2)1322(,1]0,3x,2,1,x,1[解析],由得到33x2,1y,3(函数的值域是x2，1x2,1y，1y，1xxy,2,02,,0[解析](,1,1),由知y,1～从而得～而～所以～即,1,y,1x2，11,y1,y4(,广东从化中学16届月考,从集合A到B的映射中,下列说法正确的是()baA(B中某一元素的原象可能不只一个,B(A中某一元素的象可能不只一个C(A中两个不同元素的象必不相同,D(B中两个不同元素的原象可能相同[解析]A,根据映射的定义知可排除B、C、D第10页共23页中～构成从集合A到集合的映射是,,5(,深圳中学16届高三第一学段考试,下列对应法则Bf2A(A,{x|x,0},B,R,f:x,|y|,x2B(A,{,2,0,2},B,{4},f:x,y,x1C(A,R,B,{y|y,0},f:x,y,2xxA,{0,2},B,{0,1},f:x,y,D(2[解析]D,根据映射的定义知～构成从集合A到集合B的映射是D2526(,16年执信中学,若函数的定义域为,值域为～则的取值范围是,,[4],,，m[0,]myxx,,,344333[]，4[3]，A(,B(,C(,D([，)，,，,0,4222325322()[y,x,,x,解析]B,因为函数即为～其图象的对称轴为直线～yxx,,,3424225325x,0x,3,m,3其最小值为,～并且当及时～～若定义域为～值域为[4],,，～则y,,4[0,]m424综合提高训练:2，xx1f(x),lng(x),f()，f()8(,15天津改,设函数～则函数的定义域是2,x2xx,,2,,2,112，x,2,2,x,2(,4,,):(,4),0[解析],由得～的定义域为。故fx(),12,x22,,2,,2,x,11,4,x,,,x,4解得或。2212()fx,x，x，9(设函数的定义域是(是正整数)～那么的值域中共有个整数n[n,n，1]f(x)2111222n，2()()fx,x，x，,x，，[解析],因为～可见～在(n是正整数)上是增函数～又f(x)[n,n，1]2241122f(n，1),f(n),[(n，1)，(n，1)，],(n，n，),2n，2222n，2所以～在的值域中共有个整数f(x)二(函数的性质1.函数的单调性(局部性质),1,增函数设函数y=f(x)的定义域为I～如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x～x～当x<x时～都有f(x)<f(x)～那么就说f(x)在区间D上是增函数.121212区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x～x～当x<x时～都有f(x),f(x)～121212第11页共23页那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是函数的局部性质,,2,图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数～那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性～在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的～减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法:1任取x～x?D～且x<x,1212?2作差f(x),f(x),12?3变形,通常是因式分解和配方,,?4定号,即判断差f(x),f(x)的正负,,12?5下结论,指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性,(?(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)～y=f(u)的单调性密切相关～其规律:‚同增异减?注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8(函数的奇偶性,整体性质,,1,偶函数～都有f(,x)=f(x)～那么f(x)一般地～对于函数f(x)的定义域内的任意一个x就叫做偶函数(,2,(奇函数一般地～对于函数f(x)的定义域内的任意一个x～都有f(,x)=—f(x)～那么f(x)就叫做奇函数(,3,具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称(利用定义判断函数奇偶性的步骤:1首先确定函数的定义域～并判断其是否关于原点对称,?2确定f(,x)与f(x)的关系,?3作出相应结论:若f(,x)=f(x)或f(,x),f(x)=0～则f(x)是偶函?数,若f(,x)=,f(x)或f(,x)，f(x)=0～则f(x)是奇函数(注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称～若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称～(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)〒f(x)=0或f(x),f(-x)=〒1来判定;(3)利用定理～或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式,1,.函数的解析式是函数的一种表示方法～要求两个变量之间的函数关系时～一是要求出它们之间的对应法则～二是要求出函数的定义域.,2,求函数的解析式的主要方法有:1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10(函数最大,小,值,定义见课本p36页,第12页共23页1利用二次函数的性质,配方法,求函数的最大,小,值?2利用图象求函数的最大,小,值?3利用函数单调性的判断函数的最大,小,值:?如果函数y=f(x)在区间[a～b]上单调递增～在区间[b～c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b),如果函数y=f(x)在区间[a～b]上单调递减～在区间[b～c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b),考点1函数的单调性题型1:讨论函数的单调性[例1]定义在R上的函数～～当x,0时～～且对任意的a、b?R～有f,a+b,y,f(x)f(0),0f(x),1=f,a,〃f,b,.,1,求证:f,0,=1,,2,求证:对任意的x?R～恒有f,x,,0,,3,求证:,,是R上的增函数,fx2,4,若f,x,〃f,2x,x,,1～求x的取值范围.[解题思路]抽象函数问题要充分利用‚恒成立?进行‚赋值?～从关键等式和不等式的特点入手。2[解析],1,证明:令a=b=0～则f,0,=f,0,.又f,0,?0～?f,0,=1.2,证明:当,0时～,,0～,xx?f,0,=f,x,〃f,,x,=1.1?f,,x,=,0.又x?0时f,x,?1,0～f(x)?x?R时～恒有f,x,,0.,3,证明:设x,x～则x,x,0.1221?f,x,=f,x,x+x,=f,x,x,〃f,x,.2211211?x,x,0～?f,x,x,,1.2121又f,x,,0～?f,x,x,〃f,x,,f,x,.12111?f,x,,f,x,.?f,x,是R上的增函数.2122,4,解:由f,x,〃f,2x,x,,1～f,0,=1得f,3x,x,,f,0,.又f,x,是R上的增函数～2?3x,x,0.?0,x,3.【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件～尤其是,3,中‚f,x,=f,,x,x,+x,?是证明单2211调性的关键～这里体现了向条件化归的策略.题型2:利用函数的最值求参数的取值范围2x，2x，af(x),[例4],2000年上海,已知函数,x,[1,，,).xa若对任意xfx,，,,[1,),()0恒成立,试求实数的取值范围。a[解题思路]欲求参数xfx,，,,[1,),()0的取值范围～应从恒成立的具体情况开始。第13页共23页2x，2x，a[解析]在区间上恒成立,f(x),,0[1,，,)？x2在区间上恒成立,x，2x，a,0[1,，,)？2在区间上恒成立,x，2x,,a[1,，,)？2,a,3函数在区间上的最小值为3～[1,，,)y,x，2x？？a,,3即【名师指引】这里利用了分离参数的方法～将问题转化为求函数的最值。?抢分频道基础巩固训练:2a1(,华师附中16高三数学训练题,若函数在区间上为减函数～则实数的(,,,0]f(x),x，|x,a|，b取值范围是,,a,0a,1a,0a,1A.,B.,C.,D.2,x，x,a，b(x,a),2[解析]C,因为f(x),x，|x,a|，b,～由其图象知～若函数,2,x,x，a，b(x,a),2a,0在区间上为减函数～则应有(,,,0]f(x),x，|x,a|，bkkkh(x),2x,，2(,普宁市城东中学16,若函数在上是增函数～则实数的取值范围是,,(1,，,)x3A(,B(,C((,2],,,,D((,2],,[2,),，,[2,)，,kkk,h(x),2x,，h(x),2，,0[解析]A,若函数在上是增函数～则对于恒成立～(1,，,)x,(1,，,)2x3x22k,2k,,2x即对于恒成立～而函数的最大值为～实数的取值范围是x,(1,，,)u,,2x(x,[1,，,))[2,),，,23(,16潮州金山中学,已知函数～若存在实数～当,,时～恒成x,1,mf(x，t),xf(x),x，2x，1t立～则实数m的最大值是,,A(1,B(2,C(3,D(4,,[解析]D,依题意～应将函数向右平行移动得到的图象～为了使得在1,m上～的f(x)f(x，t)f(x，t)t,,2y,xmm图象都在直线的下方～并且让取得最大～则应取～这时取得最大值42y,x,2x,t4(,2015浙江理,已知t为常数～函数在区间[0～3]上的最大值为2～则t,2x,1x,3y,x,2x,t[解析]1,显然函数的最大值只能在或时取到～第14页共23页x,1t,1t,,3若在时取到～则～得或1,2,t,2t,1x,3t,,3x,3～时～,～时～,舍去,,y,2y,6x,3t,1t,5若在时取到～则～得或9,6,t,2t,1x,1t,5x,1～时～,～时～,舍去,y,2y,6t,1所以综合提高训练:27.,06陕西改编,已知函数若x,x,x，x，a,1,0fxaxaxa()24(03),,，，,,1212则与的大小关系为f(x)f(x)122x,,1[解析],函数的图象开口向上～对称轴为～因fxfx()(),fxaxaxa()24(03),,，，,,12x，x1120,a,3,(,1,)～故～从而～又x，x,(1,a),(,2,1)1222～所以的对应点到对称轴的距离大于的对应点到对称轴的距离～故x,xxx1122fxfx()(),121220093x,21f(x),(x,)f()，f()，？，f()8(已知函数～求的值2010201020102x,1260273x,23(1,x),2[解析],为～f(x)，f(1,x),，,322x,12(1,x),1122009S,f()，f()，？，f()令～则201020102010200920081S,f()，f()，？，f()～201020102010从而1200922008200912S,[f()，f()]，[f()，f()]，？，[f()，f()]201020102010201020102010,2009，31220096027S,f()，f()，？，f(),所以201020102010229(,16年汕头金中,对于函数成立的所有常数M中～我f(x),x，2x,在使f(x),M2则对于a,b,R且a,b不全为0,们把M的最大值,1叫做～f(x),x，2x的下确界22a，b的下确界为,,2(a，b)11A(,B(2,C(,D(424第15页共23页2222221a，ba，ba，b[解析]A,因为～,,,22222222()2()()a，ba，b，aba，b，a，b22a，b1故的下确界为22(a，b)5*10(,15年湖南,设表示不超过的最大整数,如,,,对于给定的N,定义[],1xn[x][2],2,4nnnx(1)(1),,，？,,x,1,，,xC,,,，,nxxxx(1)(1),,，？,,3，,x求当时～函数的值域xC,3,8,,2，,31628388x,[,2)[解析](4,]:(,28],当x,[,2)时～～～因为函数u,在上是减函数～C[x],18xx233281656x得4,,,当时～～～因为～由单调性得C,x,[2,3)[x],22,x(x,1),68x3x(x,1)162828563，,x(4,]:(,28]～故当时～函数的值域是,,28xC,3,8,,333x(x,1)2，,考点三、函数的奇偶性和周期性?知识梳理1(函数的奇偶性的定义:?对于函数的定义域内任意一个～都有“或”～则称为xf(x)f(,x),,f(x)f(,x)，f(x),0f(x)奇函数.奇函数的图象关于原点对称。?对于函数的定义域内任意一个～都有“或”～则称为偶xf(x)f(,x),f(x)f(,x),f(x),0f(x)y函数.偶函数的图象关于轴对称。?通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数～其定义域原点关于对称,也就是说～函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称,2(函数的周期性命定义:T对于函数x～如果存在一个非零常数～使得定义域内的每一个值～都满足f(x)T～那么函数就叫做周期函数～非零常数叫做这个函数的周期。f(x，T),f(x)f(x)2(奇偶函数图象的对称性,1,若y,f(a，x)是偶函数～则f(a，x),f(a,x),f(2a,x),f(x),f(x)的图象关于直x,a线对称,y,f(b，x)f(b,x),,f(b，x),f(2b,x),,f(x),,2,若是偶函数～则第16页共23页的图象关于点中心对称,f(x)(b,0)3(函数的周期性周期性不仅仅是三角函数的专利～抽象函数的周期性是高考热点～主要难点是抽象函数周期的发现～主要有几种情况:,1,函数值之和等于零型～即函数f(a，x)，f(b，x),0(a,b)对于定义域中任意满足～则有～故函数的xf(a，x)，f(b，x),0(a,b)f[x，(2b,2a)],f(x)f(x)周期是T,2(b,a),2,函数图象有～两条对称轴型x,ax,b(a,b)函数图象有～两条对称轴～即～x,ax,b(a,b)f(a，x),f(a,x)～从而得～f(b，x),f(b,x)f[x，(2b,2a)],f(x)故函数的周期是f(x)T,2(b,a),1,3,两个函数值之积等于～即函数值互为倒数或负倒数型若～则得～所以函数的周期是f(x，a),f(x，b),1(a,b)f(x，2a),f[(x，2a)，(2b,2a)]f(x)T,2b,2a,同理若～则的周期是f(x，a),f(x，b),,1(a,b)f(x)T,2(b,a)1，f(x，b),4,分式递推型～即函数满足f(x，a),(a,b)f(x)1,f(x，b)1，f(x，b),1由得f(x，2a),～进而得f(x，a),(a,b)f(x，2b)1,f(x，b)～由前面的结论得的周期是f(x，2a),f(x，2b),,1f(x)T,4(b,a)考点1判断函数的奇偶性及其应用题型1:判断有解析式的函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性:1，x,1,f,x,=|x+1|,|x,1|,,2,f,x,=,x,1,〃,1,x2x(1,x)(x,0),,1,xf(x),,3,f(x),,,4,,x(1，x)(x,0).|x，2|,2,[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决～但都要先考查函数的定义域。[解析],1,函数的定义域x?,,?～+?,～对称于原点.?f,,x,=|,x+1|,|,x,1|=|x,1|,|x+1|=,,|x+1|,|x,1|,=,f,x,～?f,x,=|x+1|,|x,1|是奇函数.第17页共23页1，x,2,先确定函数的定义域.由?0～得,1?x,1～其定义域不对称于原点～所以f,x,既不是奇1,x函数也不是偶函数.,3,去掉绝对值符号～根据定义判断.2,,1,x,1,,1,,0,x由得,,x,0且x,,4.|x，2|,2,0,,,故f,x,的定义域为,,1～0,?,0～1,～关于原点对称～且有x+2,0.2222,,x1()1,x1,1,xx从而有f,x,==～?f,,x,==,=,f,x,x，2,2xx,x故f,x,为奇函数.,4,?函数f,x,的定义域是,,?～0,?,0～+?,～并且当x,0时～,x,0～?f,,x,=,,x,,1,,,x,,=,x,1+x,=,f,x,,x,0,.当x,0时～,x,0～?f,,x,=,x,1,x,=,f,x,,x,0,.故函数f,x,为奇函数.1【名师指引】?函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义x,D,x,D域为D,则时)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件2?分段函数的奇偶性一般要分段证明.?判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型2:证明抽象函数的奇偶性例2],16年山东梁山,定义在区间上的函数()满足:对任意的～[(,1,1)fxx,y,(,1,1)x，yf(x)，f(y),f()都有.1，xy求证f(x)为奇函数,f(x)f(,x),,f(x)[思路点拨]欲证明为奇函数～就要证明～但这是抽象函数～应设法充x，yx,yf(x)，f(y),f()x,y,(,1,1)分利用条件‚对任意的～都有?中的进行合理1，xy‚赋值?[解析]令x=y=0～则0，0f(0)+f(0)=f(),f(0)1，0?f(0)=0令x?(,1,1)?,x?(,1,1)x,x?f(x)+f(,x)=f()=f(0)=021,x?f(,x)=,f(x)?f(x)在(,1～1)上为奇函数【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题～解决的关键是巧妙进行‚赋值?～而抽象函数的不等式问题～要灵活利用已知条件～尤其是f(x),f(x)=f(x)+f(,x)1212[新题导练]第18页共23页21(,16广东电白一中,设函数为奇函数～则___________。a,，，，，fx,，，x，1x，a22[解析]0,由函数为奇函数得到～即，，f0,0，，，，，，fx,，，x，1x，a，，0，10，a,0a,0所以22(,高州中学16届训练题,已知函数是定义域为的偶函数～则a，b[a,1,2a]f(x),ax，bx，3a，b的值是,,1A(0,B(,C(1,D(,132b,0[解析]B,由函数是定义域为的偶函数得～并且a,1,,2a～[a,1,2a]f(x),ax，bx，3a，b1a，b即a,～所以的值是032ax，1f(x),3(已知函数,a、b、c?Z,是奇函数,又～～求a、b、c的值.f(1),2f(2),3bx，ca,1，b,1，c,0[解析],由f,,x,=,f,x,～得,bx+c=,,bx+c,.4a，1?c=0～由f,1,=2～得a+1=2b～由f,2,,3～得,3～a，11解得,1,a,2.又a?Z～?a=0或a=1.若a=0～则b=～与b?Z矛盾.?a=1～b=1～c=0.2考点2函数奇偶性、单调性的综合应用[例3],普宁市城东中学16,已知奇函数是定义在上的减函数～若～f(x)(,2,2)f(m,1)，f(2m,1),0求实数的取值范围。m[思路点拨]欲求的取值范围～就要建立关于的不等式～可见～只有从mm出发～所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣‚?脱去。f(m,1)，f(2m,1),0f(x)f[解析]是定义在上奇函数f(x)(,2,2)？fxfx,,,对任意x,有(,2,2)？，，，，由条件得=f(m,1)，f(2m,1),0fmfm(1)(21),,,,fm(12),是定义在上减函数f(x)(,2,2)？12,,,,,,21212mm,,,m～解得？2312,,,mm实数的取值范围是？230,，,fx()f(3)0,4(,普宁市城东中学16届高三模拟,若是奇函数～且在内是增函数～又～，，xfx()0,则的解集是,,第19页共23页A.,B.{303}xxx,,,,或{33}xxx,,,,或0C.,D.{33}xxx,,,或{303}xxx,,,,,或00,x,3x,3[解析]D,因为在内是增函数～～所以当时～,当时～0,，,fx()f(3)0,f(x),0，，,3,x,0x,3～又因是奇函数～其图象关于原点对称～所以当时～,当时～f(x),0fx()f(x),0～可见的解集是{303}xxx,,,,,或0f(x),0xfx()0,5(,2007〃天津改编,在R上定义的函数是奇函数～且～若在区间是减，，，，，，，，,,fxfx,f2,xfx1,2函数～则函数,,，，fxA.在区间上是增函数～区间上是增函数,,,,,3,,23,4B.在区间上是增函数～区间上是减函数,,,,,3,,23,4C.在区间上是减函数～区间上是增函数,,,,,3,,20,1D.在区间上是减函数～区间上是减函数,,,,,2,,13,4x,1[解析]C,由知的图象关于直线对称～由在区间是减函数知在，，，，，，，，，，,,fx,f2,xfxfx1,2fx区间是增函数～又由及是奇函数～得到