第四节不可数无穷集

第四节不可数无穷集[][][]01/32/31数得进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明:对应[0,1]十等分得端点有两种表示,如0、2000000…0、1999999…(十进制小数)第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数不可数集得存在性得另一种证明证明:假设(0,1)就是可数集,则(0,1)可以写成一个无穷序列得形式:把每个数写成正规小数(不能以0为循环节)令x=0.a1a2a3a4…其中则得到矛盾,所以

(0,1)就是不可数集。定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，其势记为，显然：例:1)R~(0,1)~[0,1]~[0,1)~R+~<a,b>(a<b)2连续势集得定义2)无理数集为连续势集(无理数要比有理数多得多,同理超越数要比代数数多得多)3连续势集得性质(卡氏积)(1)有限个、可数个连续势得卡氏积仍为连续势集1874年Cantor考虑R与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明Rn具有连续基数，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.推论平面与直线有“相同多”的点连续势集得性质(并集)连续势集得(有限个,可数个,连续势个)并仍为连续势集(](](]012n-1n(](](]012n-1ny4无最大势定理从而说明无限也就是分很多层次,且不存在最大得集合、此证为对角线方法,与(0,1)就是不可数集得证明比较。12大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流尽管Cantor在1883年就证明了这个定理,但直到1899年Cantor才发现,这个定理本身与她给出得集合得定义有矛盾,即所谓得Cantor得最大基数悖论、因此Cantor在1899年给Dedekind得一封信中曾指出,人们要想不陷于矛盾得话,就不能谈论由一切集合所组成得集合、集合悖论证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N

与{0,1}N对等；下证：说明：相当于把对应到一个三进制小数5可数势与连续势思考:为什么不用二进制。N上的特征函数全体

Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题得第一个问题。注记：从前面我们已经看到：Cantor认为在之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。连续统假设在Zermelo-Frankel公理集合论体系下参见:《数学与哲学》张景中,《数理逻辑概貌》莫绍揆ZF公理集合论体系下得连续统假设1940年Godel证明了连续统假设得相容性(即不能证明它不真);1962年Stanford大学得P、J、Cohen证明了它得独立性(即不能用其她公理证明它真);6基数得运算对一些记号得说明思考:如何推广不可数个集合得卡氏积？第五节半序集第一章集合主讲:胡努春1半序集数学三大母结构(Bourbaki学派观点):拓扑结构(邻近关系),代数结构(运算关系),序结构(顺序关系)(测度(长度、面积、体积))例:对实数集R有远近关系,四则运算,大小顺序,区间有长度半序集定义⑴自反性:

⑵反对称性:

⑶传递性:则称A按