2025年大学统计学期末考试：基础概念题库精讲试题

2025年大学统计学期末考试：基础概念题库精讲试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、集合与描述性统计要求：理解和掌握集合的基本概念、运算以及描述性统计的基本指标。1.列举集合A={1，2，3，4，5}的子集，并说明集合的基数。2.已知集合A={a，b，c，d}，集合B={a，c，e}，求A∩B和B∪A。3.设有一组数据：2，4，6，8，10，计算这组数据的均值、中位数和众数。4.判断下列说法的正确性，并简要说明理由：（1）数据集中位数总是大于众数；（2）均值是反映数据集中趋势最常用的统计量；（3）标准差是衡量数据离散程度的一个统计量。5.将以下数据按从小到大排序，并计算排序后数据的方差：15，7，20，5，9，12。6.已知一组数据的均值、中位数和众数分别为5、6、7，判断下列说法的正确性，并简要说明理由：（1）这组数据必定存在负数；（2）这组数据的方差为0；（3）这组数据的极差为5。二、概率论基础知识要求：掌握概率的基本概念和运算规则。7.判断下列说法的正确性，并简要说明理由：（1）事件A与事件B的概率之和等于事件A∪B的概率；（2）若事件A的概率为1，则事件A一定发生；（3）若事件A的概率为0，则事件A不可能发生。8.已知事件A和事件B的概率分别为P(A)=0.4，P(B)=0.6，且事件A与事件B相互独立，求：（1）P(A∩B)；（2）P(A∪B)；（3）P(A|B)。9.判断下列说法的正确性，并简要说明理由：（1）在概率实验中，事件A的概率越大，事件A发生的可能性也越大；（2）事件A的概率为0.5，表示事件A发生的可能性为50%；（3）事件A的概率为1，表示事件A必定发生。10.设有两个相互独立的事件A和B，它们的概率分别为P(A)=0.3，P(B)=0.7，求：（1）事件A不发生的概率；（2）事件B不发生的概率；（3）事件A和B至少发生一个的概率。三、随机变量及其分布要求：理解随机变量的概念，掌握离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布。11.设随机变量X的可能取值为1，2，3，4，其概率分布为：P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.4，P(X=4)=0.1，求：（1）随机变量X的期望值；（2）随机变量X的方差；（3）随机变量X的矩估计值。12.设随机变量X在区间[0，1]上服从均匀分布，求：（1）随机变量X的期望值；（2）随机变量X的方差；（3）随机变量X的分布函数。13.判断下列说法的正确性，并简要说明理由：（1）随机变量X的方差越大，表示数据越稳定；（2）随机变量X的概率分布函数F(x)表示随机变量X在区间（-∞，x]内取值的概率；（3）若随机变量X服从正态分布，则X的均值和方差必定存在。14.设随机变量X在区间[0，2]上服从指数分布，其概率密度函数为f(x)=ke^(-x/2)，求：（1）常数k的值；（2）随机变量X的期望值；（3）随机变量X的方差。四、参数估计要求：理解和掌握点估计和区间估计的基本概念和方法。15.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，从总体中抽取样本容量为n=16的样本，样本均值为x̄=10，样本标准差为s=2，求：（1）总体均值μ的矩估计值；（2）总体方差σ^2的矩估计值；（3）总体均值μ的95%置信区间。16.设总体X服从二项分布B(n,p)，其中n和p均未知，从总体中抽取样本容量为n=30的样本，样本成功次数为x=15，求：（1）总体成功概率p的矩估计值；（2）总体成功概率p的极大似然估计值；（3）总体成功概率p的95%置信区间。17.设总体X服从泊松分布P(λ)，其中λ未知，从总体中抽取样本容量为n=20的样本，样本均值为x̄=4，求：（1）总体参数λ的矩估计值；（2）总体参数λ的极大似然估计值；（3）总体参数λ的95%置信区间。18.设总体X服从指数分布Exp(λ)，其中λ未知，从总体中抽取样本容量为n=25的样本，样本均值为x̄=3，求：（1）总体参数λ的矩估计值；（2）总体参数λ的极大似然估计值；（3）总体参数λ的95%置信区间。19.设总体X服从均匀分布U(a,b)，其中a和b均未知，从总体中抽取样本容量为n=10的样本，样本均值为x̄=5，样本最大值为x(1)=8，样本最小值为x(n)=2，求：（1）总体参数a和b的矩估计值；（2）总体参数a和b的极大似然估计值；（3）总体参数a和b的95%置信区间。20.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，从总体中抽取样本容量为n=30的样本，样本均值为x̄=50，样本标准差为s=10，求：（1）总体均值μ的假设检验，检验水平为α=0.05，假设H0:μ=50，H1:μ≠50；（2）总体方差σ^2的假设检验，检验水平为α=0.05，假设H0:σ^2=100，H1:σ^2≠100。五、假设检验要求：理解和掌握假设检验的基本概念和方法，包括单样本检验和双样本检验。21.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，从总体中抽取样本容量为n=15的样本，样本均值为x̄=20，样本标准差为s=4，求：（1）对总体均值μ进行假设检验，检验水平为α=0.05，假设H0:μ=20，H1:μ≠20；（2）对总体方差σ^2进行假设检验，检验水平为α=0.05，假设H0:σ^2=16，H1:σ^2≠16。22.设总体X和Y分别服从正态分布N(μ1,σ1^2)和N(μ2,σ2^2)，其中μ1、μ2、σ1^2和σ2^2均未知，从总体X中抽取样本容量为n1=10的样本，样本均值为x̄1=15，样本标准差为s1=2；从总体Y中抽取样本容量为n2=12的样本，样本均值为x̄2=18，样本标准差为s2=3，求：（1）对总体均值μ1和μ2进行双样本t检验，检验水平为α=0.05，假设H0:μ1=μ2，H1:μ1≠μ2；（2）对总体方差σ1^2和σ2^2进行双样本F检验，检验水平为α=0.05，假设H0:σ1^2=σ2^2，H1:σ1^2≠σ2^2。23.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，从总体中抽取样本容量为n=20的样本，样本均值为x̄=25，样本标准差为s=5，求：（1）对总体均值μ进行单样本t检验，检验水平为α=0.05，假设H0:μ=25，H1:μ≠25；（2）对总体方差σ^2进行单样本χ^2检验，检验水平为α=0.05，假设H0:σ^2=25，H1:σ^2≠25。六、回归分析要求：理解和掌握线性回归分析的基本概念和方法。24.设某城市居民月收入（Y）与年龄（X）之间存在线性关系，从该城市抽取了10个居民的数据，得到以下表格：|年龄（X）|月收入（Y）||----------|------------||25|3000||30|3500||35|4000||40|4500||45|5000||50|5500||55|6000||60|6500||65|7000||70|7500|（1）求线性回归方程；（2）求回归系数b和a的值；（3）求残差平方和RSS。25.设某产品产量（Y）与投入的广告费用（X）之间存在线性关系，从该产品生产过程中抽取了5组数据，得到以下表格：|广告费用（X）|产量（Y）||--------------|----------||1000|500||1500|700||2000|900||2500|1100||3000|1300|（1）求线性回归方程；（2）求回归系数b和a的值；（3）求残差平方和RSS。26.设某城市居民月收入（Y）与教育程度（X）之间存在线性关系，从该城市抽取了8个居民的数据，得到以下表格：|教育程度（X）|月收入（Y）||--------------|------------||高中|3000||大专|3500||本科|4000||硕士|4500||博士|5000||硕士后|5500||博士后|6000||其他|3500|（1）求线性回归方程；（2）求回归系数b和a的值；（3）求残差平方和RSS。27.设某产品销量（Y）与价格（X）之间存在线性关系，从该产品销售过程中抽取了6组数据，得到以下表格：|价格（X）|销量（Y）||----------|----------||10|500||15|400||20|300||25|200||30|100||35|50|（1）求线性回归方程；（2）求回归系数b和a的值；（3）求残差平方和RSS。本次试卷答案如下：一、集合与描述性统计1.集合A的子集为：∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}。集合A的基数为25。2.A∩B={a，c}，B∪A={a，b，c，d}。3.均值=(2+4+6+8+10)/5=6，中位数=6，众数=6。4.（1）错误，数据集中位数不一定大于众数；（2）正确，均值是反映数据集中趋势最常用的统计量；（3）正确，标准差是衡量数据离散程度的一个统计量。5.排序后数据为：2，4，5，6，7，8，10，方差=1.6。6.（1）错误，数据集中位数不一定大于众数；（2）正确，均值是反映数据集中趋势最常用的统计量；（3）正确，标准差是衡量数据离散程度的一个统计量。二、概率论基础知识7.（1）错误，事件A与事件B的概率之和不一定等于事件A∪B的概率；（2）错误，事件A的概率为1，表示事件A发生的可能性很高，但不一定发生；（3）正确，事件A的概率为0，表示事件A不可能发生。8.（1）P(A∩B)=0.4×0.6=0.24；（2）P(A∪B)=0.4+0.6-0.24=0.76；（3）P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.24/0.6=0.4。9.（1）错误，在概率实验中，事件A的概率越大，事件A发生的可能性不一定越大；（2）正确，事件A的概率为0.5，表示事件A发生的可能性为50%；（3）正确，事件A的概率为1，表示事件A必定发生。10.（1）P(A')=1-P(A)=1-0.3=0.7；（2）P(B')=1-P(B)=1-0.7=0.3；（3）P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.7-0.24=0.76。三、随机变量及其分布11.（1）期望值E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.5；（2）方差Var(X)=1^2×0.2+2^2×0.3+3^2×0.4+4^2×0.1=1.7；（3）矩估计值μ̂=2.5。12.（1）期望值E(X)=0；（2）方差Var(X)=1/λ=2；（3）分布函数F(x)=x/2，当0≤x≤1时。13.（1）错误，随机变量X的方差越大，表示数据越不稳定；（2）正确，随机变量X的概率分布函数F(x)表示随机变量X在区间（-∞，x]内取值的概率；（3）正确，若随机变量X服从正态分布，则X的均值和方差必定存在。14.（1）k=2/1=2；（2）期望值E(X)=1/λ=1/2=0.5；（3）方差Var(X)=1/λ^2=1/0.25=4。四、参数估计15.（1）总体均值μ的矩估计值μ̂=x̄=10；（2）总体方差σ^2的矩估计值σ^2̂=s^2=2^2=4；（3）总体均值μ的95%置信区间为：(x̄-t_{0.025}(n-1)s/√n,x̄+t_{0.025}(n-1)s/√n)=(10-2.2622×0.8/√16,10+2.2622×0.8/√16)=(9.0444,10.9556)。16.（1）总体成功概率p的矩估计值p̂=x/n=15/30=0.5；（2）总体成功概率p的极大似然估计值p̂=x/n=15/30=0.5；（3）总体成功概率p的95%置信区间为：(p̂-z_{0.025}√(p̂(1-p̂)/n),p̂+z_{0.025}√(p̂(1-p̂)/n)=(0.5-1.96×√(0.5×0.5/30),0.5+1.96×√(0.5×0.5/30))=(0.092,0.908)。17.（1）总体参数λ的矩估计值λ̂=x̄=4；（2）总体参数λ的极大似然估计值λ̂=x̄=4；（3）总体参数λ的95%置信区间为：(λ̂-z_{0.025}√(λ̂/n),λ̂+z_{0.025}√(λ̂/n)=(4-1.96×√(4/20),4+1.96×√(4/20))=(3.056,4.944)。18.（1）总体参数λ的矩估计值λ̂=x̄=3；（2）总体参数λ的极大似然估计值λ̂=x̄=3；（3）总体参数λ的95%置信区间为：(λ̂-z_{0.025}√(λ̂/n),λ̂+z_{0.025}√(λ̂/n)=(3-1.96×√(3/25),3+1.96×√(3/25))=(2.556,3.444)。19.（1）总体参数a和b的矩估计值â=x̄/2=5/2=2.5，b̂=x(1)+x(n)/2=8+2/2=5；（2）总体参数a和b的极大似然估计值â=x̄/2=5/2=2.5，b̂=x(1)+x(n)/2=8+2/2=5；（3）总体参数a和b的95%置信区间为：(â-z_{0.025}√(n/n-1)(b̂-â),b̂+z_{0.025}√(n/n-1)(b̂-â))=(2.5-1.96×√(10/9)(5-2.5),5+1.96×√(10/9)(5-2.5))=(1.35,8.65)。20.（1）总体均值μ的假设检验，检验统计量t=(x̄-μ0)/(s/√n)=5/(2/√30)=7.5/√30，自由度为n-1=16，查t分布表得到临界值t_{0.025}(16)=1.746，由于7.5/√30>1.746，拒绝原假设，即认为总体均值μ≠50；（2）总体方差σ^2的假设检验，检验统计量χ^2=(n-1)s^2/σ0^2=(20-1)×10^2/100=18，自由度为n-1=16，查χ^2分布表得到临界值χ^2_{0.025}(16)=26.296，由于18<26.296，不拒绝原假设，即认为总体方差σ^2=100。五、假设检验21.（1）总体均值μ的假设检验，检验统计量t=(x̄-μ0)/(s/√n)=20/(4/√15)=5√15/2，自由度为n-1=14，查t分布表得到临界值t_{0.025}(14)=1.345，由于5√15/2>1.345，拒绝原假设，即认为总体均值μ≠20；（2）总体方差σ^2的假设检验，检验统计量χ^2=(n-1)s^2/σ0^2=(15-1)×4^2/16=14，自由度为n-1=14，查χ^2分布表得到临界值χ^2_{0.025}(14)=23.681，由于14<23.681，不拒绝原假设，即认为总体方差σ^2=16。22.（1）总体均值μ1和μ2的双样本t检验，检验统计量t=(x̄1-x̄2)/(√(s1^2/n1)+√(s2^2/n2))=(15-18)/(√(2^2/10)+√(3^2/12))=-3/(0.4+0.5)=(-3×2)/(0.9)=-6.667，自由度为n1+n2-2=22，查t分布表得到临界值t_{0.025}(22)=-2.074，由于-6.667<-2.074，拒绝原假设，即认为总体均值μ1≠μ2；（2）总体方差σ1^2和σ2^2的双样本F检验，检验统计量F=(s1^2/s2^2)=(2^2/3^2)=4/9，自由度为df1=n1-1=9，df2=n2-1=11，查F分布表得到临界值F_{0.025}(9,11)=2.844，由于4/9<2.844，不拒绝原假设，即认为总体方差σ1^2=σ2^2。23.（1）总体均值μ的单样本t检验，检验统计量t=(x̄-μ0)/(s/√n)=25/(5/√20)=5√20/2，自由度为n-1=29，查t分布表得到临界值t_{0.025}(29)=1.699，由于5√20/2>1.699，拒绝原假设，即认为总体均值μ≠25；（2）总体方差σ^2的单样本χ^2检验，检验统计量χ^2=(n-1)s^2/σ0^2=(30-1)×10^2/100=29，自由度为n-1=29，查χ^2分布表得到临界值χ^2_{0.025}(29)=44.314，由于29<44.314，不拒绝原假设