西安交通大学16年3月课程考试《弹性力学》作业考核试题答案

西安交通大学16年3月课程考试《弹性力学》作业考核试题答案摘要：本文档详细整理了西安交通大学16年3月课程考试《弹性力学》作业考核试题的答案。涵盖了弹性力学的基本概念、平面问题的基本理论、空间问题的相关知识以及求解方法等多方面内容。通过对各试题的解答，旨在帮助学生更好地理解弹性力学的知识点，掌握解题思路和技巧，为进一步学习和应用弹性力学知识奠定基础。

一、引言弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生的应力、应变和位移的学科。在工程领域中，许多实际问题都可以归结为弹性力学问题，如建筑结构的力学分析、机械零件的强度计算等。本次西安交通大学16年3月课程考试《弹性力学》作业考核试题全面考查了学生对弹性力学基础知识和基本技能的掌握情况。

二、试题及答案

（一）选择题（每题[X]分，共[X]分）1.弹性力学的基本假设不包括以下哪一项（）A.连续性假设B.均匀性假设C.各向异性假设D.小变形假设

答案：C解析：弹性力学的基本假设包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、小变形假设。各向异性假设不符合弹性力学的基本假设，故答案选C。

2.平面应力问题的受力特点是（）A.只在平面内受力B.受力在一个方向上为零C.所有外力都作用在同一平面内D.外力沿厚度方向均匀分布

答案：C解析：平面应力问题是指所有外力都作用在同一平面内，且沿厚度方向外力为零的弹性力学问题，故答案选C。

3.对于平面应变问题，下列说法正确的是（）A.应变只在平面内发生B.位移只在平面内发生C.应力只在平面内发生D.所有物理量都与厚度方向无关

答案：A解析：平面应变问题是指应变只在平面内发生，而位移和应力在厚度方向上保持不变，故答案选A。

4.应力分量之间应满足的平衡微分方程是基于（）A.力的平衡条件B.变形协调条件C.物理方程D.几何方程

答案：A解析：应力分量之间应满足的平衡微分方程是基于力的平衡条件推导出来的，故答案选A。

5.几何方程描述了（）A.应力与应变的关系B.应变与位移的关系C.应力与位移的关系D.力与位移的关系

答案：B解析：几何方程描述了应变与位移之间的关系，故答案选B。

（二）填空题（每题[X]分，共[X]分）1.弹性力学中，体力分量的量纲是[具体量纲]。答案：力/体积解析：体力是分布在物体体积内的力，其分量的量纲为力/体积。

2.平面问题的应力边界条件是在边界上应力分量应满足[具体条件]。答案：给定的面力边界条件解析：平面问题的应力边界条件是在边界上应力分量应满足给定的面力边界条件，即应力分量在边界上的合力应等于边界上的面力。

3.对于等截面直杆的扭转问题，其扭转刚度[具体表达式]。答案：$GI_p$（其中$G$为剪切模量，$I_p$为极惯性矩）解析：等截面直杆的扭转刚度由剪切模量和极惯性矩的乘积表示。

4.圣维南原理指出，作用在物体一小部分边界上的力系，可以用[具体力系]来代替，而不影响物体内部的应力和应变分布，只要所代替的力系与原力系静力等效。答案：一个与之静力等效的力系解析：圣维南原理的核心内容就是作用在物体一小部分边界上的力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替，而不影响物体内部的应力和应变分布。

5.位移法的基本未知量是[具体未知量]。答案：节点位移解析：位移法是以节点位移作为基本未知量，通过平衡条件建立位移与力之间的关系。

（三）简答题（每题[X]分，共[X]分）1.简述弹性力学的研究方法。答案：弹性力学的研究方法主要包括以下几个方面：静力学方法：通过平衡条件建立应力分量之间的平衡微分方程。几何学方法：利用几何方程描述应变与位移之间的关系。物理学方法：根据物理方程确定应力与应变之间的关系。边界条件：包括位移边界条件、应力边界条件等，用于确定问题的解。

通过综合运用这些方法，求解出弹性体在给定外力作用下的应力、应变和位移。

2.说明平面应力问题和平面应变问题的区别与联系。答案：区别：平面应力问题：所有外力都作用在同一平面内，且沿厚度方向外力为零，应变只在平面内发生，位移和应力在厚度方向上保持不变。平面应变问题：应变只在平面内发生，位移和应力在厚度方向上保持不变，而所有外力不一定都作用在同一平面内，但沿厚度方向外力均匀分布。

联系：两者都属于弹性力学中的平面问题，在分析方法上有相似之处。都需要建立平衡微分方程、几何方程和物理方程，并结合边界条件来求解应力、应变和位移。

3.什么是圣维南原理？在工程中有何应用？答案：圣维南原理指出，作用在物体一小部分边界上的力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替，而不影响物体内部的应力和应变分布，只要所代替的力系与原力系静力等效。

在工程中的应用非常广泛，例如：在进行结构分析时，可以简化边界条件，用等效的力系代替复杂的局部受力情况，从而方便求解整体结构的力学响应。在机械零件的设计中，对于一些局部受力的情况，可以根据圣维南原理进行合理简化，以提高设计效率和准确性。在建筑结构中，当研究结构的整体力学性能时，可以忽略一些局部的、对整体影响较小的外力作用，按照圣维南原理进行等效处理。

4.写出平面问题的应力分量、应变分量和位移分量之间的关系（物理方程和几何方程）。答案：物理方程：对于平面应力问题：$\begin{cases}\sigma_x=\frac{E}{1\mu^2}(\varepsilon_x+\mu\varepsilon_y)\\\sigma_y=\frac{E}{1\mu^2}(\varepsilon_y+\mu\varepsilon_x)\\\tau_{xy}=G\gamma_{xy}\end{cases}$其中$E$为弹性模量，$\mu$为泊松比，$G=\frac{E}{2(1+\mu)}$为剪切模量。

对于平面应变问题：$\begin{cases}\sigma_x=\frac{E(1\mu)}{(1+\mu)(12\mu)}(\varepsilon_x+\frac{\mu}{1\mu}\varepsilon_y)\\\sigma_y=\frac{E(1\mu)}{(1+\mu)(12\mu)}(\varepsilon_y+\frac{\mu}{1\mu}\varepsilon_x)\\\tau_{xy}=G\gamma_{xy}\end{cases}$其中$G=\frac{E}{2(1+\mu)}$。

几何方程：$\begin{cases}\varepsilon_x=\frac{\partialu}{\partialx}\\\varepsilon_y=\frac{\partialv}{\partialy}\\\gamma_{xy}=\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialv}{\partialx}\end{cases}$其中$u$、$v$分别为$x$、$y$方向的位移分量。

（四）计算题（每题[X]分，共[X]分）1.已知一矩形截面梁，宽度为$b$，高度为$h$，受均布荷载$q$作用，试求梁内的应力分布（按平面应力问题求解）。解：（1）建立坐标系：取梁的轴线为$x$轴，垂直于轴线为$y$轴，坐标原点位于梁的左端。（2）确定边界条件：在梁的上下表面，$y=\pm\frac{h}{2}$，$\sigma_y=0$。在梁的左右端，$x=0$和$x=l$，$M=0$，$Q=0$。（3）根据平衡条件求应力分量：由平衡微分方程$\frac{\partial\sigma_x}{\partialx}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partialy}=0$和$\frac{\partial\sigma_y}{\partialy}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partialx}=0$，结合边界条件求解。首先，由梁的静力平衡条件可得梁的弯矩$M=\frac{1}{2}qlx$，剪力$Q=\frac{1}{2}ql$。对于平面应力问题，设应力函数$\varphi(x,y)$，根据应力与应力函数的关系：$\sigma_x=\frac{\partial^2\varphi}{\partialy^2}$，$\sigma_y=\frac{\partial^2\varphi}{\partialx^2}$，$\tau_{xy}=\frac{\partial^2\varphi}{\partialx\partialy}$。将其代入平衡微分方程可得：$\frac{\partial^4\varphi}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4\varphi}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4\varphi}{\partialy^4}=0$。根据边界条件确定应力函数的形式，通过求解上述方程得到应力函数$\varphi(x,y)$。然后再求出应力分量：$\sigma_x=\frac{12M}{bh^3}y$，$\sigma_y=0$，$\tau_{xy}=\frac{6Q}{bh^3}(\frac{h^2}{4}y^2)$。将$M=\frac{1}{2}qlx$，$Q=\frac{1}{2}ql$代入可得：$\sigma_x=\frac{6ql}{bh^3}xy$，$\sigma_y=0$，$\tau_{xy}=\frac{3ql}{bh^3}(\frac{h^2}{4}y^2)$。

2.一简支梁，跨度为$l$，受集中荷载$P$作用于跨中，梁的截面为矩形，宽度为$b$，高度为$h$，试用能量法求梁的最大挠度。解：（1）设梁的挠曲线方程为$w(x)=a_1\sin\frac{\pix}{l}+a_2\sin\frac{2\pix}{l}+\cdots$。（2）计算梁的应变能$U$：梁的应变能由弯曲应变能和剪切应变能组成。弯曲应变能$U_b=\frac{1}{2}\int_{0}^{l}EI(\frac{d^2w}{dx^2})^2dx$，其中$EI=\frac{1}{12}bh^3E$为梁的抗弯刚度。剪切应变能$U_s=\frac{k}{2AG}\int_{0}^{l}(\frac{dw}{dx})^2dx$，对于矩形截面梁，$k=\frac{6}{5}$，$AG=\frac{1}{2}bhG$为梁的抗剪刚度。（3）计算荷载势能$V$：荷载势能$V=Pw(\frac{l}{2})$。（4）根据能量原理，系统总势能$\Pi=U+V$，当总势能取极值时，有$\frac{\partial\Pi}{\partiala_i}=0$（$i=1,2,\cdots$）。对于本题，只取一项$w(x)=a_1\sin\frac{\pix}{l}$，则：$U_b=\frac{1}{2}\int_{0}^{l}EI(\frac{\pi^2}{l^2}a_1\cos\frac{\pix}{l})^2dx=\frac{\pi^4EIa_1^2}{4l^3}$$U_s=\frac{k}{2AG}\int_{0}^{l}(\frac{\pi}{l}a_1\cos\frac{\pix}{l})^2dx=\frac{k\pi^2a_1^2}{4AGl}$$V=Pw(\frac{l}{2})=Pa_1$$\Pi=U_b+U_s+V=\frac{\pi^4EIa_1^2}{4l^3}+\frac{k\pi^2a_1^2}{4AGl}Pa_1$对$\Pi$求关于$a_1$的导数并令其为零：$\frac{\partial\Pi}{\partiala_1}=\frac{\pi^4EIa_1}{2l^3}+\frac{k\pi^2a_1}{2AGl}P=0$解得$a_1=\frac{2Pl^3}{\pi^3EI+\frac{2kPl^3}{AG}}$则梁的最大挠度$w_{max}=a_1=\frac{2Pl^3}{\pi^3EI+\frac{2kPl^3}{AG}}$。将$EI=\frac{1}{12}bh^3E$，$AG=\frac{1}{2}bhG$，$k=\frac{6}{5}$代入可得：$w_{max}=\frac{2Pl^3}{\pi^3\frac{1}{12}bh^3E+\frac{2\times\frac{6}{5}Pl^3}{\frac{1}{2}bhG}}$进一步化简可得具体的最大挠度表达式。

三、总结通过对本次西安交通大学16年