用一元一次不等式组解决方案设计问题

用一元一次不等式组解决方案设计问题一、引言在实际生活和工作中，我们常常会遇到各种方案设计的问题，需要在满足一定条件的情况下，找出最优的解决方案。一元一次不等式组作为数学中的重要工具，能够有效地帮助我们解决这类问题。通过建立不等式组模型，我们可以对实际问题进行分析和求解，从而得到符合要求的方案。本文将详细介绍如何运用一元一次不等式组来解决方案设计问题，通过具体的实例展示其解题思路和方法，帮助读者更好地掌握这一实用的数学工具。

二、一元一次不等式组的基本概念（一）不等式用不等号（大于">"、小于"<"、大于等于"≥"、小于等于"≤"）连接两个代数式所成的式子叫做不等式。例如：$x+3>5$，$2y1≤7$等。

（二）一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。其一般形式为$ax+b>0$（$a≠0$）或$ax+b<0$（$a≠0$），如$3x2>0$。

（三）不等式组由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。例如：$\begin{cases}x+2>3\\2x1<5\end{cases}$

（四）不等式组的解集不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

解不等式组的方法是：先分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分。可以通过数轴直观地表示出来。

例如，对于不等式组$\begin{cases}x>2\\x<5\end{cases}$，在数轴上表示为：

```25oo（数轴上2处空心圆圈表示不包含2，5处空心圆圈表示不包含5）```

其解集为$2<x<5$，即两个不等式解集的公共部分。

三、用一元一次不等式组解决问题的一般步骤（一）审题认真阅读题目，理解题意，明确题目中的已知条件和所求问题。找出题目中涉及的数量关系和不等关系。

（二）设未知数根据题目要求，选择合适的未知数，并用字母表示。

（三）列不等式组根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式组。通常需要分析每个条件所对应的不等式，然后将它们组合成不等式组。

（四）解不等式组求出不等式组的解集。

（五）检验将解集代入原不等式组进行检验，看是否符合实际意义。

（六）作答根据检验结果，写出符合题意的答案，包括方案的具体内容和结论。

四、实例分析（一）调配问题例1：某工厂有甲、乙两种原料，生产A、B两种产品。已知生产一件A产品需要甲原料3千克，乙原料1千克；生产一件B产品需要甲原料2千克，乙原料2千克。现有甲原料13千克，乙原料8千克。设生产A产品$x$件。（1）请用含$x$的代数式表示生产B产品的件数；（2）求$x$的取值范围，并说明有几种符合题意的生产方案。

解：（1）生产A产品$x$件，生产一件A产品需要甲原料3千克，现有甲原料13千克，那么生产A产品用去甲原料$3x$千克，所以生产B产品用的甲原料为$(133x)$千克，又因为生产一件B产品需要甲原料2千克，所以生产B产品的件数为$\frac{133x}{2}$件。

（2）根据现有乙原料8千克来列不等式组。生产A产品$x$件，需要乙原料$x$千克；生产B产品$\frac{133x}{2}$件，需要乙原料$2\times\frac{133x}{2}=133x$千克。则可得不等式组：$\begin{cases}x+(133x)≤8\\3x≤13\\2\times\frac{133x}{2}≤8\end{cases}$解第一个不等式：$x+133x≤8$$2x≤813$$2x≤5$$x≥\frac{5}{2}$

解第二个不等式：$3x≤13$，$x≤\frac{13}{3}$

解第三个不等式：$133x≤8$$3x≤813$$3x≤5$$x≥\frac{5}{3}$

综合可得，$\frac{5}{2}≤x≤\frac{13}{3}$，因为$x$为产品件数，应为整数，所以$x=3$或$x=4$。当$x=3$时，生产B产品的件数为$\frac{133×3}{2}=2$件；当$x=4$时，生产B产品的件数为$\frac{133×4}{2}=\frac{1}{2}$（件数不能为分数，舍去这种情况）。

所以有两种符合题意的生产方案：方案一，生产A产品3件，生产B产品2件。

（二）销售问题例2：某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件，乙商品1件共需100元；购进甲商品2件，乙商品1件共需160元。（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店决定用不少于6700元且不超过6800元的资金购进这两种商品共100件，问有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，若甲商品每件售价为250元，乙商品每件售价为180元，哪种进货方案获利最大？最大利润是多少？

解：（1）设甲商品每件的进价为$x$元，因为购进甲商品1件，乙商品1件共需100元，所以乙商品每件的进价为$(100x)$元。根据购进甲商品2件，乙商品1件共需160元，可列方程：$2x+(100x)=160$$2x+100x=160$$x=160100$$x=60$则乙商品每件的进价为$10060=40$元。

（2）设购进甲商品$y$件，则购进乙商品$(100y)$件。由题意可得不等式组：$\begin{cases}60y+40(100y)≥6700\\60y+40(100y)≤6800\end{cases}$解第一个不等式：$60y+400040y≥6700$$20y≥67004000$$20y≥2700$$y≥135$

解第二个不等式：$60y+400040y≤6800$$20y≤68004000$$20y≤2800$$y≤140$

因为$y$为商品数量，应为整数，所以$y$可以取135，136，137，138，139，140，共6种取值，即有6种进货方案。

（3）设总利润为$W$元。$W=(25060)y+(18040)(100y)$$=190y+140(100y)$$=190y+14000140y$$=50y+14000$

因为$50>0$，所以$W$随$y$的增大而增大。由（2）知$y$最大取140，此时$W=50×140+14000=7000+14000=21000$元。即购进甲商品140件，乙商品$100140=40$（舍去，商品数量不能为负数），这种情况不符合实际意义。所以当$y=139$时，$W=50×139+14000=6950+14000=20950$元；当$y=138$时，$W=50×138+14000=6900+14000=20900$元；......当$y=135$时，$W=50×135+14000=6750+14000=20750$元。

通过比较可得，当购进甲商品139件，乙商品$100139=61$件时，获利最大，最大利润是20950元。

（三）工程问题例3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元。现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使每月所付工资最少？

解：设招聘甲种工种的工人$x$人，则招聘乙种工种的工人$(150x)$人。根据乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，可列不等式：$150x≥2x$$150≥2x+x$$3x≤150$$x≤50$

设每月所付工资为$y$元，则：$y=600x+1000(150x)$$=600x+1500001000x$$=400x+150000$

因为$400<0$，所以$y$随$x$的增大而减小。又因为$x≤50$，且$x$为人数，应为正整数，所以当$x=50$时，$y$有最小值。此时乙种工种人数为$15050=100$人。

即招聘甲种工种50人，乙种工种100人时，每月所付工资最少。

（四）住宿问题例4：学校组织一批学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位。（1）求这批学生的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元。根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）。请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金。

解：（1）设单独租用35座客车$x$辆，则学生人数为$35x$人。根据单独租用55座客车的情况可列方程：$35x=55(x1)45$$35x=55x5545$$35x=55x100$$55x35x=100$$20x=100$$x=5$所以学生人数为$35×5=175$人。

（2）设租用35座客车$y$辆，则租用55座客车$(4y)$辆。可得不等式组：$\begin{cases}35y+55(4y)≥175\\320y+400(4y)≤1500\end{cases}$解第一个不等式：$35y+22055y≥175$$20y≥175220$$20y≥45$$y≤\frac{9}{4}$

解第二个不等式：$320y+1600400y≤1500$$80y≤15001600$$80y≤100$$y≥\frac{5}{4}$

所以$\frac{5}{4}≤y≤\frac{9}{4}$，因为$y$为车辆数，应为整数，所以$y=2$。则租用55座客车$42=2$辆。租金为$320×2+400×2=640+800=1440$元。

（五）运输问题例5：某物流公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨。在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？

解：设还需调用B型车$x$辆。已知调用5辆A型车，每辆A型车装20吨，则A型车装的物资为$5×20=100$吨。B型车每辆装15吨，B型车装的物资为$15x$吨。可列不等式：$100+15x≥300$$15x≥300100$$15x≥200$$x≥\frac{40}{3}$

因为$x$为车辆数，应为整数，所以$x$取最小整数为14。即至少还需调用B型车14辆。

五、总结通过以上实例分析，我们可以看到一元一次不等式组在方案设计问题中有着广泛的应用。在解决这类问题时，关键是要仔细审题，准确找出题目中的不等关系，合理设未知数，列出不等式组并求解。然后根据实际情况对解进行检验和筛选，得到符合