江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查数学试题含附加题

江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查数学试题含附加题一、填空题1.已知集合\(A=\{x|x^22x3\leq0\}\)，\(B=\{x|y=\ln(2x)\}\)，则\(A\capB=\)______。解不等式\(x^22x3\leq0\)，即\((x3)(x+1)\leq0\)，解得\(1\leqx\leq3\)，所以\(A=[1,3]\)。对于集合\(B\)，由\(y=\ln(2x)\)可知\(2x\gt0\)，即\(x\lt2\)，所以\(B=(\infty,2)\)。则\(A\capB=[1,2)\)。2.已知\(i\)为虚数单位，复数\(z\)满足\(z(1i)=1+i\)，则\(|z|=\)______。由\(z(1i)=1+i\)，可得\(z=\frac{1+i}{1i}\)。对\(\frac{1+i}{1i}\)进行化简，分子分母同时乘以\(1+i\)，得到\(z=\frac{(1+i)^2}{(1i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1i^2}\)。因为\(i^2=1\)，所以\(z=\frac{1+2i1}{2}=i\)。则\(|z|=1\)。3.从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______。从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，所有可能的情况有\(C_4^2=\frac{4!}{2!(42)!}=\frac{4\times3}{2\times1}=6\)种。所取2个数的乘积为6的情况只有\((2,3)\)这1种。所以所取2个数的乘积为6的概率是\(\frac{1}{6}\)。4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果\(S\)为______。```S←1I←1WhileI<8S←S+II←I+2EndWhilePrintS```初始值\(S=1\)，\(I=1\)。第一次循环：\(S=1+1=2\)，\(I=1+2=3\)。第二次循环：\(S=2+3=5\)，\(I=3+2=5\)。第三次循环：\(S=5+5=10\)，\(I=5+2=7\)。第四次循环：\(S=10+7=17\)，\(I=7+2=9\)，此时\(I\geq8\)，循环结束。所以输出的结果\(S\)为17。5.已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的离心率为\(\sqrt{2}\)，则点\((4,0)\)到\(C\)的渐近线的距离为______。因为双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(c=\sqrt{2}a\)，则\(a=b\)。双曲线的渐近线方程为\(y=\pmx\)，即\(x\pmy=0\)。点\((4,0)\)到直线\(x+y=0\)的距离\(d=\frac{|4+0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}\)，点\((4,0)\)到直线\(xy=0\)的距离也为\(2\sqrt{2}\)。所以点\((4,0)\)到\(C\)的渐近线的距离为\(2\sqrt{2}\)。6.已知样本数据\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差\(s^2=2\)，则样本数据\(3x_1+2,3x_2+2,\cdots,3x_n+2\)的方差为______。根据方差的性质，若\(y=ax+b\)，则\(D(y)=a^2D(x)\)。已知样本数据\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差\(s^2=2\)，对于样本数据\(3x_1+2,3x_2+2,\cdots,3x_n+2\)，\(a=3\)。所以其方差为\(3^2\times2=18\)。7.已知正四棱锥\(PABCD\)的所有棱长都相等，高为\(\sqrt{2}\)，则该正四棱锥的表面积为______。设正四棱锥的棱长为\(a\)。因为正四棱锥的高、底面正方形对角线的一半与棱长构成直角三角形，底面正方形对角线长为\(\sqrt{2}a\)，则底面正方形对角线的一半为\(\frac{\sqrt{2}}{2}a\)。由勾股定理可得\((\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2+\sqrt{2}^2=a^2\)，解得\(a=2\)。底面正方形面积为\(2\times2=4\)，四个侧面三角形的面积都为\(\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{2^21^2}=\sqrt{3}\)。所以正四棱锥的表面积为\(4+4\sqrt{3}\)。8.将函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度，得到函数\(g(x)\)的图象，则\(g(\frac{5\pi}{12})=\)______。将函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度，根据"左加右减"原则，得到\(g(x)=\sin[2(x\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{3}]=\sin2x\)。则\(g(\frac{5\pi}{12})=\sin(2\times\frac{5\pi}{12})=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\)。9.在\(\triangleABC\)中，\(AB=2\sqrt{5}\)，\(AC=3\)，\(\sinC=2\sinA\)，则\(\cosA=\)______。由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，已知\(\sinC=2\sinA\)，可得\(c=2a\)。因为\(AB=c=2\sqrt{5}\)，\(AC=b=3\)，所以\(a=\sqrt{5}\)。再根据余弦定理\(\cosA=\frac{b^2+c^2a^2}{2bc}\)，可得\(\cosA=\frac{3^2+(2\sqrt{5})^2(\sqrt{5})^2}{2\times3\times2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)。10.已知函数\(f(x)=x^33x^2+3\)，若函数\(g(x)=f(x)m\)在\(x\in[1,2]\)上有三个零点，则实数\(m\)的取值范围是______。对\(f(x)=x^33x^2+3\)求导得\(f^\prime(x)=3x^26x=3x(x2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x\in[1,0)\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x\in(0,2]\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减。\(f(1)=(1)^33\times(1)^2+3=1\)，\(f(0)=3\)，\(f(2)=2^33\times2^2+3=1\)。函数\(g(x)=f(x)m\)在\(x\in[1,2]\)上有三个零点，即\(y=f(x)\)与\(y=m\)的图象在\(x\in[1,2]\)上有三个交点。所以实数\(m\)的取值范围是\((1,3)\)。11.已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)满足\(|\overrightarrow{a}|=1\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=\)______。根据向量数量积的分配律\(\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=2\overrightarrow{a}^2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)。已知\(|\overrightarrow{a}|=1\)，则\(\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|^2=1\)，又\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\)。所以\(\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=2\times1(1)=3\)。12.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}(n\inN^*)\)，则数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=\)______。由\(a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}\)，两边取倒数得\(\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+2}{a_n}=1+\frac{2}{a_n}\)。则\(\frac{1}{a_{n+1}}+1=2(\frac{1}{a_n}+1)\)。因为\(\frac{1}{a_1}+1=2\)，所以数列\(\{\frac{1}{a_n}+1\}\)是以2为首项，2为公比的等比数列。则\(\frac{1}{a_n}+1=2\times2^{n1}=2^n\)，所以\(a_n=\frac{1}{2^n1}\)。13.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，若函数\(y=f(f(x))+a\)有三个零点，则实数\(a\)的取值范围是______。当\(x\leq0\)时，\(f(x)=2^x\in(0,1]\)；当\(x\gt0\)时，\(f(x)=\log_2x\)。令\(f(f(x))=a\)。当\(f(x)\leq0\)时，\(f(f(x))=2^{f(x)}\)；当\(f(x)\gt0\)时，\(f(f(x))=\log_2(f(x))\)。要使函数\(y=f(f(x))+a\)有三个零点，则\(y=f(f(x))\)与\(y=a\)的图象有三个交点。当\(f(x)\leq0\)时，\(2^{f(x)}\in(0,1]\)；当\(f(x)\gt0\)时，\(\log_2(f(x))\)值域为\(R\)。所以\(a\in(0,1]\)，即\(a\in[1,0)\)。14.在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知圆\(C:x^2+y^2=4\)与\(x\)轴的正负半轴的交点分别是\(M,N\)。点\(P\)为圆\(C\)上异于\(M,N\)的任意一点，直线\(PM\)，\(PN\)分别交直线\(x=4\)于点\(A,B\)。则当点\(P\)变化时，以\(AB\)为直径的圆被\(x\)轴截得的弦长为______。设\(P(x_0,y_0)\)，因为\(M(2,0)\)，\(N(2,0)\)。直线\(PM\)的方程为\(y=\frac{y_0}{x_0+2}(x+2)\)，令\(x=4\)，得\(y_A=\frac{6y_0}{x_0+2}\)。直线\(PN\)的方程为\(y=\frac{y_0}{x_02}(x2)\)，令\(x=4\)，得\(y_B=\frac{2y_0}{x_02}\)。所以\(A(4,\frac{6y_0}{x_0+2})\)，\(B(4,\frac{2y_0}{x_02})\)。以\(AB\)为直径的圆的圆心坐标为\((4,\frac{3y_0}{x_0+2}+\frac{y_0}{x_02})\)，半径\(r=\frac{1}{2}|\frac{6y_0}{x_0+2}\frac{2y_0}{x_02}|\)。令\(y=0\)，可得圆与\(x\)轴交点的横坐标\(x_1,x_2\)，根据弦长公式\(|x_1x_2|=4\sqrt{3}\)，即弦长为\(4\sqrt{3}\)。

二、解答题15.已知向量\(\overrightarrow{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(\overrightarrow{b}=(\cos\beta,\sin\beta)\)，\(0\lt\beta\lt\alpha\lt\pi\)。(1)若\(|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)的值及向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角；(2)设\(\overrightarrow{c}=(0,1)\)，若\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}\)，求\(