转子动力学分析方法第3章 多轴转子系统动力分析的整体传递矩阵法

第3章多轴转子系统动力分析的整体传递矩阵法3.1整体传递矩阵法的基本原理；3.2转子系统的整体传递矩阵；3.3临界转速及振型的求解；内容提要：3.4整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例；3.5基于Riccati变换的整体传递矩阵法。3.1整体传递矩阵法的基本原理3.1.1计算模型及子结构划分整体传递矩阵法可用于分析计算复杂的多转子、多支承系统的固有频率与临界转速以及其稳态不平衡响应。它的基本思路是把一个完整转子系统按自然条件或需要特别关注的关键部分人为地分割成若干个子结构。子结构划分具体实例：图3-1某发动机双转子模型简图3.1整体传递矩阵法的基本原理3.1.1计算模型及子结构划分简化转子系统时，按下述原则确定：(1)不考虑转子上的局部凸台；(2)转子形面的母线为曲线时，在单元中简化为直线；(3)在转子厚度发生变化处，两相邻单元中假定相同，取平均半径；(4)转子系统为轴对称结构。在推导分析整体传递矩阵方程过程中，暂且不考虑内、外机匣的影响，将该转子模型划分为两个子结构即高压转子和低压转子。3.1整体传递矩阵法的基本原理3.1.2整体传递矩阵法的基本思想图3-2某四自由度弹簧振子系统简图3.1整体传递矩阵法的基本原理3.1.2整体传递矩阵法的基本思想在①段，有记为：

在②段，系统Ⅰ和Ⅱ通过弹簧连接在一起，根据D’Alembert原理可以写出3截面和2截面的状态矢量之间的关系为记为：3.1整体传递矩阵法的基本原理3.1.2整体传递矩阵法的基本思想记为：

记为：③段与①段类似，有在④段，可以得到3.1整体传递矩阵法的基本原理3.1.2整体传递矩阵法的基本思想

根据传递矩阵的思想，得到根据截面1和截面5处的边界条件可以得到这个四自由度系统的频率方程为3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.1各向同性非耦合单元的整体传递矩阵

图3-3某双转子系统示意图3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.1各向同性非耦合单元的整体传递矩阵

设Ⅰ、Ⅱ转子第站的状态向量分别为根据单转子系统的传递矩阵法，其各自的传递关系为矩阵形式为记为：3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.1各向同性非耦合单元的整体传递矩阵

考虑剪切变形时：其中：3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.2各向同性耦合单元传递矩阵

图3-4双转子耦合单元3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.2各向同性耦合单元传递矩阵

Ⅰ转子的协调方程：写成矩阵形式：3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.2各向同性耦合单元传递矩阵

Ⅱ转子的协调方程：写成矩阵形式：3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.2各向同性耦合单元传递矩阵

两矩阵合并：记为：3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.3各向异性耦合单元传递矩阵

各向异性阻尼耦合单元的刚度和阻尼由8个参数决定：状态向量为：图3-6各向异性耦合单元示意图3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.3各向异性耦合单元传递矩阵

根据耦合单元圆盘两侧几何关系有：弯矩平衡方程：剪力平衡方程如下：对，方向：3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.3各向异性耦合单元传递矩阵

对，方向：对，方向：对，方向：由于有阻尼作用，设该系统的自由涡动频率为复频率

，则圆盘，的形心位移可写为，3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.3各向异性耦合单元传递矩阵

，故有整理得3.2转子系统的整体传递矩阵3.2.3各向异性耦合单元传递矩阵

，最终合并成矩阵形式矩阵

为

中参数的系数矩阵，也就是该耦合单元的传递矩阵。令：其中：3.3临界转速及振型的求解3.3.1求解多转子系统的临界转速

，

多转子系统的临界转速可分为三种情况(以双转子为例说明)：根据已知条件计算复杂转子系统的固有振动频率，在这种情况下，各个转子以自身的角速度旋转，计算得到的是复杂转子系统的涡动角速度；已知两个转子的转速比，计算与内(外)转子同步的临界转速，与计算转子系统的固有频率类似；转速比未知，需要先计算绘制出双转子系统的临界转速图谱，然后根据试验或者现场测试得到双转子系统内外转子的工作转速变化关系曲线与计算所得临界转速图谱的交点就可以确定各阶临界转速。通常要计算同步正进动即时的临界转速，在给定误差精度下，使用二分法或者弦割法求解频率方程就可得需要的各阶临界转速。3.3临界转速及振型的求解3.3.2求解转子的振型

，整体传递矩阵法计算临界转速及振型的编程设计步骤（1）输入和生成单元信息；a．单元划分及编号；b．读入单元基本数据信息；包括：单元数；节点数；单元质量；极转动惯量；直径转动惯量；节点坐标；单元弹性模量；泊松比；外径；内径；单元支承信息；耦合单元信息；虚设单元信息（其质量和长度为零）等。c．自动生成节点编号；单元长度；单元截面积；单元剪切模量；（2）计算剩余量；（3）二分法求解临界转速；

（4）求解振动模态（主振型）。3.3临界转速及振型的求解3.3.2求解转子的振型

，由于转子在制造和安装上的误差，难免产生偏心。稳态不平衡响应就是研究转子系统在其旋转结构本身存在的不平衡量所产生的激励力作用下的频率响应特性。求解转子系统的不平衡响应与临界转速的求法大致相同。主要区别在于：计算临界转速的基本方程是线性齐次方程组；而计算稳态不平衡响应的基本方程是线性非齐次方程，方程式右边存在着仅与不平衡量及自转角速度有关的项。对于给定的每一个转速值，由该非齐次方程组可以解出各个未知状态参数，由此可以计算出在该转速下系统各个节点的状态参数值，即在给定不平衡量及该转速下的稳态响应。3.4整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例

，例3-1：计算无阻尼轴对称双转子系统的固有频率与振型图3-7具有两个中介支承的无阻尼双转子轴对称系统

图3-7为具有两个中介支点的无阻尼轴对称双转子系统的计算模型，转子系统的原始参数列于表3-1。

，例3-1：计算无阻尼轴对称双转子系统的固有频率与振型3.4整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例

，3.4.1单元划分图3-8单元划分及虚设单元3.4整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例

，3.4.2计算固有频率整体传递矩阵法计算的固有频率结果如表3-2所示：3.4整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例

，3.4.3转子的各阶振型3.4整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例一般多转子系统有个子结构，可整体划分为个单元。下面仍以图3-1所示的双转子发动机

为例，不考虑机匣的影响，推导基于Riccati变换的双转子系统的运动方程。假定的理想单元与前面相同，计算时考虑陀螺力矩和剪切变形的影响。对于双转子计算模型，在整体传递过程中，从第站到第站的传递形式为：3.5基于Riccati变换的整体传递矩阵法

，3.5.1转子系统基于Riccati变换得传递矩阵单根轴的第个单元，其状态向量为：3.5基于Riccati变换的整体传递矩阵法

，3.5.1转子系统基于Riccati变换的传递矩阵根据Riccati基本原理引入如下变换:将变换代入上式：得到双转子系统基于Riccati变换的传递矩阵公式：上式可展开为:3.5基于Riccati变换的整体传递矩阵法

，3.5.2耦合矩阵的Riccati变换如图3-7所示，转子Ⅰ和转子Ⅱ弹性连接。根据受力关系有如下矩阵关系：上式可写为：上式展开为：3.5基于Riccati变换的整体传递矩阵法

，3.5.2耦合矩阵的Riccati变换又：得：求得后，就可继续向右传递。当遇到耦合点时，按照上式进行类似的变换，直到传递到整个转子系统的末端截面。根据末端截面条件，列出转子系统的频率方程。(1)给定初值，形成单元传递矩阵。(2)令传递矩阵初值，，迭代形成第i

步传递矩阵：

同时记录，。(3)传递到最后一个单元，利用求出最后单元末端位移向量。(4)由递推公式从右往左递推，就可求任一截面上的复数位移向量。(5)各个截面得到的向量求得模的大小和相位角，并存储起来。(6)改变的值并重复1-5步，将结果存储起来。(7)将存储的结果画成三维图。3.5基于Riccati变换的整体传递矩阵法

，3.5.3基于Riccati变换的整体传递矩阵法计算不平衡响应算法步骤为：3.5基于Riccati变换的整体传递矩阵法

，3.5.3基于Riccati变换的整体传递矩阵法计算不平衡响应算例3-2：计算某航空发动机的不平衡响应如算例3-1所示，在节点4和节点10上加上较小的偏心量，按照上述的算法可算得各个节点的频域响应图，如图3-10、图3-11所示。图3-10内转子的不平衡响应图谱图3-11外转子的不平衡响应图谱3.5基于Riccati变换的整体传递矩阵法

，3.5.3基于Riccati变换的整体传递矩阵法计算不平衡响应为了更清楚地看出某个节点随频率变化的响应，绘制了各个节点的频响幅值谱图，如图3-12~图3-23所示。图3-121节点的不平衡响应图谱图3-132节点的不平衡响应图谱图3-143节点的不平衡响应图谱图3-154节点的不平衡响应图谱3.5基于Riccati变换的整体传递矩阵法

，3.5.3基于Riccati变换的整体