题型11 5类概率统计选填解题技巧-高考数学答题技巧与模板构建

题型115类概率统计选填解题技巧（概率的基本性质、条件概率、全概率、贝叶斯公式、样本数字特征）技法01技法01判断概率中的事件关系的解题技巧技法02条件概率解题技巧技法03全概率解题技巧技法04贝叶斯公式解题技巧技法05样本数字特征的解题技巧本节导航技法01判断概率中的事件关系的解题技巧在概率小题中，利用概率的基本性质判断事件的相互关系（互斥事件、对立事件、独立事件等），是新高考卷的常考内容，难度中等偏易，需重点复习。概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(5)独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B)，个独立事件同时发生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．（2024·湖北武汉·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有，，，四个数字，将这个模型抛掷一次，并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为的倍数”为事件，“数字是的倍数”为事件，“数字是的倍数”为事件，则下列选项正确的是（

）A．事件两两互斥 B．事件与事件对立C． D．事件两两相互独立1．（2024·福建莆田·二模）若，则（

）A．事件与互斥 B．事件与相互独立C． D．2．（2024·湖南衡阳·一模）已知古典概型的样本空间，“事件”，则命题“事件”是命题“事件与事件相互独立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·江苏·模拟预测）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（

）A． B．C．互斥 D．相互独立1．（2025·广东惠州·模拟预测）事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（

）A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含2．（2024·广东广州·模拟预测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（

）A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等3．（2024·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字，从中随机有放回的取两个球，每次取1个球．事件“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件“第二次取出的球标的数字为偶数”，事件“两次取出的球标的数字之和为5”，事件“两次取出的球标的数字之和为6”，则（

）A．与互斥 B．与相互独立C．与相互独立 D．与互斥4．（2024·河北沧州·一模）（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（

）A．与是互斥事件 B．与是对立事件C． D．5．（多选）投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（

）A．和互为对立事件 B．事件和不互斥C．事件和相互独立 D．事件和相互独立技法02条件概率解题技巧条件概率是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的核心内容，在小题和大题中都有考查，需重点复习.条件概率的三种求法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，能化繁为简（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.41．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为2．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为．3．（2024·广东佛山·模拟预测）小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（

）A． B． C． D．1．（2024·广西·模拟预测）在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽·模拟预测）某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为，，，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（

）．A． B． C． D．3．（2024·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南邵阳·一模）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（

）A． B． C． D．技法03全概率解题技巧全概率是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的核心内容，在小题和大题中都有考查，需重点复习.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式.（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.（2024·河南信阳·二模）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（

）A． B． C． D．1．（2024·云南昆明·三模）在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江·一模）（多选）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（

）A．B．C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变1．（2024·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（

）A． B．C． D．2．（2024·安徽·一模）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率（

）A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.05253．（2024·湖南郴州·模拟预测）从数字，，，中随机取一个数字，第一次取到的数字为，再从数字，…，中随机取一个数字，则第二次取到数字为的概率是.技法04贝叶斯公式解题技巧贝叶斯公式是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的重点内容，在小题和大题中都有考查，需重点复习.贝叶斯公式一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有（2024·黑龙江哈尔滨·一模）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（

）A．0.2 B．0.05 C． D．1．（2024·江西上饶·模拟预测）越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示，两个地区分别有的人参加户外极限运动，两个地区的总人口数的比为．若从这两个地区中任意选取一人，则此人参加户外极限运动的概率为；若此人参加户外极限运动，则此人来自地区的概率为，那么（

）A． B．C． D．2．（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）A． B． C． D．1．（2024·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（

）A． B． C． D．2．（2024·贵州遵义·三模）（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．3．（2024·广东佛山·模拟预测）（多选）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（

）A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为B．李明获胜的概率为C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为技法05样本数字特征的解题技巧在概率统计问题中，样本数字特征是一个重要的解题工具。样本均值、样本方差等数字特征，能够反映出样本数据的整体趋势和离散程度。难度中等，需强加练习来熟练掌握样本数字特征的解题技巧。平均数：，反映样本的平均水平方差：，反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样极差：等于样本的最大值最小值总体方差公式设总体中有个个体，其取值分别为,总体均值为,则总体方差的计算公式为：这个公式反映了总体中各个个体与总体均值的偏离程度，总体方差越大，说明总体数据的离散程度越大，数据越分散；总体方差越小，说明数据越集中在均值附近。样本方差公式对于从总体中抽取的样本数据,样本均值为,样本方差的计算公式为：这里使用作为分母，而不是,是为了对总体方差进行无偏估计。当样本量较大时，使用或作为分母对结果影响较小，但在样本量较小时，使用能更准确地估计总体方差。（2024·吉林长春·一模）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（

）A．5 B．4 C．3 D．21．（2024·河北·模拟预测）某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·江西赣州·一模）若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．3．（2025·重庆·一模）有4位同学各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数1的是（

）A．平均数为3，中位数为4 B．中位数为3，众数为5C．平均数为4，方差为1.2 D．中位数为4，方差为1.61．（2024·江西·二模）从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（

）A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.822．（2024·浙江金华·三模）命题P：，，…，的平均数与中位数相等；命题Q：，，…，是等差数列，则P是Q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·陕西西安·二模）有一组样本数据：，，，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，，，2，那么这两组样本数据一定有相同的（

）A．众数 B．中位数C．方差 D．极差4．（2024·陕西榆林·三模）在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（

）A．中位数一定不变，方差可能变大B．中位数可能改变，方差可能变大C．中位数一定不变，方差可能变小D．中位数可能改变，方差可能变小一、单选题1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（

）A．21 B．24 C．27 D．322．（2024·辽宁葫芦岛·二模）设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（

）A．若，则A与B相互独立 B．C． D．A与B有可能是对立事件3．（2024·广东佛山·一模）若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·广东·二模）一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．245．（2024·贵州黔东南·二模）贵州有很多旅游景点，值得推荐的景区是“黄小西吃晚饭”.“黄小西”分别指黄果树、荔波小七孔和西江千户苗寨，“吃晚饭”分别代表其谐音对应的三个景区：赤水国家级风景名胜区、万峰林和梵净山.现有甲、乙两位游客慕名来到贵州，都准备从上面6个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件为“甲和乙至少一人选择黄果树”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则（

）A． B． C． D．6．（2024·江苏·模拟预测）有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（

）A．与为对立事件 B．与为相互独立事件C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件7．（2024·全国·模拟预测）已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为，，，样本平均数分别为，，，样本方差分别为，，，若，则（

）A．B．C．总体样本平均数D．当时，总体方差二、多选题8．（2024·广东广州·模拟预测）已知，，，，，为依次增大的一组数据，则去掉和后，这组数据的（

）一定减小.A．极差 B．下四分位数 C．上四分位数 D．中位数9．（2024·重庆九龙坡·三模）已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（

）A．数据，的平均数为6B．数据，的方差为9C．数据的方差为1D．数据的平均数为510．（2024·山东济南·三模）某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记