解答题03 6类立体几何答题模板-高考数学答题技巧与模板构建

解答题036类立体几何答题模板（线面角、二面角、点面距与体积、动点与存在性问题、范围问题、翻折问题）模板模板01空间中求线面角的答题模板模板02空间中求二面角的答题模板模板03空间中点面距及体积求解的答题模板模板04动点与存在性问题的答题模板模板05范围问题的答题模板模板06翻折问题的答题模板本节导航模板01空间中求线面角的答题模板立体几何中求线面角是高考中的高频考点，需熟练掌握向量法和几何法求角，难度中等偏上，需重点强化练习.直线与平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).直线与平面所成角的几何求法（1）由定义作出线面角的平面角，再求解：

（2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为l）和到平面的距离（设为d),则（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．1．（2024·浙江杭州·三模）如图，已知三棱台，，，点O为线段的中点，点D为线段的中点.

(1)证明：直线平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成线面角的大小.2．（2024·山西·三模）如图三棱锥分别在线段AB，CD上，且满足.(1)求证:平面平面;(2)求AD与平面BCD所成角的正弦值.3．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面底面，点分别是的中点，点在棱上且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.1．（2024·山东聊城·二模）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，，，点在线段上，且．(1)证明：平面；(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．2．（2024·河北·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面.点在侧棱上（端点除外），平面交于点.(1)求证：四边形为直角梯形；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．(1)证明：平面；(2)若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．模板02空间中求二面角的答题模板立体几何中二面角是高考中的高频考点，需熟练掌握向量法和几何法求角，难度中等偏上，需重点强化练习.二面角的向量求法(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．二面角的几何求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。（4）射影面积法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosθ=S（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.1．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．2．（2024·广东·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线交于点.且平面.

(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.3．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知四棱锥中，平面，且.

(1)证明：平面；(2)已知锐二面角的正弦值为，求二面角的余弦值.1．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为，侧棱与底面所成角为，且侧面底面．

(1)证明：点在平面上的射影为的中点；(2)求二面角的正切值．2．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，为三棱锥外一点，且在平面同侧，为等边三角形，且，平面平面.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.3．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面．

(1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．模板03空间中点面距及体积求解的答题模板立体几何中空间距离的求解常常可以转化为点到面的距离的求解，进而转化为对应几何体的高来求解，是高考中的高频考点，需熟练掌握向量法和几何法求点面距；求体积是空间几何的基础，需重点强化练习.1．空间两点间的距离公式若，，则=.2．点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.3．点面距可转化为三棱锥等体积求解（2024·全国·高考真题）如图，，，，,为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到的距离.1．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．2．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．3．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．1．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，已知为锐角三角形，平面平面，，点是的中点．(1)求证：；(2)若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．2．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，为边长为3的正三角形，侧面为正方形，在底面内的射影为点O．

(1)求证：；(2)若，求直线和平面的距离．3．（2021·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.模板04动点与存在性问题的答题模板立体几何中的动点与存在性问题是一类难点问题，需要寻找题干中动点和题设满足的对应条件，从几何法或空间向量法去解决待解问题，需强加练习和重点复习.动点问题和存在性问题一般需结合题设条件建立方程求解（2024·安徽·一模）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，M是的中点，.(1)证明：平面；(2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.1．（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.2．（2024·湖南·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，平面.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.3．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

(1)证明：平面平面；(2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．(3)点是线段CD上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．1．（2024·四川绵阳·模拟预测）在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，．(1)证明：平面平面；(2)是侧棱上一点，记，是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2．（2024·广东广州·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积为，平面与平面的交线为.

(1)求四棱锥的体积，并在答卷上画出交线（注意保留作图痕迹）；(2)若，，且平面平面，在上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.3．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，，，为的中点，点为线段上一动点，且，，.(1)若点为线段的中点，证明：平面；(2)若平面平面，且，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.模板05范围问题的答题模板立体几何中范围问题是一类常考的综合问题，需结合已知条件，找到数量关系求解，难度中上，需强加练习和重点复习.范围问题的求解常涉及到三角函数的值域、基本不等式、函数的性质及导数来求解（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?1．（2024·山东威海·一模）如图，在四棱锥中，平面平面为等边三角形，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.2．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，正四面体棱长为4，，，分别在棱，，上，.(1)求的最小值；(2)求三棱锥体积最大时的面积.1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与BD的交点，已知是等边三角形．(1)求证：；(2)求二面角；(3)若点是线段AD上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角的正弦值最大？求出最大角正弦值，并说明点此时所在的位置．2．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.3．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥中，已知，是的中点．(1)证明：平面；(2)若，设点是上的动点，当与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．模板06翻折问题的答题模板翻折问题在立体几何领域占据着至关重要的位置，它成为许多学生感到困惑和迷茫的难题。由于翻折将立体几何从静态转变为动态，学生们常常难以找到解决问题的切入点。当我们把一个平面图形按照特定要求折叠起来，使其转变为空间图形时，我们便开始探究图形在位置和数量关系上的变化。这便是所谓的翻折问题。常见的翻折问题包括将三角形、四边形等平面图形进行折叠，随后考查立体几何中的垂直、角度、距离以及应用等方面。在处理这类问题时，我们必须掌握空间立体几何的基本概念和定理，并且在翻折过程中特别留意保持某些量的恒定性，例如角度和距离等。（2024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．

(1)求证：图2中的平面平面；(2)在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．1．（2024·河北承德·二模）如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.

(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.2．（2024·河南濮阳·模拟预测）如图所示，在等腰梯形中，，，，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面）．(1)求证：平面平面PBC；(2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面所成角的正弦值为，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由．3．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，，垂足为，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.

(1)设平面与平面的交线为，证明：.(2)在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.1．（2024·全国·二模）如图1，中，分别是线段上的动点，且，将沿折起至，如图2，在四棱锥中，为的中点，且平面.(1)证明：；(2)若为线段上一点，若平面与平面的夹角为，求直线与平面所成角的正弦值.2．（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.

(1)求证：平面；(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.3．（2024·湖北·一模）如图，在平行四边形中，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥为上一动点.

(1)若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面；(2)若，①证明：平面平面；②记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离.1．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．2．（2024·广东汕头·三模）如图，四面体中，是的中点，，(1)求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；(2)求点E到平面ACD的距离.3．（2024·浙江金华·一模）如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.4．（2024·安徽合肥·一模）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.5．（2024·江西·一模）如图，在三棱锥中，．

(1)证明：平面平面；(2)若是线段上的点，且，求二面角的正切值．6．（2024·河南·模拟预测）在直三棱柱中，，为的中点.(1)若，，求的长；(2)若，，求二面角的平面角的正切值.7．（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形，，，，为对角线与BD的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示：(1)证明：平面PBM；(2)求三棱锥体积的最大值；(3)当三棱锥的体积最大时，求直线AB与平面所成角的正弦值．8．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．(1)证明：平面平面；(2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．9．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证