湘教 九年级 下册 数学 第2章 学情评估

第2章学情评估时间:120分钟满分:120分一、单选题(每题3分，共30分)1．下列说法正确的是()A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦C．弧是半圆 D．三点确定一个圆2．已知⊙O的半径为9cm，若OA＝10cm，则点A与⊙O的位置关系是()A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内 D．不能确定3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为()A．100° B．90° C．80° D．50°4．如图，半圆的半径为6，将三角尺的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，连接AB，则AB的长为()A．3 B．12 C．2eq\r(3) D．65．已知圆内接正六边形的半径为2eq\r(3)，则该内接正六边形的边心距为()A．eq\r(3) B．2eq\r(3) C．3 D．eq\f(\r(3),2)6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是半圆的两个三等分点，弦CE⊥AB于点F，若⊙O的半径为4，则弦CE的长为()A．2 B．2eq\r(3) C．4 D．4eq\r(3)7．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为()A．(－1，－1) B．(－2，－1)C．(－1，－2) D．(－2，－2)8．如图是一个钟表表盘(⊙O)，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的⊙O的切线于点P，若表盘的半径长为eq\r(3)，则切线长PC为()A．3 B．2 C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)9．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是()A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm210．如图，在正方形ABCD中，边长AD＝2，分别以A，D为圆心，线段AD的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为()A．eq\f(4,3)π－eq\r(3) B．eq\f(4,3)π－2eq\r(3)C．eq\f(2,3)π D．π－eq\r(3)二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在________号区域．(填序号)12．在社会实践活动中，小明同学用一个半径为12cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转120°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______cm.13．古希腊数学家曾给出一个估算地球周长(或子午圈长)的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km.当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是7.2°.由此估算地球周长约为________km.14．如图，P是直线y＝－x＋4上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为____________．15．如图，点O是△ABC的外心，连接OA，OB，若∠OBA＝20°，则∠AOB的度数为____________．16．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的周长为________．17．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO，延长AO交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的度数是__________．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y＝eq\f(4eq\r(3),x)(x>0)的图象上，连接OA交⊙A于点C，且C为OA中点，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.求证：△ABC是等边三角形．20．(8分)如图，AB是⊙O的弦，C，D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.21．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A.(1)若点B，D，C均在⊙A外，求r的取值范围；(2)若以AB为半径作⊙A，交BC于点M，求CM的长．22．(9分)如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若BC＝2，求BD的长．23．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P.(1)求证：AP＝AC；(2)若AC＝3，求PC的长．24．(8分)如图，在破损车轮上有三根固定杆AB，BC，AC.(1)画出该破损车轮所在圆的圆心(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)若eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，固定杆BC＝16,AB＝10，求车轮的半径．25．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC上，经过A，B，E三点的⊙O交BC于点D，且D是eq\o(BE,\s\up8(︵))的中点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；(3)当∠CAB为锐角时，试探索∠CAB与∠EBC的关系，并说明理由．26．(10分)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究．如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°；(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．当点B在该区域内最低位置时，点A距地面的距离AD最小，此时测得cos∠BAD＝eq\f(3,5).已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，则AD的最小值为________．

答案一、1．B2．A3．A4．D5．C6．D7．C8．B9．C10．A方法点睛：如图，设两弧的交点为E，连接AE，DE，易得△AED是等边三角形，求出扇形AED的面积，扇形DAE的面积，△AED的面积，则S扇形AED－S△AED＋S扇形DAE的值，即为阴影部分的面积．二、11．③12．8π13．40000点拨：设地球的半径是rkm，地心用字母O表示．∵太阳光线是平行的，∴∠AOB＝α＝7.2°，∵eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为800km，∴eq\f(7.2πr,180)＝800，∴πr＝20000，∴2πr＝40000，即地球周长约为40000km.14．(3，1)或(5，－1)15．140°16．1617．35°点拨：如图，连接OE，OD，OB，设OB与DE交于点H，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AO，BO分别是∠CAB，∠CBA的平分线，∴∠OAB＝eq\f(1,2)∠CAB，∠OBA＝eq\f(1,2)∠CBA，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB＋∠CBA＝180°－∠ACB＝110°，∴∠OAB＋∠OBA＝eq\f(1,2)∠CAB＋eq\f(1,2)∠CBA＝eq\f(1,2)(∠CAB＋∠CBA)＝55°，∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝125°.∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，∴BD＝BE.又∵OD＝OE，∴OB是DE的垂直平分线，∴∠OHF＝90°，∴∠AFD＝∠AOB－∠OHF＝125°－90°＝35°.18．2eq\r(3)－eq\f(2π,3)点拨：如图，连接AB，BC，则AB⊥OB.∵反比例函数的表达式为y＝eq\f(4\r(3),x)(x>0)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)＝2eq\r(3).在Rt△AOB中，∵C为OA的中点，∴BC＝AC.又∵AB＝AC，∴BC＝AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°.设AB＝x，则OB＝eq\f(2S△AOB,AB)＝eq\f(4\r(3),x).在Rt△AOB中，∵OB＝AB·tan∠BAC，∴eq\f(4\r(3),x)＝eq\r(3)x，解得x＝2，即AB＝2.∴S扇形ABC＝eq\f(60π×22,360)＝eq\f(2,3)π.∴阴影部分的面积为S△AOB－S扇形ABC＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).三、19．证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形．20．证明：作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BH.∵OC＝OD，OH⊥AB，∴CH＝DH，∴CH－AH＝DH－BH，即AC＝BD.21．解：(1)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝eq\r(102－62)＝8.∵D是BC的中点，∴AD＝eq\f(1,2)BC＝5.∵点B，D，C均在⊙A外，∴0＜r＜5.(2)过点A作AH⊥BC于点H，则S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)BC·AH，∴AH＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(6×8,10)＝eq\f(24,5).在Rt△ABH中，根据勾股定理，得BH＝eq\r(AB2－AH2)＝eq\f(18,5)，根据垂径定理，得BH＝MH.∴CM＝BC－2BH＝10－eq\f(18,5)×2＝eq\f(14,5).22．(1)证明：连接OB，则OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOC＋2∠OBC＝180°.∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＋∠OBC＝90°.∵BC＝CD，∴∠D＝∠CBD.∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBD，∴∠CBD＋∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD.又∵OB为⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线．(2)解：由(1)知∠OBC＋∠CBD＝90°，∴∠BOC＋∠D＝90°.∵∠D＝∠CBD，∴∠OBC＝∠BOC，∴OC＝BC.又∵OB＝OC，∴OC＝BC＝OB，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°.∵BC＝2，∴OB＝2，∴在Rt△OBD中，BD＝OB·tan60°＝2eq\r(3).23．(1)证明：连接OA.根据题意，得∠OAP＝90°.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.∴∠P＝∠AOC－∠OAP＝120°－90°＝30°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°.∴∠P＝∠OCA，∴AP＝AC.(2)解：∵AC＝3，∴AP＝AC＝3.∵∠OAP＝90°，∠P＝30°，∴易得OA＝eq\r(3)，OP＝2eq\r(3)，∴OC＝eq\r(3).∴PC＝OP＋OC＝3eq\r(3).24．解：(1)如图，点O为所求作的圆心．(2)如图，连接AO，OB，OC，设BC交OA于点D.∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴AB＝AC.又∵OB＝OC，∴OA垂直平分BC，∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC.∵BC＝16，∴BD＝8.∵AB＝10，∴根据勾股定理，得AD＝eq\r(AB2－BD2)＝6.设车轮的半径为R，则在Rt△BOD中，R2＝82＋(R－6)2，解得R＝eq\f(25,3)，∴车轮的半径为eq\f(25,3).25．(1)证明：如图，连接AD.∵D是eq\o(BE,\s\up8(︵))的中点，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AB＝AC，∴AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB是⊙O的直径．(2)解：如图，连接OE，过点O作OH⊥BE，交BE于点H.∵∠C＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BOE＝120°，∴∠AOE＝60°，∴∠OBE＝eq\f(1,2)∠AOE＝30°.∵AB＝8，∴OA＝OB＝4.∴易得OH＝2，BE＝4eq\r(3).∴S阴影＝S扇形OA