常州卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

2025年中考第一次模拟考试数学试卷常州卷注意事项：1．考试时间：120分钟，试卷满分：120分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．-2025的倒数为（

）A．-2025 B．2025 C． D．2．二次根式有意义的条件是（

）A． B． C． D．3．下列各式中，计算结果是的是（

）A． B． C． D．4．如图是由4个小正方体组成的几何体，从正面看的平面图是（

）A．B．C．D．5．有理数、、在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（

）A． B． C． D．6．“月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值．数据“”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．7．如图，建筑工人砌墙时，经常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这样做依据的数学道理是（

）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离8．如图1，汽车行驶时，发动机的温度会升得很高，利用防冻冷却液在散热器管道内循环流动，将发动机多余热量带走，能使发动机以正常工作温度运转．防冻冷却液主要由水和不易汽化、密度比水小的某种防冻剂（简称原液）混合而成，防冻冷却液的凝固点和沸点与原液含量的关系图象如图2和图3所示（选用时，防冻冷却液的凝固点应低于环境最低温度10及以下，而沸点一般要高于发动机最高工作温度5及以上）．阅读以上信息，则下列说法中正确的是（

）A．当原液含量逐渐增大时，防冻冷却液的凝固点逐渐降低，沸点逐渐升高B．当防冻冷却液凝固点为时，原液含量约为C．若某品牌汽车的发动机工作温度为，所在地区最低温度为，则选用原液含量为的防冻冷却液较合适D．原液含量低于时，其凝固点一直随原液含量的增大而升高第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）9．实数的算术平方根是．10．因式分解：．11．计算：．12．某弹簧的自然长度为13厘米，在弹性限度内，所挂物体质量每增加1千克的重物时弹簧长度增加0.5厘米，那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的关系式为．13．如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为（0,2），点的坐标为（1,0）．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为．14．甲、乙两地1月份连续五天的日平均气温如下表（单位：℃）．第1天第2天第3天第4天第5天甲地气温1211121012乙地气温040则甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为：．（用“>”“<”或“=”填空）15．如图，在中半径互相垂直，点在劣弧上．若，则为°．16．如图，在中，，若，则的值为．17．如图，点在等边的内部，且，，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的值为．18．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．（1）连接，的长为；（2）a的取值范围是．三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）化简：；（2）解分式方程：．20．（6分）解不等式组：．21．（8分）清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息：a．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品；b．二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表．词语频数人数春风东风清风悲风秋风北风李白7224286268杜甫1946103014注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷．根据所给信息，回答下列问题：（1）补全条形图；（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是______；（3）下列推断合理的是______．①相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见；②李白更常用“风”表达喜悦，而杜甫更常用“风”表达悲伤．22．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．（1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；（2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率（可用A，B，C，D表示）．23．（8分）如图，平分，垂足分别为点．（1）求证：；（2）如果，，求的长度．24．（8分）如图，点反比例函数的图象经过，两点，连接，，过点B作轴，交于点，若为的中点，且点坐标为．（1）求的值；（2）连接并延长，交轴于点，求点的坐标；（3）连接，求的面积．25．（8分）有一块长，宽的矩形铁皮．（1）如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．（2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________cm．26．（10分）【材料阅读】材料一：在平面直角坐标系中，对两点和，定义两点间距离：．材料二：数学课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，，，求的最小值．经过思考后，小明提出了自己的想法：延长到点D，使得，则，连接…．

【概念理解】（1）①已知点，则______．②函数的图象如图2所示，点B在图象上，，点B的坐标是_______．（2）材料二中，的最小值为______．【新知应用】结合材料一和材料二，完成下列问题：（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知菱形，若点M在菱形边上，且．请利用无刻度直尺和圆规在图中作出满足条件的点M．（不写作法，保留作图痕迹）（4）如图4，已知点，点，直线经过点M，原点关于直线的对称点为，直接写出取值范围．

27．（10分）综合与探究如图，在平行四边形中，分别是边，上的点，与交于点．（1）【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是________；（2）【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．思路一思路二如图，在边上取一点使，……如图，在的延长线上取一点使，，……（3）【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值；（4）【联系拓广】如图（d），在平行四边形中，，，，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为60°时，请直接写的长．28．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过A0,3，两点，点为轴右侧抛物线上不与点重合的一动点，作轴于点，交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接，当点在上方，时，求点的坐标．（3）令．①求关于的函数解析式；②当时，请直接写出的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．-2025的倒数为（

）A．-2025 B．2025 C． D．【答案】D【分析】本题考查了倒数的求解，根据乘积是1的两个数互为倒数，求出结果即可．【详解】解：，的倒数是，故选：D．2．二次根式有意义的条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，即可求解．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，∴，故选：B．3．下列各式中，计算结果是的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【详解】解：A、不是同类项不能合并，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．4．如图是由4个小正方体组成的几何体，从正面看的平面图是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了从不同方向看几何体，需要具备一定的空间想象能力和分析能力．根据从正面看得到的图形判断即可．【详解】从正面看的平面图是．故选：D．5．有理数、、在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的减法运算等知识，根据数轴可得，，再根据有理数的减法运算法则，相反数的定义等求解即可．【详解】解∶由数轴知∶，，∴，，故选：D．6．“月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值．数据“”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：用科学记数法表示为，故A正确．故选：A．7．如图，建筑工人砌墙时，经常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这样做依据的数学道理是（

）A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线C．垂线段最短 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离【答案】B【分析】本题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线即可得解，熟练掌握直线的性质是解此题的关键．【详解】解：建筑工人砌墙时，经常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这样做依据的数学道理是两点确定一条直线，故选：B．8．如图1，汽车行驶时，发动机的温度会升得很高，利用防冻冷却液在散热器管道内循环流动，将发动机多余热量带走，能使发动机以正常工作温度运转．防冻冷却液主要由水和不易汽化、密度比水小的某种防冻剂（简称原液）混合而成，防冻冷却液的凝固点和沸点与原液含量的关系图象如图2和图3所示（选用时，防冻冷却液的凝固点应低于环境最低温度10及以下，而沸点一般要高于发动机最高工作温度5及以上）．阅读以上信息，则下列说法中正确的是（

）A．当原液含量逐渐增大时，防冻冷却液的凝固点逐渐降低，沸点逐渐升高B．当防冻冷却液凝固点为时，原液含量约为C．若某品牌汽车的发动机工作温度为，所在地区最低温度为，则选用原液含量为的防冻冷却液较合适D．原液含量低于时，其凝固点一直随原液含量的增大而升高【答案】B【分析】本题考查了函数图象，从函数图象中正确获取信息是解题关键．根据图2和图3函数图象的变化即可判断选项A错误；根据图2的函数图象即可判断选项B正确；分别根据发动机工作温度和所在地区最低温度确定原液含量，由此即可判断选项C错误；根据图2的函数图象即可判断选项D错误．【详解】解：A、当原液含量逐渐增大时，防冻冷却液的凝固点先降低，再升高，沸点逐渐升高；则此项错误，不符合题意；B、当防冻冷却液凝固点为时，原液含量约为，则此项正确，符合题意；C、根据汽车的发动机工作温度可知，应该选用原液含量大于的防冻冷却液；根据所在地区最低温度可知，应该选用原液含量大于的防冻冷却液；综合来看，选用原液含量为的防冻冷却液较合适，则此项错误，不符合题意；D、由图2可知，原液含量低于时，其凝固点一直随原液含量的增大而降低；则此项错误，不符合题意；故选：B．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）9．实数的算术平方根是．【答案】【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键；根据算术平方根的定义即可求出结果．【详解】解：；故答案为：10．因式分解：．【答案】【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题关键．先提出公因式，再根据平方差公式分解即可．【详解】原式．故答案为：．11．计算：．【答案】3【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，正确变形再求值即可．【详解】解：，故答案为：．12．某弹簧的自然长度为13厘米，在弹性限度内，所挂物体质量每增加1千克的重物时弹簧长度增加0.5厘米，那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的关系式为．【答案】【分析】本题考查列函数关系式，根据弹簧的总长度等于原长加上伸长的长度，列出函数关系式即可．【详解】解：由题意，得：；故答案为：13．如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为．【答案】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键；先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，，据此可得第二象限内的坐标．【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴，，∵四边形是矩形，∴，，，∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限，∴，，，∴点的坐标为，故答案为：．14．甲、乙两地1月份连续五天的日平均气温如下表（单位：℃）．第1天第2天第3天第4天第5天甲地气温1211121012乙地气温040则甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为：．（用“>”“<”或“=”填空）【答案】<【分析】本题考查方差，掌握方差的计算方法是解题的关键．先求出甲、乙地的平均气温，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案．【详解】解：甲地的平均气温：；乙地的平均气温：；∵甲地的方差是：；乙地的方差是：；∴．故答案为：＜．15．如图，在中半径互相垂直，点在劣弧上．若，则为°．【答案】29【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，，然后问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：∵半径互相垂直，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为29．16．如图，在中，，若，则的值为．【答案】/【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得，则，由，证明，得，进而可求出的值．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，故答案为：．17．如图，点在等边的内部，且，，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的值为．【答案】/【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理，连接，如图，先利用旋转的性质得，则可判定为等边三角形得到，再证明得到，接着利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后根据正弦的定义求解．【详解】解：连接，如图，∵线段绕点C顺时针旋转得到，∴，∴为等边三角形，∴，∵为等边三角形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴为直角三角形，，∴．故答案为：．18．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．（1）连接，的长为；（2）a的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键．（1）正方形的两个相对的顶点，分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部（包括边界），点，分别是正六边形的顶点．（2）当正方形的顶点、、、在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：如图，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，，则，，是正六边形的一条对角线，，在中，，，，，故答案为：；如图①，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，，，如图②，当正方形的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长的值最大，是正方形的对角线，设时，正方形的边长最大，，，设直线的解析式为，，，，，直线的解析式为，将代入得，此时，取最大值，，正方形边长的取值范围是：．故答案为：．三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）化简：；（2）解分式方程：．【答案】（1）；（2）【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）首先利用平方差公式和完全平方公式求解，然后合并即可；（2）先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．【详解】解：（1）原式

．

（2）方程两边乘以得：．

移项得：．解得：．

检验：当时，．

所以原分式方程的解为．20．（6分）解不等式组：【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表示在数轴上即可得出答案．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，将不等式①和②的解集分别表示在数轴上：由数轴可知，不等式组的解集为，∴不等式组的解集为：．21．（8分）清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息：a．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品；b．二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表．词语频数人数春风东风清风悲风秋风北风李白7224286268杜甫1946103014注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷．根据所给信息，回答下列问题：（1）补全条形图；（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是______；（3）下列推断合理的是______．①相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见；②李白更常用“风”表达喜悦，而杜甫更常用“风”表达悲伤．【答案】（1）见解析（2）春风；12；秋风（3）①②【分析】本题考查的是条形统计图，频数（率分布图和用样本估计总体，熟练掌握各种统计图及统计分析数据的计算方法是解题的关键．（1）根据二人作品中与“风”相关的词语频数统计表即可补全条形统计图；（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；用春风出现的频数，即可得到答案；杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语；（3）先求出与“风”相关的词语在李白的诗歌中的占比，再求出与“风”相关的词语在杜甫的诗歌中的占比，两者进行比较，即可得出答案．【详解】（1）解：补全条形图如图．（2）解：由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；（首）；杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语，即秋风；故答案为：春风；12；秋风；（3）解：①与“风”有关的词语在李白的诗歌中占，②而在杜甫的诗歌中占．由于，所以相比较杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见，故①推断合理；李白常用的“风”是“春风”，表达喜悦，而杜甫常用的“风”是“秋风”，表达悲伤，故②推断合理．22．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．（1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；（2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率（可用A，B，C，D表示）．【答案】（1）不可能（2）【分析】本题考查了事件的分类，用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可；【详解】（1）解：根据题意“通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色”可得结果变绿色是不可能事件；故答案为：不可能．（2）解：列表如下；由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色有，共2种结果，所以两瓶溶液恰好都变红色的概率为．第2瓶第1瓶ABCDA

B

C

D

23．（8分）如图，平分，垂足分别为点．（1）求证：；（2）如果，，求的长度．【答案】（1）见解析（2）4【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．（1）证明，，进而证明，即可得证；（2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：平分，，，，；在和中，，，；（2）解：由（1）可知，平分，，，，∵，，，，，∵在中，，，．24．（8分）如图，点反比例函数的图象经过，两点，连接，，过点B作轴，交于点，若为的中点，且点坐标为．（1）求的值；（2）连接并延长，交轴于点，求点的坐标；（3）连接，求的面积．【答案】（1）8（2）（3）6【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合熟练掌握待定系数法．（1）根据中点坐标求出点C的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值即可；（2）先求出点，再求出直线表达式为：，求出当时，，求出点；（3）根据求出结果即可．【详解】（1）解：∵点为，是的中点，∴点为，∴（2）解：∵，∴，∵轴，点为，∴把代入得：，∴，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，当时，，解得，∴；（3）解：．25．（8分）有一块长，宽的矩形铁皮．（1）如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．（2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________．【答案】（1）截去的小正方形的边长；（2）．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据长方形的面积公式列一元二次方程求出边长．设正方形的边长为，根据长方体盒子的底面积为，列一元二次方程求解，要把不符合题意的解舍去；设左侧阴影正方形的边长为，根据盒子的底面积为为，列一元二次方程求出阴影正方形的边长，再求出盒子底面的长和宽，从而可以求出右侧阴影长方形的长，根据长方形的面积公式求出边角料的面积．【详解】（1）解：设正方形的边长为，根据题意可得：，整理得：，分解因式得：，解得：，（舍去），答：裁去的正方形的边长为；（2）解：设左侧阴影正方形的边长为，根据题意可得：，整理得：，分解因式得：，解得：，（舍去），盒子的底面宽为，长为，右侧阴影长方形的长为，裁剪下来的边角料面积为，故答案为：．26．（10分）【材料阅读】材料一：在平面直角坐标系中，对两点和，定义两点间距离：．材料二：数学课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，，，求的最小值．经过思考后，小明提出了自己的想法：延长到点D，使得，则，连接…．

【概念理解】（1）①已知点，则______．②函数的图象如图2所示，点B在图象上，，点B的坐标是_______．（2）材料二中，的最小值为______．【新知应用】结合材料一和材料二，完成下列问题：（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知菱形，若点M在菱形边上，且．请利用无刻度直尺和圆规在图中作出满足条件的点M．（不写作法，保留作图痕迹）（4）如图4，已知点，点，直线经过点M，原点关于直线的对称点为，直接写出取值范围．

【答案】（1）①3；②或；（2）；（3）作图见解析；（4）【分析】（1）①由定义即可求解；②由题意可设，则由定义得到，再解方程即可；（2）当时，最小，，解即可；（3）过点B作轴，垂足为点，在点右侧轴上截取，连接并延长与菱形边的交点即为点，则，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，故，进而证明，，即可得出；（4）由对称得：，则，取的中点，则，则，确定点轨迹为以为直径的圆，圆心记作，显然，在轴上取点，使得，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，故，那么当与相切于左侧时，最大，即最大，即最大，过作轴于，再利用勾股定理以及解直角三角形即可求解，则，而当点与点重合时，最小，过点作交延长线于点，在中，由勾股定理得：，那么，则此时，故，则，即可求出取值范围．【详解】解：（1）①由题意得，故答案为：3；②由题意可设，∵，∴，∴，解得：或，经检验，均是方程的解，∴或，故答案为：2,3或；（2）当时，最小，如图：

∵，∴，∴在中，，故答案为：；（3）如图，点M即为所求：

过点B作轴，垂足为点，在点右侧轴上截取，连接并延长与菱形边的交点即为点，∵，∴，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，∴，∵，而∴；（4）由对称得：，即为中点，∴，取的中点，则，∵，，∴，∵，∴点轨迹为以为直径的圆，圆心记作，∵，则，在轴上取点，使得，过点作轴于点，

则为等腰直角三角形，∴，∴∴当与相切于左侧时，最大，即最大，即最大，如图：过作轴于，如图：

∵与相切，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，则，∴，∴在等腰中，∵，，∴，∴，∴，∴∵，∴当点与点重合时，最小，过点作交延长线于点，如图：

∵，，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴此时，∴，则，所以．【点睛】本题考查了新定义，涉及解直角三角形，圆的切线的性质，两点间距离公式，垂线段最短，反比例函数的图象与性质等知识点，难度较大，正确理解题意，进行转化是解题的关键．27．（10分）综合与探究如图，在平行四边形中，分别是边，上的点，与交于点．（1）【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是________；（2）【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．思路一思路二如图，在边上取一点使，……如图，在的延长线上取一点使，，……（3）【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值；（4）【联系拓广】如图（d），在平行四边形中，，，，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为60°时，请直接写的长．【答案】（1）[特例感知]（2）[深入探究]思路一：，证明见详解；思路二：，证明见详解（3）[例比迁移]（4）[联系拓广]的长为或【分析】（1）[特例感知]根据正方形的性质可得，当时，即，可得，可证，由此即可求解；（2）[深入探究]思路一：四边形是菱形，可得，，根据是三角形的外角，，可证，如图，在边上取一点使，则，可证，由此可证，即可求解；思路二：由思路一可得，在的延长线上取一点使，，可得，可证，由此即可求解；（3）[例比迁移]如图所示，连接BD交于点，可得是等边三角形，，可证，得到，再证，可得，，即，由此即可求解；（4）[联系拓广]根据题意，分类讨论：第一种情况，直线与直线所夹的锐角时，如图所示，连接，过点作延长线于点，运用勾股定理分别得到，，过点作于点，，求出，证明，得到的值，再证明，得