优化方法第1章第1-2节学习资料

2025/3/22最优化方法1最优化方法授课教师：王艳秋生物数学教研室wangyq16@163.com2025/3/22最优化方法2举例例1：对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？解设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与此相应的水槽容积为要使其最大，则令得两个驻点：因此，每个角剪去边长为的正方形可使所制成的水槽容积最大．

2025/3/22最优化方法3举例例2：某单位拟建一排四间的车库，平面位置如图所示．由于资金及材料的限制，围墙和隔墙的总长度不能超过40m，为使车库面积最大，应如何选择长、宽尺寸？x2x1图1.12025/3/22最优化方法4举例解：设四间车库长为，宽为.由题意可知面积为且变量，应满足即求 2025/3/22最优化方法5举例例3.（混合饲料配合）以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：2025/3/22最优化方法6配料每磅配料中的营养含量(%)钙蛋白质纤维每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.000.0010.090.020.0020.500.080.01640.04630.1250举例2025/3/22最优化方法7举例解:设x1,x2,x3

是生产100磅混合饲料所需的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。第1章基本概念1.1最优化问题简介1.2凸集和凸函数1.3最优性条件1.4

最优化方法概述2025/3/22最优化方法82025/3/22最优化方法9第1章基本概念

1.1最优化问题简介（一）最优化（optimization

）的定义所谓最优化就是在众多可行的方案或方法中找到最好的方案和方法。最优方案就是达到最优目标的方案。最优化方法就是搜寻最优方案的方法。

2025/3/22最优化方法10（二）最优化问题的数学模型实际问题—建立模型—分析求解模型—检验并评价模型求得最优解1.1最优化问题简介重点2025/3/22最优化方法111.1最优化问题简介建立最优化问题数学模型的三要素：

（1）决策变量。决策变量是由数学模型的解确定的未知量。（2）约束或限制条件。由于现实问题的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。（3）目标函数。优化问题决策变量的一个数学函数，它用来衡量优化问题的效率，即优化问题追求的目标。2025/3/22最优化方法12模型的转换1、2、1.1最优化问题简介2025/3/22最优化方法131.1最优化问题简介最优化问题的划分（根据不同的性质对最优化有不同的划分）：2025/3/22最优化方法141.1最优化问题简介2025/3/22最优化方法151.1最优化问题简介（三）基本概念1.约束最优化问题（1.1.1）是最优化问题的一般数学表现形式。只要在问题中存在任何约束条件，就称为约束最优化问题。2025/3/22最优化方法161.1最优化问题简介（1）等式约束最优化（2）不等式约束最优化（3）混合约束最优化：既有等式约束又有不等式约束的最优化问题。2025/3/22最优化方法171.1最优化问题简介2.无约束最优化如果问题中无任何约束条件，则称为无约束最优化问题。其数学模型为3.离散最优化

最优化模型中决策变量的取值为离散的最优化问题。4.连续最优化

最优化模型中决策变量的取值为连续的最优化问题。2025/3/22最优化方法181.1最优化问题简介5.光滑最优化连续最优化模型中函数为光滑的最优化问题。即模型（1.1.1）中所有函数都是连续可微的。只要有一个函数非光滑的，则称为非光滑最优化。6.线性规划2025/3/22最优化方法191.1最优化问题简介线性规划问题的一般形式为：2025/3/22最优化方法201.1最优化问题简介线性规划问题的矩阵表示：2025/3/22最优化方法211.1最优化问题简介7.二次规划问题（它为非线性规划问题）2025/3/22最优化方法221.1最优化问题简介8.非线性最优化

模型（1.1.1）中的函数中有一个关于x是非线性的，就称为非线性最优化问题。9.可行点（feasiblepoint）10.可行域（feasibleregion）所有可行点的全体称为可行域。2025/3/22最优化方法231.1最优化问题简介11、有效约束（activeconstraint）和无效约束（inactiveconstraint）2025/3/22最优化方法24例1.11.1最优化问题简介2025/3/22最优化方法251.1最优化问题简介13、有效集在一个可行点，所有有效约束的全体被称为该可行点的有效集，记为14、可行域的内点15、可行域的边界不是内点的可行点称为可行域的边界点2025/3/22最优化方法261.1最优化问题简介15、最优解、严格最优解2025/3/22最优化方法271.1最优化问题简介16、局部最优解、严格局部最优解则称x*为最优化问题（1.1.1）的局部最优解，如果不等式严格成立，则称为严格局部最优解。2025/3/22最优化方法281.1最优化问题简介例1.2下图中的决策变量哪些是局部极小解，哪些是严格局部极小解？2025/3/22最优化方法291.1最优化问题简介17、凸规划如果最优化问题的目标函数是凸的，可行域是凸集，则问题的任何最优解（不一定唯一）必是全局最优解，这样的最优化问题称为凸规划。重点2025/3/22最优化方法301.2凸集和凸函数（一）凸集1、凸集的定义重点2025/3/22最优化方法312、凸集的例子1.2凸集和凸函数2025/3/22最优化方法323、凸集的性质1.2凸集和凸函数2025/3/22最优化方法331.2凸集和凸函数2025/3/22最优化方法341.2凸集和凸函数2025/3/22最优化方法35证明：（归纳法）由凸集的定义知当m=2显然成立，假设当m=k时成立，验证当m=k+1时成立。1.2凸集和凸函数2025/3/22最优化方法361.2凸集和凸函数2025/3/22最优化方法371.2凸集和凸函数（二）凸函数1、定义重点2025/3/22最优化方法381.2凸集和凸函数2025/3/22最优化方法391.2凸集和凸函数问题：什么样的F是凸集，什么样的函数是凸函数呢？重点2025/3/22最优化方法4