四川省雅安市2024年中考数学试卷含真题解析

四川省雅安市2024年中考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2024的相反数是（）A．2024 B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得2024的相反数是-2024，

故答案为：B

【分析】根据相反数的定义结合题意即可得到2024的相反数。2．计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：（1-3）0=（-2）0=1.故答案为：C.【分析】根据0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可求解.3．下列几何体中，主视图是三角形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，此选项符合题意；

B、圆柱的主视图是矩形，此选项不符合题意；

C、三棱柱的主视图是长方形，此选项不符合题意；

D、正方体的主视图是正方形，此选项不符合题意.故答案为：A.【分析】根据主视图的特点依次判断即可求解.4．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵a和3b不是同类项，∴a与3b不能合并，即a+3b≠4ab，此选项不符合题意；

B、原式=a6≠a5，此选项不符合题意；

C、原式=a5≠a6，此选项不符合题意；

D、原式=a4，此选项符合题意.故答案为：D.【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a和3b不是同类项，所以不能合并；

B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；

C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；

D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.5．如图，直线，交于点，于，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵OE⊥AB于O，

∴∠AOE=90°，

∵∠1=35°，

∴∠AOC=90°-35°=55°，

∴∠2=∠AOC=55°.故答案为：A.【分析】由垂直的定义可得∠AOE=90°，由角的构成∠AOE=∠1+∠AOC并结合已知可求得∠AOC的度数，然后根据对顶角相等可求解.6．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：，

不等式①的解集为：x≥2，不等式②的解集为：x＜6，

∴不等式组的解集为：2≤x＜6.

故答案为：C.【分析】由题意先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集；在数轴上表示解集时，再根据“＜”空心向左、“≥”实心向右即并结合各选项可判断求解.7．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位后，得到的点关于轴的对称点坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵将点P（1，-1）向右平移2个单位，

∴平移后的坐标为（3，-1），

∴得到的点P1关于轴的对称点坐标为（3，1）.故答案为：B.【分析】根据平移的性质求出点P平移后的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“纵坐标变为原来的相反数、横坐标不变”即可求解.8．如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为（）A． B． C． D．【答案】B9．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中名同学的成绩单位：分分别为：，，，，，，，关于这组数据，下列说法中正确的是（）A．众数是 B．中位数是C．平均数是 D．方差是【答案】D【解析】【解答】解：把已知的数据从小到大依次排列为：81、82、82、83、85、86、89、92，

A、出现次数最多的数据是82，所以这组数据的众数为82；此选项不符合题意；

B、∵第四和第五个数据为83和85，

∴这两个数的平均数为：，即中位数为84；此选项不符合题意；

C、平均数为：=85，此选项不符合题意；

D、S2=[]=13，此选项符合题意.故答案为：D.【分析】由题意，将这组数据从小到大依次排列，众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；根据众数、中位数、平均数、方差的定义并结合题意即可判断求解.10．已知则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵，

∴ab=a+2b，

∴

=

=2.故答案为：C.【分析】由题意，先将已知的等式去分母可得：ab=a+2b，代入所求代数式化简即可求解.11．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度如图，他们在处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进米至处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为人的身高忽略不计（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】【解答】解：设CD=x米，

在Rt△BCD中，∠DBC=60°，

tan∠DBC=tan60°=，∴BC=，

∵AB=50米，

∴AC=AB+BC=50+，

在Rt△ACD中，∠DAC=30°，

tan∠DAC=tan30°=，

解得：x=25.

故答案为：A.【分析】设CD=x米，在Rt△BCD中，由锐角三角函数tan∠DBC=可将BC用含x的代数式表示出来，由线段的构成AC=AB+BC将AC用含x的代数式表示出来，在Rt△ACD中，由锐角三角函数tan∠DAC=可得关于x的方程，解方程即可求解.12．已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（）；抛物线的顶点坐标为；；若，则．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】【解答】解：①∵ax2+bx+c=0有两实数根x1=-1，x2=3，

∴，

由②-①得：8a+4b=0，

∴2a+b=0，故结论①正确，符合题意；

②由①得：2a+b=0，即b=-2a，

∴抛物线的对称轴为：直线x=，

∴抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），

∵b=-2a，a-b+c=0，

∴a-(-2a)+c=0，即a=，b=

则a+b+c=++c=，

∴抛物线的顶点坐标为（1，），故结论②正确，符合题意；

③由②知：3a+c=0，

∴c=-3a，

而b=-2a，abc＞0，

∴abc=a(-2a)(-3a)=6a3＞0，

∴a＞0，故结论③错误，不符合题意；

④∵m(am+b)＜4a+2b，

∴am2+bm+c＜4a+2b+c，

∴函数y=ax2+bx+c，当x=m时的函数值小于x=2时的函数值；

由③知：a＞0，

由②知：抛物线的对称轴为直线x=1，

而抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，

∴，

解得：0＜m＜2，故结论④错误，不符合题意；

综上可得，正确的有①②，共2个.

故答案为：B.

【分析】①、由题意把x=-1和x=3代入一元二次方程可得，将两个方程相减并整理即可求解；

②、结合①的结论可得抛物线的对称轴为直线x=1，于是可得抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），根据一元二次方程的一个解为x=-1可得a-b+c=0，结合①的结论b=-2a可将a、b用含c的代数式表示出来，代入a+b+c整理即可求解；

③、由②的结论可得c=-3a，①的结论b=-2a，结合题意abc＞0即可判断求解；

④、根据已知的不等式两边同时加c可知：函数y=ax2+bx+c，当x=m时的函数值小于x=2时的函数值；根据抛物线的开口方向可得抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，于是可得关于m的不等式，解之可求解.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。13．要使式子有意义，则的取值范围是．【答案】【解析】【解答】解：要使式子有意义，只需使x-1≥0，

解得：x≥1.故答案为：x≥1.【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解之即可求解.14．将，，，，，这个数分别写在张同样的卡片上，从中随机抽取张，卡片上的数为有理数的概率是．【答案】【解析】【解答】解：在-2，，π，0，，3.14这6个数中，

有理数为：-2，，0，3.14，共4个数，

∴P（卡片上的数为有理数）=.故答案为：.【分析】由题意，先找出6个数中有理数的个数，然后根据概率公式计算即可求15．如图是个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度与杯子数量的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据字母，请选用适当的字母表示．杯子底部到杯沿底边的高；杯口直径；杯底直径；杯沿高．【答案】【解析】【解答】解：由图可知：纸杯叠放在一起后的总高度H=杯子底部到杯沿底边的高h+杯子数量n×杯沿高a，

∴H=h+an.故答案为：h+an.【分析】由图可知：纸杯叠放在一起后的总高度H=杯子底部到杯沿底边的高h+杯子数量n×杯沿高a，由此列代数式即可求解.16．如图，在和中，，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是．【答案】或17．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，与交于点，若，，则的值是．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：由折叠可知：∠DBC=∠DBF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠DBF=∠ADB，

∴BF=DF，

∴AF=AD-DF=8-BF，

在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，

∴62+（8-BF）2=BF2，解得：BF=，

∴cos∠ABF=.故答案为：.【分析】由折叠的性质可得：∠DBC=∠DBF，由矩形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DBF=∠ADB，由等角对等边可得BF=DF，由线段的构成可得AF=AD-DF=8-BF，在Rt△ABF中，用勾股定理可得关于BF的方程，解方程求出BF的值，然后根据锐角三角函数cos∠ABF=可求解.三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）解：原式=3-2+（-1）

=0.（2）解：原式==

=，

∵a=2，

∴原式=.

故答案为：.19．某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加米折返跑的部分学生成绩成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了不完整的统计图如图所示根据图中提供的信息解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）若该校八年级学生有人，试估计该校八年级学生米折返跑成绩不合格的人数；（3）从所抽取的优秀等级的学生、、、、中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到、两位同学的概率．【答案】（1）解：由扇形图和条形图可知：良好的频数和百分数分别为：12，40%，

∴本次共抽取的学生人数为：12÷40%=30，

∴不合格的学生人数为：30-5-12-10=3.

∴条形图可补充如下：

（2）解：该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数为：

=30（人）.

故答案为：30.（3）解：由题意画出树状图：

由树状图可知：所有可能的结果有20种，其中恰好抽到A、B两位同学的情况有2种，

则P（恰好抽到A、B两位同学）=.

故答案为：【解析】【分析】（1）由扇形图和条形图可知良好的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得本次共抽取的学生人数，根据各小组的频数之和可求得不合格的学生人数，然后可将条形图补充完整；

（2）用样本估计总体可求解；

（3）由题意画出树状图，根据树状图中的信息可知所有可能的结果有20种，其中恰好抽到A、B两位同学的情况有2种，然后根据概率公式计算即可求解.20．如图，点是▱对角线的交点，过点的直线分别交，于点，．（1）求证：≌；（2）当时，，分别连接，求此时四边形的周长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠OED=∠OFB，

∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，

∴OB=OD，

在△ODE和△OBF中，

∴△ODE≌△OBF（AAS）（2）解：连接BE、DF，

由（1）得△ODE≌△OBF，

∴DE=BF，

∵DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形，

∴DF=BF=BE=DE=15cm，

∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60（cm）.

答：四边形BEDF的周长为60cm.【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，OB=OD，结合图形用角角边可证△ODE≌△OBF；

（2）连接BE、DF，由（1）中的全等三角形可得DE=BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形，结合已知根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形BEDF是菱形，然后根据菱形的性质可求解.21．某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成铺设任务．（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为元，所有工人的工资总金额不超过万元该公司原计划最多应安排多少名工人施工？【答案】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，实际每天铺设管道（1+25%）x米，

由题意可得：，

解得：x=40，

经检验，x=40是原方程的根，

实际每天铺设管道为：（1+25%）×40=50（米），

答：原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米.（2）解：设该公司原计划最多应安排m名工人施工，

原计划所需时间为：3000÷40=75（天），

由题意得：300×75m≤180000，

解得：m≤8，

∴不等式的最大整数解为8，即最多应安排8名工人施工.

答：设该公司原计划最多应安排8名工人施工.

【解析】【分析】（1）设原计划每天铺设管道x米，实际每天铺设管道（1+25%）x米，根据题中的相等关系“原计划的时间-实际的时间=15”可列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；

（2）设该公司原计划最多应安排m名工人施工，由工作时间=工作量÷工作效率求出原计划的工作时间，根据"所有工人的工资总金额不超过万元"可列关于m的不等式，解不等式并找出最大整数解即可求解.22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）求的面积；（3）若点是轴上一动点，连接，当的值最小时，求点的坐标．【答案】（1）解：∵M（，4）在反比例函数的图象上，

∴k=×4=2，

∴反比例函数的表达式为：；

又∵N（n，1）在反比例函数的图象上，

∴n=2，即N（2，1），

设一次函数的表达式为：y=ax+b，

∴，

解得：a=-2，b=5，

∴一次函数的表达式为：y=-2x+5.（2）解：如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，

由（1）得：直线l为：y=-2x+5，

∴直线l与x、y轴的交点A、B的坐标分别为：A（，0），B（0，5），

∴OA=，OB=5，

∴S△OMN=S△AOB-S△AON-S△BOM=×OA×OB-×OA×yN-×OB×xM

=××5-××1-×5×=.（3）解：如图，作点M关于y轴的对称点M´，连接M´N交y轴于点P，则PM+PN的最小值就是M´N的长，

∵M（，4）与M´关于y轴对称，

∴M´为（-，4），

设直线M´N的表达式为：y=mx+n，

∵N（2，1），

∴，解得：，

∴直线M´N的表达式为：，

∴直线M´N与y轴的交点P的坐标为P（0，）.23．如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，求证：；（3）若于，，，求的长．【答案】（1）证明：连接OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCO+∠OCA=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠BCO，

∵∠B=∠PCA，

∴∠BCO=∠PCA，

∴∠PCA+∠OCA=90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切线.（2）证明：∵sin∠B=，

∴∠B=30°，

∴∠B=∠PCA=30°，

由（1）可知：∠ACB=90°，

∴∠CAB=60°，

∴∠P=∠CAB-∠PCA=30°，

∴∠P=∠PCA，

∴AC=AP.（3）解：设AD=x，

在Rt△ACB中，CD⊥AB，

∴CD2=AD×BD=6x，

∵∠P=∠P，∠PCA=∠B，

∴△PAC∽△PCB，

∴，

∴PC2=PA·PB=4（6+4+x）=4(10+x)，

在Rt△PCD中，由勾股定理可得：

PD2+CD2=PC2，即（4+x）2+6x=4(10+x)，

解得：x1=2，x2=-12（舍去），

故AD=2.24．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，若点是线段上的一个动点不与点，重合，过点作轴的平行线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；（3）如图，在的条件下，过点的直线与抛物线交于点，且在轴上是否存在点，使得为等腰三角形