山东省潍坊市2024年中考数学试卷含真题解析

山东省潍坊市2024年中考数学试卷一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）1．下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故C正确

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误故答案为：C.【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，故A，C，D是轴对称图形，把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与自身重合，这样的图形是中心对称图形，故B，C是中心对称图形，因此C既是轴对称图形也是中心对称图形.2．2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（）A．1.267×105 B．1.267×106 C．1.267×107 D．126.7×104【答案】B【解析】【解答】

解：126.7万=1.267×106故答案为：B.【分析】绝对值大于10的科学记数法可表示为：，其中，1≤a＜10，n取原数的整数位数减1.3．某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】

解：该几何体的主视图为：故答案为：D.【分析】主视图反映的是一个几何体前面的形状，它是从几何体的前面向后投射时，在正面投影面上得到的视图.4．中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（）A．100min，50℃ B．120min，50℃C．100min，55℃ D．120min，55℃【答案】B【解析】【解答】解：由图可知：在120min时提取率最高，50℃时提取率最高故答案为：B.【分析】最佳的提取时间和提取温度取决于提取率，由图可知：在120min时提取率最高，50℃时提取率最高，故最佳的提取时间和提取温度：120min，50℃.5．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（）A．60° B．55° C．50° D．45°【答案】A【解析】【解答】解：如图：过点EH∥AB

∴∠BEH=∠α=15°

∵β=45°

∴∠FEH=180°-45°-15°=120°

∵AB∥FG

∴FG∥EH

∴∠FEH+∠EFG=180°

∴∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°=60°

故答案为：A.【分析】先根据EH∥AB，得出：∠BEH=∠α=15°，再计算∠FEH=180°-45°-15°=120°，再根据FG∥EH，得到：∠FEH+∠EFG=180°，从而计算∠EFG的度数.6．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】C【解析】【解答】解：由题意知：a=1，b=-m，

∴

∵m﹣2n＝3

∴△=9-4=5>0

因此有两个不相等的实数根故答案为：C.

【分析】先写出a，b，c的值，再计算△，再把m﹣2n＝3代入即可.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）7．下列命题是真命题的有（）A．若a＝b，则ac＝bc B．若a＞b，则ac＞bcC．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数【答案】A,C【解析】【解答】

解：A、若a＝b，则ac＝bc，故A正确

B、若a＞b，当c>0则ac＞bc，故B错误

C、两个有理数的积仍为有理数，故C正确

D、两个无理数的积可能为有理数，故D错误故答案为：AC.

【分析】A、根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数或整式，结果仍为等式

B、不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变

C、两个有理数的积仍为有理数

D、两个无理数的积可能为有理数，如：.8．如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（）A．体积为π B．母线长为1C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为【答案】B,C【解析】【解答】解：A、，故A错误

B、l=h=1，故B正确

C、，故C正确

D、，故D错误故答案为：BC.【分析】A、圆柱的体积为：底面积×高；B、圆柱的母线等于圆柱的高；C、侧面积为：；D、侧面周长等于矩形的周长，即：.9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（）A．a﹣b+c＞0B．该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）C．若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2D．对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立【答案】A,C,D【解析】【解答】解：

A、∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是（4，0）

∴另一个交点为（-2，0）

∴当x=-1时，y>0

∴a-b+c>0，故A正确

B、由A可知：另一个交点为（-2，0），故B错误

C、∵，且a<0

∴y1＜y2

D、由图可知：当x=1时，y有最大值为：a+b+c当x=n时，y=an2+bn+c

∴an2+bn+c<a+b+c

∴an2+bn<a+b

故D正确

故答案为：ACD.【分析】A、把x=-1，代入得出a-b+c，再结合图象观察点（-1，a-b+c）位置即可

B、先根据抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点为（4，0），则得出另一个交点（-2，0）

C、先计算两个点到对称轴的距离，再根据距离远近进行判段即可

D、由图可知：当x=1时，y有最大值=a+b+c，把x=n时，y=an2+bn+c，则：an2+bn+c<a+b+c，故an2+bn<a+b.10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（）A． B．AB＝OEC．∠AOD＝∠BAC D．四边形AOCE为菱形【答案】A,B,D【解析】【解答】解：

A、∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA

∵AO∥BC

∴∠ACB=∠OAC

∴∠ACB=∠OCA

∴，故A正确

B、如图，设OE与AC交于点F，连接AD

由A可知：∠ACB=∠OCA，∠OFC=∠EFC=90°，CF=CF

∴△OCF≌△ECF(ASA)

∴OC=CE

由作图可知：OM垂直平分AC

∴OA=OC，AE=CE

∴OA=OC=AE=CE

∴四边形AOCE为菱形

AE=OC，AE∥OC

∴OD=AE

∴四边形AEOD为平行四边形

∴OE=AD

∵

∴AB=AD

∴OE=AB，故B正确

C、由B可知：AE∥OC

∴∠AOD=∠OAE，故C错误

D、由B可知：四边形AOCE为菱形，故D正确故答案为：ABD.【分析】A、根据OA=OC，得出∠OAC=∠OCA，再根据平行线性质得出：∠ACB=∠OAC，因此∠ACB=∠OCA，故.

B、先证明△OCF≌△ECF(SAS)，再根据作图得出OM垂直平分AC，即可得到OA=OC=AE=CE，推出：四边形AOCE为菱形，最后证明四边形AEOD为平行四边形即可.

C、由B可知：AE∥OC可得：∠AOD=∠OAE

D、由B可知：四边形AOCE为菱形.三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）11．请写出同时满足以下两个条件的一个函数：．①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．【答案】y＝﹣2x+1【解析】【解答】解：∵y随着x的增大而减小

∴k>0

∵函数图象与y轴正半轴相交

∴b>0

∴y＝﹣2x+1故答案为：y＝﹣2x+1.【分析】当k>0时，y随着x的增大而减小，当b>0时，函数图象与y轴正半轴相交.12．如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为．【答案】13．小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是．【答案】【解析】【解答】解：由题意可得：

共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；

其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，因此每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是故答案为：.【分析】先列举出所有结果，共有6种，而每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果有2种，再根据概率公式：代入计算即可.14．将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝，n＝．【答案】45；2【解析】【解答】解：

由图可知：当k为奇数时，第k行第1列就是当k为偶数时，第1行第k列就是

∵

∴2025在第45行第1列

∴2024在在第45行第2列

∴m=45，n=2

故答案为：45，2.【分析】先观察数的排列规律，找出规律：当k为奇数时，第k行第1列就是；当k为偶数时，第1行第k列就是，然后再把2024转化为452-1，即可找到m，n的值.四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）＝﹣2+（2﹣1）﹣2﹣3＝﹣2+4﹣3＝﹣1（2）＝a﹣2当时，原式．【解析】【分析】(1)分别把代入计算即可.

（2）把括号里的先通分，再把括号外的除法转化为乘法，分子分母需要进行因式分解的要进行因式分解，把原式化为最简，最后再把a是值代入即可.16．如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．求证：（1）△AEH≌△CFG；（2）四边形EGFH为平行四边形．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠EAH＝∠FCG，由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，∴AH＝CG，在△AEH和△CFG中，，∴△AEH≌△CFG（ASA）；（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EGFH为平行四边形．17．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求△OPQ的面积．【答案】（1）把代入得，，∴m＝﹣3，∴，把代入得，，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）把代入得，，∴，∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标为，把代入得，，∴，∴，∴．【解析】【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式中，求出点A的坐标，然后再把点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k.

（2）先求出点P的坐标，因为PQ∥y轴，可以得到点Q的横坐标与点P的横坐标相同，且为，把x=代入反比例函数中，求出点Q的坐标，从而算出PQ，再根据三角形的面积公式求解即可.18．在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．（1）【数据描述】如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．（2）【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．商家统计量中位数众数平均数方差甲商家a33.51.05乙商家4b1.24①直接写出表中a和b的值，并求的值；②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．【答案】（1）解：①由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，补全条形统计图如下：②；（2）①∵甲商家共有30个数据，∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，∴，由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，∴众数b＝4，乙商家平均数；②小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，∴小亮应该选择乙商家．【解析】【分析】（1）①先根据公式：样本的总数=某项的频数÷该项的百分数，算出甲乙两甲抽取的总评价分值，再计算评价分值为4的甲乙两家的个数，再补全统计图即可.

②圆心角等于评价分值为4的百分率×360°即可.

（2）①当数据的个数为偶数个时，先把数据进行排序，第15个数和第16个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义，可以得出众数，再根据加权平均数公式求解平均数即可.

（2）根据中位数，众数和平均数进行分析，只要符合题意即可.19．2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：P＝10x．预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：，其中0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．（1）若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．【答案】（1）由题意得：，整理得y＝﹣x2+4x+160，当y＝148时，则﹣x2+4x+160＝148，解得：x1＝6，x2＝﹣2．∵0≤x≤9，∴x2＝﹣2不符合题意，舍去，答：该商场建造的隔热层厚度为6cm．（2）由（1）得y＝﹣x2+4x+160，∵t＝y+x2，∴t＝﹣x2+4x+160+x2＝4x+160（172≤t≤192）．∵4＞0，∴t随x的增大而增大，当t＝172时，4x+160＝172，解得x＝3；当t＝192时，4x+160＝192，解得x＝8；答：x的取值范围为3≤x≤8．【解析】【分析】

（1）先根据题意写出y与x的关系式，再令y=148，列出方程﹣x2+4x+160＝148，解出x，最后再根据0≤x≤9，进行取舍即可.

（2）先写出t关于x的关系式，得出t=4x+160，再根据一次函数的增减性和t的取值范围，求出t的最大值和最小值即可.20．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝1，，求⊙O的直径．【答案】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠EAD，

∴OD∥AC，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O半径，∴DE是⊙O的切线.（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE，∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC，∴∠DBC＝∠CDE，∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，∴BD＝CD，，在Rt△CDE中，，∴CD＝3CE＝3×1＝3，∴BD＝3，在Rt△ABD中，，∴AB＝3BD＝3×3＝9，即⊙O的直径为9．【解析】【分析】（1）由角平分线可得：∠BAD＝∠EAD，再根据同圆的半径相等，得到：∠OAD＝∠ODA，因此∠ODA＝∠EAD，所以OD∥AC，又因为OD⊥DE，故可得：OD⊥DE，结合切线的判定即可得证.

（2）由AB是⊙O的直径，得到∠ADB＝90°，因此∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，又因为∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，可得：∠DBC＝∠CDE，再根据同弧所对的圆周角相等，可证：∠DBC＝∠CAD=∠BAD，又因为AD平分∠BAC，可得，即：CD=BD，再根据求出CD，即可求出BD的长，同理求出AB即可.21．在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW•h•10﹣1•m﹣2•d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．（1）求y关于x的函数表达式；（2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：，）【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，将（0，40），（10，45），（30，49）代入，得，解得，∴；（2）解：

∵a<0，0≤x≤90

∴当x=30时，日平均太阳辐射量最大​​​​​​​故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大.（3），延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH＝a，∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，∴，∵HN＝HF+FN＝4+a，∴，∴，∴，延长AN交GM与J点，∵∠AJG＝∠AGJ，∴AJ＝AG，∵，∴，∴，∴．【解析】【分析】

（1）设设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c

把（0，40），（10，45），（30，49）代入得：解得：即可.

（2）先根据求出抛物线的对称轴为直线x=30，又因为开口方向向下，故当x=30时，日平均太阳辐射量最大.

（3）令FH＝a，则可得：AH=FH=a，，AN=2a，又因为HN=a+4，可列方程：，解出，故，再求出，即，又因为C为AB的中点，AC=1，故，再根据30°角的余弦，求出CD即可.22．【问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．【探索发现】（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝．（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的