黑龙江省绥化市 2024年中考数学试卷含真题解析

黑龙江省绥化市2024年中考数学试卷一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．实数的相反数是（）A．2025 B．-2025 C． D．【答案】D【解析】【解答】解：实数的相反数是

故答案为D.

【分析】任意数a的相反数是-a.2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．等腰三角形 C．圆 D．菱形【答案】B【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A错误

CD即是轴对称图形，又是中心对称图形，故C，D错误

故答案选B.

【分析】本题主要考查的是中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形和轴对称图形的定义一一判断即可.3．某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】A【解析】【解答】解：根据三视图，可以得到这个几何体：共有2层，底层有3个，第二层有2个，共有5个小正方体

故答案为：A.

【分析】先根据主视图可以确定该几何体共有2层，底层有3个，再结合左视图和俯视图可以确定第二层为2个，这样即可.4．若式子有意义，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：要使式子有意义，

则：2m-3≥0

∴

故答案为C.

【分析】要使二次根式有意义，必须满足被开方数大于等于0.5．下列计昇中，结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：A、，故A正确

B、，故B错误

C、，故C错误

D、，故D错误

故选A.

【分析】本题考查了负指数整数幂，完全平方公式，算术平方根以及积的乘方等知识点，分别依据各知识点依次判断即可.6．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：设一元二次方程为

由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c

∴b=-7，c=10

∴方程为：

故选B.

【分析】本题考查的是韦达定理：，根据韦达定理即可解决问题.7．某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋的销售量如下表：鞋码3637383940平均每天销售量/双1012201212如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列织计量中是的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】C【解析】【解答】解：鞋厂最关心的是哪种鞋码出售的最多，即鞋码的众数，

故选C.

【分析】本题考查的是众数，众数是指一组数据中，出现次数最多的数据.8．一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：设江水流速为xkm/h，

解得x=8，

经检验：x=8是原方程的解

因此江水流速为8km/h

故选D.

【分析】本题考查的分式方程的应用，根据等量关系：列出方程即可.9．如图，矩形各顶点的坐标分別头，以原点为位似中心，将这个矩形拨相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，

∵

∴顶点在第一象限对应点的坐标是

故选D.

【分析】以原点为位似中心，同向位似规律为：位似后的对应点坐标同时乘以相似比.10．下列叙述正确的是（）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B．平分弦的直径垂直于弦C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【答案】C【解析】【解答】A、顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个平行四边形，故A错误

B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误

D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故D错误

故选C.

【分析】根据平行四边形的判定定理及中位线定理，垂径定理，中心投影的性质，圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理依次判定即可.11．如图，四边形是菱形，于点，则的长是（）A． B．6 C． D．12【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，

∴AC⊥BD，CD=CB=5，DO=

∴

∴AC=2CO=6

AE=

故选A.

【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理计算出OC，再利用等积法，用两种不同的方式表示出菱形的面积即可.12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线.则下列结论中：①②(为任意实数)③④若是抛物线上不同的两个点，则.其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【解答】解：①由图可知：a<0，b<0，c>0

∴，故①错误

②由图可知：当x=-1时，y有最大值为a-b+c

当x=m时，y=(为任意实数)

∴≤a-b+c

∴

故②正确

③∵对称轴为直线

，b=2a

由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0

∴

故③正确

④∵是抛物线上不同的两个点，且两点的函数值相等

∴>-3

故④错误

故选B.

【分析】①根据开口方向，左同右异可以判定出a，b符合，再根据抛物线与y轴的交点，判定c的符合

②根据抛物线开口向下，可以判定当x=-1时，y有最大值即可

③根据对称轴得出：b=2a，再代入a+b+c<0即可

④根据两点纵坐标相等，可以得出即可.二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）13．我国疆域辽阔，其中领水面积约为，把370000这个数用科学记数法表示为.【答案】【解析】【解答】解：370000=3.7×105

【分析】绝对值大于10的科学记数法，可以表示成：±a×10-n，其中，1≤a<10，n取原数的整数位数减1.14．分解因式：【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：

故答案为.

【分析】先提取公因式2m，再利用平方差公式进行分解即可.15．如图，.则。【答案】66°【解析】【解答】解：∵

∴

∠DOE=∠C＋∠E=66°

∵

∴∠A=∠DOE=66°

故答案为66°.

【分析】先由，得出，再根据外角的性质得出：∠DOE=∠C＋∠E=66°，再利用两直线平行，同位角相等，得出16．如图，用热气球的探测器测一校楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼约富度为(结果保留根号).【答案】【解析】【解答】解：∵从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为

∴∠CAD=60°

∵点的俯角为

∴∠BAD=45°

在Rt△ADC中，

CD=AD·tan∠CAD=50×tan60°=m

在Rt△ADB中，∠BAD=45°

∴AD=BD=50

∴BC=BD+CD=(50+)m

则这栋楼约高度为(50+)m

故答案为(50+)m

【分析】由已知条件得出：∠CAD=60°和∠BAD=45°，再由这两个角的正切分别求出CD和BD的长，

再计算BC即可.17．化简：.【答案】【解析】【解答】解：

故答案为：.

【分析】先把括号里的通分，再将除法转变成乘法，再约分即可.18．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为【答案】​​​​​​​【解析】【解答】由题意可得：这个圆雉的底面圆的半径为rcm

解得：r=

故答案为.

【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出方程即可.19．如图，已知点，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则.【答案】-15【解析】【解答】如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，

∵

∴AO=7，BE=10，OF=-14

在平行四边形中，BC=AO=7

∴x=-24，即EB=24

∵DG∥BE

∴

∵

∴OG=6，DG=2.5

∴D点的坐标为（-6，2.5）

∵点D在反比例函数的图象上

∴k=-2.5×6=-15

故答案为-15.

【分析】

通过作垂线构造出A型相似，利用相似三角形对应边成比例，得出点D的坐标，再根据待定系数法求出k值.20．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则。【答案】【解析】【解答】解：如图，作P点关于OB的对称点E，连接EM，EP

则EM=EP，∠EOM=∠POM，OM=OM

∴△EOM≌△POM

∴∠OEM=∠OPM

P点关于OA的对称点F，连接NP，NF

同理：△PON≌△FON

∴∠OFN=∠OPN，PN=FN

∵的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF

∴当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，

∠EOF=∠OEM+∠POM+∠PON+∠NOF=2

∴∠OPN+∠OPM=∠OFN+∠OEM=180°-∠EOF=80°

故答案为.

【分析】作两次对称：作P点关于OB的对称点E，P点关于OA的对称点F，的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN，则当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，在根据对称性质，即可求出的度数.21．如图，已知，，依此规律，则点的坐标为.【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：根据图形，可以得出：

由此可见，每七个是一个循环

∴2024÷7=289余1，而1+289x10=2891，

∴点的坐标为

故答案为.

【分析】观察所给图形及点的坐标，列出各个点的坐标，发现规律：每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现是解题的关键.

22．在矩形中，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是.【答案】或或【解析】【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=4cm，AC=BD∴cm

∵∠BAD=∠EFD=90°，∠ADB=∠ADB

∴△DEF≈△DBA

∴

∴EF=

如图2，过点E作EM⊥AC于点M，

AE=AD-DE=8cm-2cm=6cm

同理：△ADC≈△AME

∴

解得：EM=

如图3，过点E作EN⊥AC于点N

同理：△ADB≈△NDE

∴

∴

解得：EN=

如图4，过点E作EH⊥AC于点H

同理：△ADC≈△AHE

∴

∴

解得：HE=

故答案为或或.

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.先作出点E到矩形对角线所在直线的距离，根据四种情况分类讨论，再根据相似三角形的性质，对应边对应成比例，求出点到矩形对角线所在直线的距离即可.三、解答题(本题共6个小题,共54分)请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内23．已知：.（1）尺规作图：画出的重心.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)（2）在(1)的条件下，连接.已知的面积等于，则的面积是.【答案】（1）解：先作出AC，BC的垂直平分线，找出AC，BC的中点F，D连接AD，BF的交点即为点G

（2）15【解析】【解答】解：（2）∵点G是的重心，

∴

∴

∴

∴

∴(cm2)

∵F为AC的中点

∴

故答案为15.

【分析】先根据重心的性质，得出，求出的面积，再根据中点的性质，从而求出的面积.24．为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、休操、诵读书法四项社团活动，为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了一部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选一项社团活动（且只能选择一项），根据调查结果，绘制成如下两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）参加本次问卷调查的学生共有人.（2）在扇形统计图中，组所占的百分比是▲，并补全条形统计图.（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示.请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是和的概率.【答案】（1）60（2）30%（3）画树状图法如下图

列表法如下图由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是和的情况有两种.(选中的2个社团恰好是和【解析】【解答】

（1）12÷20%=60（人）

故答案为60人.

(2)60-20-10-12=18(人)

18÷60=30%

故答案为30%.

【分析】

（1）根据，计算出D组人数

（2）先计算出A组人数，再根据即可

（3）先画出树状图，由树状图可知12种结果出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是和的情况有两种，根据概率公式求出概率即可.25．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共学电动车公司准备投入资金购买两种电动车.若购买种电动车25辆、种电动车80辆，需投入资金30.5万元：若购买种电动车60辆、种电动车120辆，需投入资金48万元.已知这两种电动车的单价不变.（1）求两种电动车的单价分别是多少元?（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买两种电动车200辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半.当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少渋用是多少元?（3）该公司将购买的两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如下图.其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为.请根据函数图象信息解决下列问题。①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班，已知两种电动车的平均速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计），小刘家到公司件距离为，那么小刘选择种电动年更省钱(缜定政B).②直接写出两利电动车支付带用相差4元时，x的值。

【答案】（1）解：设A、B两种电动车的单价分别为x元，y元，由题意得解得答：两种电动车的单价分别为1000元、3500元。（2）解：设购买种电动车辆，则购买种电动车()辆，由选得得：解得：设所需购买总费用为元.则随着的增大而减小取正整数时，最少(元)答：当购买种电动车66镉时所需的总费用最少，最少顽用为535000元.（3）B；5或40【解析】【解答】解：（3）①小刘到校的时间为：÷300m/min=（分钟）>20

∴>

∴选择B种电动车

故答案为B.

②解设=kx，把（20，8）代入得：20K=8，解得k=

∴

当时，=6

当x>10时，设=kx+b

把（20，8）（10，6）得：

，解得

∴=x+4

∵两种电动车支付费用相差4元

∴当时，-=4

∴6-x=4，解得x=5

当x>10时，-=4

∴x-x-4=4，解得x=40

故答案为5或40.

【分析】(1)本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意，即可列出方程组.

(2)设购买种电动车辆，则购买种电动车()辆，根据种电动车的数量不多于种电动车数量的一半，列出不等式，得出m的取值范围，设所需购买总费用为元，根据题意列出一次函数，根据一次函数的增减性，结合m的取值范围，即可求出W的最小值.26．如图1，是正方形对角线上一点，以为四心，长为半径的与相切于点，与相交于点.（1）求证：与相切.（2）若正方形的边长为，求的半径.（3）如图2，在(2)的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点.当时，求的长.【答案】（1）证明：连接，过点作于点与相切于点四边形是正方形，是正方形的对角线为的半径为的半径与相切方法二：证明：连接，过点作于点与相切于点四边形是正方形又为的半径为的半径与相切方法三：证明：过点作于点，连接与相切，为半径又四边形为正方形四边形为矩形又为正方形的对角线四边形为正方形又为的半径为的半径又与相切（2）解：为正方形的对角线与相切于点由(1)可知设，在中，又正方形的边长为在中，C(或利用列方程求也可得分)的半径为（3）解：方法一：解：连接，设在Rt中，由勾股定理得：在Rt中，由勾股定理得：又方法二：解：连接为的直径

∵MN⊥AC

∴∠NFM+∠FNM=90°

∴∠NFM=∠CNM

∵∠NCM=∠FCN

∴△CNM~△CFN

∴CN2=CM·CF

∵CM：FM=1：4，CF=5CM

∴CN=CM

方法三：解：连接为的直径∴∠CNF=90°∴∠FNM+∠CNM=90°∵MN⊥AC∴∠NFM+∠FNM=90°∴∠NFM=∠CNM∵∠NCM=∠FCN∴△CNM~△CFN∵CM：FM=1：4议，则又​​​​​​​【解析】【分析】（1）先过点作于点，根据正方形的性质：得出=r，或者证明，得出：=r，或者证明矩形为正方形，得出=r，即可得出结论

（2）设圆的半径为R，得出，则AC=，由正方形的边长为，求出，因而得出，求出R

（3）方法一：根据，R=，求出CM.再利用OM=OC-CM，求出OM，利用勾股定理，求出MN，最后再利用勾股定理求出CN即可，

方法二或方法三：先证△CNM∽△CFN，得出：CN2=CM·CF求出CN.27．综合与实践问题情境在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形为操作对象，纸片和.下面是创新小红的探究过程（1）【操作发现】如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合.当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程.（2）【问题解决】如图2，在(1)的条件下连接，发现的周长是一个定值.请你写出这个定值，并说明理由.（3）【拓展延伸】如图3，当点在边上运动（不包括端点)，且始终保持.请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值（结果保留根号）。【答案】（1）操作发现解：，且在中，是的中点，点与点巫合（2）解：方法一：解：的周长定值为2理由如下，在中、将（1）中代入得：又的周长的周长.方法二：解：的周长定值为2理由如下：和远等腰直角三角形在中，为的中点又过作交于点，作交于点，作父于点又的周长又是的中点点是的中点，同理点是的中点的周长方法三：解：的周长定值为2理由如下：过作于点，作交于点，在上截取一点使连接平分的周长又是的中点点为的中点.同理点是的中点的周长（3）或【解析】【解答】(3)①过点F作FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，

∵∠AFE=60°，∠A=45°

∴∠AFN=45°，∠HFN=∠AFH-∠AFN=60°-45°=15°，

∵FH的垂直平分线交FN

∴FM=MH，

∴∠NFH=∠MHF=15°

∠NMH是△FMH的外角

∴∠NMH=30°

设NH=1，则NM=，HM=FM=2

∴FN=FM+MN=+2

tan∠FHA==+2

如上图，过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，

∵∠AFE=60°，∠A=∠B=45°

∴∠FGB=∠AFE-∠B=60°-45°=15°

∵作FG的垂直平分线交BG于点M

∴FM=GM

∴∠GFM=∠MGF=15°

∴∠FMB=∠GFM+∠MGF=30°

设FN=1，MN=，GM=FM=2

∴NG=GM+MN=+2

tan∠FGN==

故答案为或.

【分析】

（1）根据一线三等角模型，利用外角的性质，证明：，再根据对应边成比例，得出，代入数值，得出y与x的关系式

（2）

方法一：设，表示出CH，CG，再根据勾股定理：和xy=2表示出GH，GH=

方法二：根据一线三等角模型，利用外角的性质，证明：，得出：，又因为O为AB的中点，得出：，根据两边对应成比例且夹角相等，证明出，得出，再通过作垂直，构造出两对全等三角形，得出，把的周长转化成CM与CN的和，再证明，得出M，N为中点即可

(3)过作于点，作交于点，在上截取一点使连接，证明得出再证明，把的周长转化成CM与CN的和，再证明，得出M，N为中点即可.

(3)分两种情况讨论，两种情况都是通过作垂直和中垂线构造出含30°的直角三角形，设30°所对的直角边为单位1，通过30°，6