第六章 第1讲 功和功率

第六章机械能单击此处添加副标题第1讲功和功率考点1功的正负判断与计算考点2变力做功问题的求解考点3功率问题的分析与求解考点4机车启动模型练习帮练透好题精准分层目录Contents单击此处添加标题01单击此处添加标题02课标要求核心考点五年考情核心素养对接1.理解功和功率.2.了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义.功的正负判断与计算2023：新课标T15、20，北京T11，广东T8；2021：全国乙T19，浙江6月T11；2019：浙江4月T191.物理观念：

功和功率是建立功能关系的重要概念，准确理解“功”才能更好地促进能量观念的形成.变力做功问题的求解2023：湖北T9课标要求核心考点五年考情核心素养对接1.理解功和功率.2.了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义.功率问题的分析与求解2023：山东T4，辽宁T3；2022：江苏T14；2021：浙江6月T8，浙江1月T192.科学思维：

建构机车启动模型；掌握变力做功的计算方法；会用极限思想求解瞬时功率.3.科学态度与责任：

能用功和功率分析解释生活中的实际现象.机车启动模型2023：山东T8，湖北T4；2021：北京T8，湖南T3，重庆T10课标要求核心考点五年考情核心素养对接命题分析

预测功和功率可能会与交通实际、曲线运动、电磁场、电磁感应等知识综

合考查，选择题形式居多.预计2025年高考可能会出现与体育运动、生

产生活等实际情境相结合命制的选择题.

考点1功的正负判断与计算

1.做功的两个必要因素(1)作用在物体上的力.(2)物体在[1]

上发生的位移.力的方向2.表达式：W＝[2]

，α是力F与位移l的夹角.Flcosα

3.功的正负的判断角度功的正负W＞0，力对物体做[3]

⁠W＝0，力对物体[4]

⁠W＜0，力对物体做[5]

，或者说物体[6]

⁠这个力做功正功不做功负功克服

如图，一个质量为150kg的雪橇，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力，大小

为500N，在水平地面上移动的距离为5m.地面对雪橇的阻力为100N，cos37°＝0.8.拉力对雪橇做的功是

J，阻力对雪橇做的功是

J，重力对雪橇做的

功是

J，支持力对雪橇做的功是

J，各力对雪橇做的总功是

J.

2000

-500

0

0

1500

[解析]

拉力在水平方向的分力为

Fx

＝

Fcos37°，它所做的功为W1

＝Fxl

＝Fl

cos37°＝500×5×0.8J＝2000J，阻力与运动方向相反，两者夹角为180°，它所做的功为W2＝F阻lcos180°＝-100×5J＝-500J，重力和支持力与运动方向垂直，即重力和支持力对雪橇做的功均为0，各力对雪橇所做的总功为W＝W1＋W2＝2000J-500J＝1500J.命题点1

功的正负判断1.图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一

男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止.下列关于力做功的判断

正确的是(

A

)A.甲图中支持力对人做正功B.甲图中摩擦力对人做负功C.乙图中支持力对人做正功D.乙图中摩擦力对人做负功A[解析]

对题图甲中女士受力分析如图1所示，受重力和支持力两个力，支持力与速

度v的夹角为锐角，做正功，故A正确，B错误.对题图乙中男士受力分析如图2所

示，受重力、支持力与静摩擦力作用，支持力与速度v'的夹角为90°，不做功，静摩

擦力与速度方向相同，做正功，故C、D均错误.命题点2

恒力做功的计算2.[多选]如图，在电梯中有一固定放置的倾角为θ的斜面，斜面上放置一个质量为m

的物体，二者以相同的加速度a匀加速上升了高度h，重力加速度为g，且物体和斜

面始终保持相对静止，在这一过程中，下列说法正确的是(

AD

)A.斜面对物体的支持力做的功为m(a＋g)hcos2θB.斜面对物体的摩擦力做的功为m(a＋g)hcos2θC.斜面对物体做的功为mahD.合力对物体做的功为mahAD[解析]

对物体受力分析如图，水平和竖直方向分别有Fsinθ-fcosθ＝0，Fcosθ＋f

sinθ-mg＝ma，解得F＝m(a＋g)cosθ，f＝m(a＋g)sinθ，根据定义分别计算出二者

的做功，WF＝Fhcosθ＝m(a＋g)hcos2θ，Wf＝fhcos(90°-θ)＝m(a＋g)hsin2θ，故A

正确，B错误；斜面对物体有2个力，所以做的功为二者之和，即W＝WF＋Wf＝m(a

＋g)h，C错误；合力对物体做的功W合＝F合h，再根据牛顿第二定律F合＝ma，可得

W合＝mah，D正确.方法点拨常见力做功的特点做功的力做功的特点重力与路径无关，与物体所受的重力和初、末位置的高度差有

关，WG＝mgΔh弹簧的弹力做功的力做功的特点静摩擦力可以做正功、做负功、不做功滑动摩擦力可以做正功、做负功、不做功一对静摩擦力总功为零一对滑动摩擦力总功为负功，W总＝-Ffd相对汽车牵引力P不变时，W＝Pt；F不变时，W＝Fs考点2变力做功问题的求解变力做功的六种求解方法方法以例说法用动能定理计算用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF-

mgl(1-cosθ)＝0，得WF＝mgl(1-cosθ)方法以例说法微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，若摩擦力f大小恒定，运动一

周克服摩擦力做的功Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋…＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3

＋…)＝f·2πR等效转换

法方法以例说法平均力法图像法一水平拉力F拉着一物体在水平面上运动的位移为x1，F－x图像如图

所示，图线与坐标轴所围面积表示拉力所做的功方法以例说法用W＝Pt计

算这是一种等效代换的思想，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率

是不变的这一条件命题点1微元法求变力做功3.如图所示，一质量为m＝2.0kg的物体从半径为R＝5.0m的圆弧轨道的A端，在拉

力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内).拉力F的大小始终为15N，方

向始终与物体所在圆弧处的切线成37°角.圆弧轨道所对应的圆心角为45°，BO边沿竖

直方向.求这一过程中：(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)拉力F做的功；[答案]

47.1J

(2)重力G做的功；[答案]

29.3J

[解析]

重力G做的功WG＝-mgR(1-cos45°)≈-29.3J.(3)圆弧轨道对物体的支持力N做的功.[答案]

0

[解析]

物体受到的支持力N始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0.命题点2等效转换法求变力做功4.如图所示，一辆拖车通过光滑定滑轮将一重为G的物体匀速提升，当拖车从A点水

平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ角，求此过程中拖车对

绳子所做的功.

命题点3平均力法求变力做功5.某工地建房时用小车将细沙从一楼提到七楼(高度为20m)，小车和细沙总质量为

10kg.由于小车漏沙，在被匀加速提升至七楼的过程中，小车和细沙的总质量随着

上升距离的变化关系如图所示.小车可以看成质点，已知小车加速度为2m/s2，不计

空气阻力，重力加速度g取10m/s2.由图像可知，在提升的整个过程中，拉力对小车

做的功为(

A

)A.2160JB.1800JC.2400JD.180JA

考点3功率问题的分析与求解

1.定义：功与完成这些功所用[7]

之比.2.物理意义：描述力对物体做功的[8]

⁠.时间快慢平均功率平均功率瞬时功率3.公式4.额定功率与实际功率(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率.(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率.

✕✕✕✕6.[平均功率的求解]如图所示，质量为60kg的运动员在做俯卧撑运动，运动过程中

可将她的身体视为一根直棒.已知重心在c点，其垂线与两脚、两手连线中点间的距

离Oa、Ob分别为0.9m和0.6m.若她在一分钟内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距

离均为0.4m，则运动员在一分钟内克服重力做的功和相应的功率约为(取g＝10

m/s2)(

B

)A.430J，7WB.4300J，70WC.720J，12WD.7200J，120WB

7.[瞬时功率的求解/2023辽宁]如图(a)，

从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道.

两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t

的关系如图(b)所示.由图可知，两物块在离开M

点后、到达N

点前的下滑过程中

(

B

)A.甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大B.甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小C.乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变D.乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大B[解析]

由图(b)可知小物块甲做匀加速直线运动，小物块乙做加速度减小的加速运

动，结合图(a)可知，小物块甲沿轨道Ⅱ下滑，小物块乙沿轨道Ⅰ下滑，AD错误；由

图(b)可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中，同一时刻物块乙的速

度大于物块甲的速度，则同一时刻甲的动能比乙的小，B正确；小物块乙由静止释

放的瞬间，小物块乙的速度为零，则小物块乙的重力功率为0，小物块乙滑到轨道Ⅰ

底端的瞬间，小物块乙的速度方向与重力方向垂直，则小物块乙的重力功率为0，

但在下滑过程，小物块乙的重力做的功不为0，则小物块乙的重力的瞬时功率先增

大后减小，C错误.考点4机车启动模型

两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P-t图像和v-t图像

两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动OA段过程分析运动性质加速度减小的加速直线运动两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动AB段过程分析运动性质速度为vmax的匀速直线运动加速度减小的加速直线运动BC段

如图所示，汽车上坡时有经验的司机都会提前换挡，试对下列关于汽车上坡时的

说法作出判断.(1)汽车上坡时，司机需要通过换挡的方法减小汽车的速度，从而得到较大的牵引力.

(

√

)(2)根据公式P＝Fv知，牵引力一定时，随着汽车速度的增加，汽车的功率可以一直

增加.

(✕)(3)汽车在坡上匀速行驶时牵引力等于摩擦力.

(✕)√✕✕命题点1以恒定功率启动8.[2024江苏名校联考]我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年

销量为186.35万辆，位列全球第一.在平直路面上某运动的新能源卡车的额定功率为

60kW，若其总质量为5000kg，在水平路面上所受的阻力为5000N.(1)求新能源卡车所能达到的最大速度；[答案]

12m/s

[解析]

当达到最大速度时有P＝Fvm，F＝f解得vm＝12m/s.

解得a＝5m/s2.(2)若新能源卡车以额定功率启动，则该卡车车速v＝2m/s时其加速度为多大？[答案]

5m/s2命题点2以恒定加速度启动9.[多选]一辆轿车质量为m，在平直公路上行驶，启动阶段轿车牵引力保持不变，而

后以额定功率继续行驶，经过一段时间，其速度由零增大到最大值vm.若所受阻力恒

为f，则关于轿车的速度v、加速度a、牵引力F、功率P的图像可能正确的是

(

ACD

)ABCDACD

10.某兴趣小组让一辆自制遥控小车在水平的直轨道上由静止开始运动，小车先做

匀加速运动而后以恒定的功率运动，其运动的v-t图像如图所示(除4～8s时间段内的

图像为曲线外，其余时间段内图像均为直线).小车的质量为m＝2kg，小车在整个过

程中所受的阻力大小不变恒为f＝6N.求：(1)小车匀速行驶阶段的功率；[答案]

54W

[解析]

由题图可知小车的最大速度vmax＝9m/s由公式P＝Fvmax，F＝f，得P＝54W.(2)小车的速度为v1＝8m/s时加速度a1的大小；[答案]

0.375m/s2

解得a1＝0.375m/s2.

解得x＝40.5m.(3)小车在加速运动过程中总位移x的大小.[答案]

40.5m方法点拨机车启动问题的解题技巧1.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得Pt-F阻s＝ΔEk，此式常

用于求解机车以恒定功率启动过程中的位移大小.

1.[功/2023北京]如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动.已知

物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为

g.在物体移动距离为x的过程中(

D

)A.摩擦力做功大小与F方向无关B.合力做功大小与F方向有关C.F为水平方向时，F做功为μmgxD.F做功的最小值为maxD12345[解析]

竖直方向有FN＋Fsinθ＝mg，水平方向有F合＝Fcosθ-f，其中f＝μFN，θ变

化时，FN变化，则f变化，其做功大小W＝fx变化，A错；合力做功为W合＝F合x＝

max，与F方向无关，B错；F为水平方向时，有F-μmg＝ma，则F＞μmg，即F做功大

于μmgx，C错；物体运动过程中，有Fxcosθ-fx＝W合，即当f＝0时，F做功最小，此

时有Wmin＝W合＝max，D对.123452.[功和功率/2023山东]《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里

引水的场景.引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动.水筒

在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动.每个水筒离开水面时

装有质量为m的水，其中的60％被输送到高出水面H处灌入稻田.当地的重力加速度

为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(

B

)D.nmgωRHB12345

123453.[机车启动/2023湖北]两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到

的最大速度分别为v1和v2.现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编

组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为(

D

)D

编组后：P1＋P2＝(f1＋f2)v

123454.[机车启动/2021重庆/多选]额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启

动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示.两车分别从t1和t3时刻开始以额

定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变.若两车行驶时所受的阻力大小与

其重力成正比，且比例系数相同，则(

ABC

)A.甲车的质量比乙车大B.甲车比乙车先开始运动C.甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同D.甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同ABC12345[解析]

根据题述，两车额定功率P相同，两车从t2和t4时刻开始牵引力不变，可知

此后两车牵引力等于各自所受阻力，结合题图可知，甲车所受阻力大于乙车所受阻

力，又两车行驶时所受的阻力大小与其重力成正比，且比例系数相同，可知甲车的

质量比乙车大，选项A正确.对甲、乙两车启动的第一阶段，甲车的牵引力达到最大

时，乙车的牵引力还小于其行驶时所受的阻力，可知甲车一定比乙车先开始运动，

选项B正确.甲车在t1时刻的牵引力等于乙车在t3时刻的牵引力，又两车均刚达到额定

功率，根据P＝Fv可知，甲车在t1时刻的速率与乙车在t3时刻的速率相同，选项C正

确.t2时刻甲车达到最大速度，t4时刻乙车达到最大速度，额定功率P＝fvm，又甲车

所受的阻力比乙车所受阻力大，所以甲车在t2时刻的速率小于乙车在t4时刻的速率，

选项D错误.123455.[功率/2022江苏]在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略.空

间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L.

如图

1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物；在机械臂

的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为ω的匀速圆周运动，运动到A点停

下；然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达

B点，A、B间的距离为L.

12345(1)求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小Fn；[答案]

2mω2L

[解析]

质量为m的货物绕O点做匀速圆周运动，半径为2L，根据牛顿第二定律可

知Fn＝mω2·2L＝2mω2L.

12345(2)求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P；

12345

12345(3)在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上，

货物与空间站同步做匀速圆周运动.已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的

距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引

力之比F1：F2.

12345

123451.[多选]下列说法正确的是(

ABC

)A.-10J的功大于＋5J的功B.功是标量，正、负表示力对物体做功还是物体克服该力做功C.一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动D.功是矢量，正、负表示方向[解析]

功是标量，功的正负既不表示方向也不表示功的大小，而是表示力对物体

起动力作用(即力对物体做正功)，还是力对物体起阻力作用(即物体克服该力做功)，

故A、B、C正确，D错误.ABC1234567891011122.[2024天津滨海新区模拟]小明同学体育课上做深蹲起跳动作，先下沉重心，然后

迅速蹬地起跳，双脚离开地面后上升到最高点.在小明下沉重心到上升到最高点的过

程中，地面对他支持力的做功情况说法正确的是(

D

)A.地面支持力对小明一直做正功B.地面支持力对小明一直做负功C.地面支持力先对小明做正功，脚离地后不做功D.地面支持力一直不做功[解析]

脚离地前，人在地面支持力方向上的位移为零，支持力不做功；脚离地

后，不再受到支持力；故在小明下沉重心到上升到最高点的过程中，地面支持力一

直不做功，D正确.D1234567891011123.[2024河南周口模拟]某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F

＝kh＋F0(k、F0已知)，石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程

中克服阻力做的功为(

C

)A.F0h0B.kF0h0

C1234567891011124.[图像创新/2024山西怀仁一中期中]如图甲所示，质量为4kg的物体在水平推力作

用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的图像如图乙所示，物体与地面间的动

摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，则该物体在0～4m的运动过程中(

D

)A.摩擦力的功率一直增大B.推力的功率一直增大C.摩擦力做功为80JD.推力做功为200JD123456789101112

1234567891011125.如图所示，在某滑雪场滑雪者从O点由静止沿斜面自由滑下，接着在水平面上滑

至N点停下，斜面、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为

μ＝0.1，滑雪者(包括滑

雪板)的质量为m＝50kg，g取10m/s2，O、N两点间的水平距离为s＝100m.滑雪者

在整个运动的过程中，克服摩擦力做的功为(

C

)A.1250JB.2500JC.5000JD.7500J[解析]

设斜面的倾角为θ，则滑雪者从O点到N点的运动过程中克服摩擦力做的功

Wf＝μmgcosθ·xOM＋μmg·xMN，由题图可知，xOMcosθ＋xMN＝s，两式联立可得Wf＝

μmgs＝5000J，故A、B、D错误，C正确.C1234567891011126.[2024山东日照模拟/多选]图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着

中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工

装备进一步迈向世界前列.该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m＝200

kg的物体，物体的a-t图像如图乙所示，5～10s内起重机的功率为额定功率，不计其

他阻力，重力加速度g＝10m/s2，则以下说法正确的是(

BC

)A.物体在0～10s内运动的最大速度为10m/sB.起重机的额定功率为24000WC.0～5s内起重机对物体做的功小于5～10s内起重机对物体做的功D.0～5s内起重机对物体做的功大于5～10s内起重机对物体做的功BC123456789101112[解析]

物体在0～5s内做匀加速直线运动，5s末速度v＝a1t5＝10m/s，之后物体做

加速度不断减小的加速运动，故0～10s内最大速度大于10m/s，A错误；在0～5s

内，由牛顿第二定律可知，F-mg＝ma1，可得F＝m(g＋a1)＝2400N，5s末起重机功

率达到额定值，故其额定功率P＝Fv＝24000W，B正确；由于起重机在0～5s内，

功率由零均匀增大到额定值，故0～5s内的平均功率小于5～10s内的平均功率，所

以0～5s内起重机对物体做的功小于5～10s内起重机对物体做的功，C正确，D错误.123456789101112

(1)山地越野车从A点飞出时速度的大小vm；[答案]

30m/s

123456789101112(2)A、B两点间的竖直高度h；[答案]

1.8m

(3)山地越野车到达B点时山坡的切线与水平方向夹角的正切值tanθ.[答案]

0.2

123456789101112

8.[多选]如图所示，三个质量相等的小球a、b、c从图示位置分别以相同的速度v0水

平向右抛出，最终都能到达D(3L，0)点.不计空气阻力，x轴所在处为地面，则可判

断a、b、c三个小球(

ABC

)A.初始时刻纵坐标之比为9：4：1B.在空中运动过程中，重力做功的平均功率之比为3：2：1C.在空中运动过程中，速度变化率之比为1：1：1D.到达D点时，重力做功的瞬时功率之比为1：1：1ABC123456789101112

1234567891011129.[多选]如图甲所