2025版高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.4弦切角的性质练习含解析新人教A版选修4-1

PAGE2-四弦切角的性质课时过关·实力提升基础巩固1如图,已知AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为()A.105° B.115° C.120° D.125°解析如图,连接BD.∵PC与☉O相切,∴∠BDC=∠BCP=25°.∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+25°=115°.答案B2如图,PQ为☉O的切线,A是切点,若∠BAQ=55°,则∠ADB=()A.55° B.110° C.125° D.155°解析∵PQ是切线,∴∠C=∠BAQ=55°.∵四边形ADBC内接于圆,∴∠ADB=180°-∠C=180°-55°=125°.答案C3如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE等于()A.14° B.38° C.52° D.76°解析∵EC为☉O的切线,∴∠BCE=∠BAC=12∠BOC=答案B4如图,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于()A.32° B.42° C.52° D.48°解析连接AC,如图.∵MN切☉O于点C,BC是弦,∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.∴∠B+∠BCM=90°,∴∠B=90°-∠BCM=52°.答案C5如图,AD切☉O于点F,FB,FC为☉O的两弦,请列出图中全部的弦切角

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答案∠AFB,∠AFC,∠DFC,∠DFB6如图,AB是☉O的直径,直线CE与☉O相切于点C,AD⊥CE于D,若AD=1,∠ABC=30°,则☉O的面积是.

解析∵DE是切线,∴∠ACD=∠ABC=30°.又AD⊥CD,∴AC=2AD=2.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.又∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,∴OA=12AB=2∴☉O的面积为S=π·OA2=4π.答案4π7如图,AB是☉O的弦,CD是经过☉O上的点M的切线.求证:(1)假如AB∥CD,那么AM=MB;(2)假如AM=BM,那么AB∥CD.证明(1)∵CD切☉O于点M,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B.∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A,∴∠A=∠B,∴AM=MB.(2)∵AM=BM,∴∠A=∠B.∵CD切☉O于点M,∴∠CMA=∠B.∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.8如图,四边形ABED内接于☉O,AB∥DE,AC切☉O于点A,交ED延长线于点C.求证:AD∶AB=DC∶BE.分析求证成比例的四条线段在两个三角形△ACD和△ABE中,所以只要证明△ACD∽△AEB即可.证明∵四边形ABED内接于☉O,∴∠ADC=∠ABE.∵AC是☉O的切线,∴∠CAD=∠AED.∵AB∥DE,∴∠BAE=∠AED.∴∠CAD=∠BAE,∴△ACD∽△AEB.∴AD∶AB=DC∶BE.9如图,已知圆上的AC=BD,过点C的圆的切线与BA的延长线交于点E.(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.分析(1)证明这两个角都等于∠ABC;(2)转化为证明△BDC∽△ECB.证明(1)∵AC=BD,∴∠BCD=∵EC与圆相切于点C,∴∠ACE=∠ABC.∴∠ACE=∠BCD.(2)∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,∴△BDC∽△ECB.∴BCBE即BC2=BE·CD.10如图,AB是半圆O的直径,C是圆周上异于点A,B的一点,过点C作圆O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,垂足为点D,AD交半圆于点E.求证:CB=CE.分析转化为证明∠CBE=∠CEB.证明(方法一)连接BE,如图.因为AB是半圆O的直径,点E为圆周上一点,所以∠AEB=90°,即BE⊥AD.又因为AD⊥l,所以BE∥l.所以∠DCE=∠CEB.因为直线l是圆O的切线,所以∠DCE=∠CBE.所以∠CBE=∠CEB,故CE=CB.(方法二)连接AC,BE,在DC延长线上取一点F,如图.因为AB是半圆O的直径,C为圆周上一点,所以∠ACB=90°,即∠BCF+∠ACD=90°.因为AD⊥l,所以∠DAC+∠ACD=90°,所以∠BCF=∠DAC.因为直线l是圆O的切线,所以∠CEB=∠BCF.又∠DAC=∠CBE,所以∠CBE=∠CEB.所以CE=CB.实力提升1如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,若AD=2,AB=6,则AC的长为()A.2 B.3 C.23 D.4解析连接BC,如图.∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.∴△ADC∽△ACB.∴ABAC∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=23.答案C★2如图,已知∠ABC=90°,O是AB上一点,☉O切AC于点D,交AB于点E,B,连接DB,DE,OC,则图中与∠CBD相等的角共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析∵AB⊥BC,∴BC与☉O相切,BD为弦.∴∠CBD=∠BED.同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB.连接OD.∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△COD≌Rt△COB.∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD.又DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC,∴∠CBD=∠BOC.∴与∠CBD相等的角共有3个.答案C3如图,AB是☉O的直径,PB,PE分别切☉O于点B,C,若∠ACE=40°,则∠P=.

解析如图,连接BC,则∠ACE=∠ABC,∠ACB=90°.又∠ACE=40°,则∠ABC=40°.所以∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°,∠ACP=180°-∠ACE=140°.又AB是☉O的直径,则∠ABP=90°.又四边形ABPC的内角和等于360°,所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°.所以∠P=80°.答案80°4如图,已知圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过点C作圆的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为点D,则线段CD的长为.

解析∵直线l是圆O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是直径,∴AC⊥BC.∵BC=3,AB=6,∴∠ABC=60°.∴AC=33.又∠ACD=∠ABC,∴∠ACD=60°.又AD⊥l,∴CD=ACcos60°=33答案35如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过点A作两圆的切线,分别交两圆于C,D两点,若BC=2,BD=4,则AB的长为.

解析∵AC,AD分别是两圆的切线,∴∠C=∠BAD,∠D=∠BAC.∴△ACB∽△DAB.∴BCBA∴AB2=BC·DB=2×4=8.∴AB=22(负值舍去).答案226如图,BA是☉O的直径,AD是☉O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交☉O于点E,C,连接CE.求证:BE·BF=BC·BD.分析要证BE·BF=BC·BD,只需证BEBD=BCBF,即证明△BEC∽△BDF.由∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作证明如图,过点B作☉O的切线BG,则AB⊥BG.又AD是☉O的切线,∴AD⊥AB,∴BG∥AD,∴∠GBC=∠BDF.∵∠GBC=∠BEC,∴∠BEC=∠BDF.又∠CBE=∠DBF,∴△BEC∽△BDF.∴BEBD=BCBF.∴BE7如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,直线MN切☉O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.求证:(1)△ABE≌△ACD;(2)BE=BC.分析(1)由已知,得∠ABE=∠ACD,只需证明∠BAE=∠CAD,转化为证明∠BAE=∠CDB,∠CDB=∠DCN,∠DCN=∠CAD.(2)转化为证明∠BEC=∠ECB.证明(1)∵BD∥MN,∴∠CDB=∠DCN.又∠BAE=∠CDB,∴∠BAE=∠DCN.又直线MN是☉O的切线,∴∠DCN=∠CAD.∴∠BAE=∠CAD.又∠ABE=∠ACD,AB=AC,∴△ABE≌△ACD.(2)∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC,∴∠EBC=∠BDC.∴CB=CD.∵∠BEC=∠EDC+∠ECD,∠ECD=∠ABE,∴∠BEC=∠EBC+∠ABE=∠ABC.又AB=AC,∴∠ABC=∠ECB.∴∠BEC=∠ECB.∴BE=BC.★8如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.(1)摸索究∠BCP与∠P的数量关系.(2)若∠A=30°,则PB与PA有什么关系?(3)∠A可能等于45°吗?为什么?解(1)∵PC是切线,∴∠BCP=∠A.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.在△ACP中,∠A+∠P+∠ACP=180°,∴∠BCP+∠P+∠ACB