高二数学模拟试题及答案

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文档简介

高二数学模拟试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[30]分）

1.已知函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，则其定义域为（）

A.$(-1,1)$

B.$[-1,1]$

C.$[-1,1]$

D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

2.若$a>0$，$b>0$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$的充要条件是（）

A.$a<b$

B.$a>b$

C.$a=b$

D.无法确定

3.已知$\sinA+\sinB=\sinC+\sinD$，则下列结论正确的是（）

A.$A+B=C+D$

B.$A-B=C-D$

C.$A+B=C+D+\pi$

D.$A-B=C-D+\pi$

4.设$a>0$，$b>0$，$c>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3$的充要条件是（）

A.$a=b=c$

B.$a\neqb\neqc$

C.$a=b$或$b=c$或$c=a$

D.无法确定

5.若$a^2+b^2+c^2=3$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq3$的充要条件是（）

A.$a=b=c$

B.$a\neqb\neqc$

C.$a=b$或$b=c$或$c=a$

D.无法确定

6.若$x_1,x_2,x_3$是等差数列$\{x_n\}$的前三项，且$x_1+x_2+x_3=9$，则$\{x_n\}$的公差$d$的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题（每题[5]分，共[30]分）

1.若$a^2+b^2+c^2=1$，则$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq\frac{3}{4}$的充要条件是$a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$。

2.若$x_1,x_2,x_3$是等差数列$\{x_n\}$的前三项，且$x_1+x_2+x_3=9$，则$\{x_n\}$的公差$d$的值为3。

3.若$\sinA+\sinB=\sinC+\sinD$，则$A+B=C+D$。

4.若$a>0$，$b>0$，$c>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3$的充要条件是$a=b=c$。

5.若$a^2+b^2+c^2=3$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq3$的充要条件是$a=b=c$。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

1.已知$a>0$，$b>0$，$c>0$，求证：$a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca$。

2.已知$\sinA+\sinB=\sinC+\sinD$，求证：$A+B=C+D$。

3.已知$a>0$，$b>0$，$c>0$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3$。

4.已知$a^2+b^2+c^2=3$，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq3$。

四、解答题（每题[10]分，共[30]分）

1.已知$a>0$，$b>0$，$c>0$，求证：$a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca$。

证明：

由基本不等式得：$a^2+b^2\geq2ab$，$b^2+c^2\geq2bc$，$a^2+c^2\geq2ac$。

将上述不等式相加得：$2a^2+2b^2+2c^2\geq2ab+2bc+2ac$。

两边同时除以2得：$a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca$。

当且仅当$a=b=c$时，等号成立。

2.已知$\sinA+\sinB=\sinC+\sinD$，求证：$A+B=C+D$。

证明：

由正弦定理得：$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=\frac{d}{\sinD}$。

将$\sinA+\sinB=\sinC+\sinD$代入正弦定理中得：$\frac{a}{\sinA}+\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}+\frac{d}{\sinD}$。

整理得：$ab=cd$。

由余弦定理得：$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$。

将$ab=cd$代入余弦定理中得：$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$。

两边同时乘以$\cosA\cosC$得：$a^2\cosA=b^2\cosA+c^2\cosA-2bc\cosA\cosA$，$c^2\cosC=a^2\cosC+b^2\cosC-2ab\cosA\cosC$。

整理得：$a^2\cosA-b^2\cosA=c^2\cosC-a^2\cosC$，$b^2\cosC-c^2\cosC=a^2\cosA-b^2\cosA$。

两边同时除以$\cosA\cosC$得：$a^2-b^2=c^2-a^2$，$b^2-c^2=a^2-b^2$。

两边同时除以$a^2-b^2$得：$1=\frac{c^2-a^2}{a^2-b^2}$，$1=\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}$。

两边同时乘以$a^2-b^2$得：$c^2-a^2=a^2-b^2$，$b^2-c^2=a^2-b^2$。

两边同时加上$a^2+b^2$得：$a^2+b^2+c^2-a^2=a^2+b^2+c^2-b^2$，$a^2+b^2+c^2-b^2=a^2+b^2+c^2-c^2$。

两边同时除以2得：$A+B=C+D$。

当且仅当$A+B=C+D$时，等号成立。

3.已知$a>0$，$b>0$，$c>0$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3$。

证明：

由算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）得：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}$。

化简得：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3\sqrt[3]{1}$。

即：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3$。

当且仅当$a=b=c$时，等号成立。

4.已知$a^2+b^2+c^2=3$，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq3$。

证明：

由柯西不等式得：$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\leq(a+b+c)(1+1+1)$。

化简得：$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\leq3(a+b+c)$。

两边同时开方得：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\sqrt{3(a+b+c)}$。

由均值不等式得：$a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$。

代入得：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\sqrt{3\cdot3\sqrt[3]{abc}}$。

化简得：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}$。

两边同时立方得：$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^3\leq27\sqrt{abc}$。

两边同时开立方得：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq3\sqrt[3]{abc}$。

由算术平均数-几何平均数不等式得：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}$。