大学概率习题大全及答案

第一章随机事件及其概率

第三节事件的关系及运算

一、选择

1.事件A8表示(C)

(A)事件A与事件3同时发生(B)事件A与事件3都不发生

(C)事件A与事件8不同时发生(D)以上都不对

2.事件A3,有AuB,那么AU8=(B)

(A)A(B)B(C)~AB(D)AJB

二、填空

1.设表示三个随机事件，用A,良。的关系和运算表示⑴仅A发生为A83

⑵4,8,C中正好有一件发生为ABC+ABC+ABC⑶A8,C中至少有一件发生为

4U3UC

第四节概率的古典定义

一、选择

1.将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇

数的概率是(B)

331

(A)-(B)-(C)-⑴)

2510To

二、填空

1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，那么其中有并且只有一只红球

l]

的概率为cc当=3

5

2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为38把

10!

3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，那么最强的两

r'r9in

个队被分在不同组内的概率为一寸=U

19

三、简答题

1.将3个球随机地投入4个盒子中，求以下事件的概率

(1)止一任意3个盒子中各有一球；［2)於一任意一个盒子中有3个球;

(3)C--任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。

解:⑴尸⑷:竽.⑵尸⑹⑶小)=竿吟

第五节概率加法定理

一、选择

1.设随机事件A和8同时发生时，事件。必发生，那么以下式子正确的选项是(C)

(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A)+P(B)

(C)P(C)>P(A)+P(3)-1(D)P(C)<P(A)+

2.P(4)=P(B)=P(C)=P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=—。那么事件A、

416

5、C全不发生的概率为(B)

235

(A)-(B)-(O-(D)-

8888

事件A、8满足条件P(A3)=P(N5),且P(A)=〃，那么尸(8)=(A)

(A)1-p(B)p(C)K(D)l-K

22

二、填空

1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球，那么其中至少有一只红球的概率为

2.掷两枚筛子，那么两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为

3.袋中放有2个伍分的钱币，3个贰分的钱币，5个壹分的钱币。任取其中5个，那么

总数超过一角的概率是C.5

三、简答题

1.一批产品共20件，其口一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取

3

件，求：(1)取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；

(2)取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。

解：设事件4表示取出的3件产品中有2件i等品，其中i=2,3；

(1)所求事件为事件劣、A2、A,的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故

(2)设事件A表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件A表示取出的3

件产品中等级各不相同,那么尸(A)=l—不值)=1=0.779

第六节条件概率、概率乘法定理

一、选择

1.事件A3为两个互不相容事件，且P(A)>0,尸(3)>0,那么必有(B)

(A)P(A)=1-P(B)(B)P(A|B)=0

(C)P(A|豆)=1(D)P(A\B)=1

2.将一枚筛子先后掷两次，设事件A表示两次出现的点数之和是10,事件8表示第一

次出现的点数大于第二次，那么P(@A)=(A)

1125

(A)-(B)-(C)-(D)-

3456

3.设A、5是两个事件，假设8发生必然导致4发生，那么以下式子中正确的选项是

(A)

(A)P(AU8)=P(A)(B)P(AB)=P(A)

(0P^A)=P(B)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)

二、填空

1.事件A的概率P(A)=0.5,事件8的概率P(8)P(B[4)=0.8,那么和事件AU3的

概率P(AUB)=

2.AN是两事件，P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(B\A)=0.6,那么

P(A|AUB)=^1=0.577

三、简答题

1.猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，那么进行

第二次射击，但由于动物逃跑而使距离便成为150米；如果第二次乂未击中，那么进行

第三次射击，这时距离变为200米。假定最多进行三次射击，设击中的概率与距离成反

生如果会解这道题，那么一定能选出正确答案；如果他不会解这道题，那么不妨任选一

个答案。假设，那么考生选出正确答案的概率为

三、简答题

1.0.1.一O

解:设4="每箱有i只次品"（i=0,1,2,）,"买下该箱〃.

2.一工厂有两个车间，某天一车间生产产品100件，其中15件次品；二车间生产产品

50件，其中有10件次品，把产品堆放一起（两车间产品没有区分标志），求：（1）从该

天生产的产品中随机取一件检查，它是次品的概率；12）假设已查出该产品是次品，那

么它是二车间生产的概率。

解：（1）设事件“取的产品来自1车间〃为4,事件“取的产品来自2车间〃为A2,

“从中任取一个是次品〃为B,

P（AB）P（B|A）P（A）^2

⑵222

尸（4超）=P（B）-P（B）-5

3.及。由于通信系统受到干扰，当发出信号“•〃”•〃及”-〃；又当发

出信号”-〃”-〃及”・〃。

求：（1）当收报台收到信号”•〃时，发报台确系发出信号”•〃的概率；

（2）当收报台收到信号“-〃时，发报台确系发出信号”-〃的概率。

解：设事件A表示发报台发出信号“•〃，那么事件，表示发报台发出信号；

设事件3表示收报台收到信号”•〃，那么事件与表示收报台收到信号：

根据题设条件可知：P（A）=0.6,P（A）=0.4；

尸（8卜）=0.8,P（甲）=0.1；P（司A）=0.2,P（不）=0.9；

应用贝叶斯公式得所求概率为：

P（AB）P⑷P（@A）0.6x0.8

（1）P（AB）=

P（B）P（A）P（B|A）4-P（A）P（B|A）0.6x0.8+0.4x0.1

P画）—尸（入）尸（石口）_0.4x0.9

⑵P（布）=

P（B）P（A）P（B|A）+P（A）P（B\A）0.4x0.9+0.6x0.2

第八节随机事件的独立性

一、选择

1.设P(4)=0.8,P⑻=0.7,P(A忸尸0.8,那么以下结论正确的选项是(C)

(A)事件A与8互不相容(B)AuB

(0事件A与8互相独立(D)P(AUB)=P(A)+P(B)

2.设A、B是两个相互独立的随机事件，P04)，(3)>0,那么P(AUB)=(B)

(A)P(71)+P(B)(B)\-P(A)P(B)

(C)14-P(A)-P(B)(D)1-PCAB)

二、填空

1.设A与5为两相互独立的事件，P(AUB)=0.6,尸(A)=0.4,那么。(5)二」

q

2.加工某一零件共需经过三道工序。设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%、3%、

5%o假定各道工序是互不影响的，那么加工出来的零件的次品率是0.09693

三、简答题

1.一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9,

第二台等于0.8,第三台等于0.7。求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管

的概率。

解：设事件4表示第i台车床不需要照管，事件%表示第i台车床需要照管，2,

3),

根据题设条件可知：尸(A)=o.9,p(A)=0.1

设所求事件为B,那么P(B)=P(A,A2A3+444+4用A3+AAA)

根据事件的独立性和互不相容事件的关系，得到：

2.如以下图所示，设构成系统的每个电子元件的可靠性都是〃((KK1),并且各个元件

能否正常工作是相互独立的，求系统(1)和(2)的可靠性。

(1)(2)

解：(1)〃3(2一〃3)；(2)(2p-p2)3

第九节独立试验序列

一、选择

1.每次试验成功率为〃(0<〃<1),进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功

的概率为(B)

(A)C,>4(l-p)6⑻C；p4(l—p)6(C)C"4(l—p)5(D)C；p3(l—p)6

二、填空

1.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875,那么这射手在一次射击中命中的

概率为

19

2.设在三次独立试验中，事件AA至少出现一次的概率等于行，那么事件A在一次试

验中出现的概率为1/3

三、简答题

1.射击运动中，一次射击最多能得10环。设某运发动在一次射击中得10环的概率为0.4,

得9环的概率为0.3,得E环的概率为0.2,求该运发动在五次独立的射击中得到不少

于48环的概率。

解：设事件A表示5次射击不少于48环，事件4表示5次射击每次均中10环，事件A2

表示5次射击一次中9环，4次中10环，事件&表示5次射击2次中9环，3次中10

环，事件4表示5次射击一次中8环，4次中10环，并且4，42，43,4两两互不相

容，由于每次射击是相互独立的，

那么所求概率P(A)=尸(|JAJ=£P(Ai)

/=1/=i

第二章随机变量及其分布

第二节离散随机变量

一、选择

1设离散随机变量X的分布律为：P{X=k}=bN，(k=1,2,3,…)，

二、填空

1如果随机变量X的分布律如下所示，那么c=.

X0123

2进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为上失败的概率为L将试验

55

进行到出现一次成功为止，以X表示所需试验次数，那么X的分布律是

.（此时称X服从参数为p的几何分布）.

解:X的可能取值为1,2,3,｛乂=心=｛第1~犬-1次失败,第长次成功｝.

所以X的分布律为P｛X=K｝=（一）”】•一，K=l,2,・・・

三、简答

1一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出

的3个球中的最大号码，试求X的概率分布.

X|345

D133

10105

2一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有绿路灯信号的路口，每个信号

灯为红和绿与其他信号为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，

以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布.

X|0123

1111

P5初尹尹

第三节超几何分布二项分布泊松分布

一、选择

1甲在三次射击中至少命中一次的概率为，那么甲在一次射击中命中的概率p=.

解:D

设X=〃三次射击中命中目标的次数〃，那么X〜

P(X>1)=1-P(X=0)=l-(l-p)3=0.936,

解之得(1一p)3=0.064=1一，=0.4=〃=0.6

2设随机变量x〜伙2,〃),y〜伙3,〃),若P{XNI}=3,则p{y>i}=______.

9

解:D

设X=〃三次射击中命中目标的次数〃，那么X〜B(3,p),

P(X>1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.936,

解之得(1-pY=0.064=1-〃=0.4=〃=0.6

二、填空

1设离散随机变量X服从泊松分布，并且

P{X=1}=P{X=2},则P{X=4}=.

解:D

设X=〃三次射击中命中目标的次数〃，那么X〜

P(X>1)=1-P(X=0)=l-(l-p)3=0.936,

解之得(1一〃)3=0.064=>1-p=0.4=>〃=0.6

三、简答

1.某地区的月降水量X(单位：mm)服从正态分布N(40,4?),试求该地区连

续10个月降水量都不超过50mm的概率.

2某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为九的泊松分布，即

X〜P"),据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交

通事故的概率的2.5倍.

⑴求1个月内发生8次、10次交通事故的概率；

(2)求1个月内至少发生1次交通事故的概率；

(3)求1个月内至少发生2次交通事故的概率；

第五节随机变量的分布函数

填空题

<-ion

1设离散随机变量X〜111,那么X的分布函数为.

U62)

一您拜

1设耳(X)与F2(X)分别为随机变量X与X2的分布函数，为使

尸(人)=41(人)-。尼(人)是某一变量的分布函数，在以下给定的数值中应取

0,x<0

2.设函数F(x)=(x/2,04乂<1.那么尸(幻.

1,x>1

(A)是随机变量的分布函数.(B)不是随机变量的分布函数.

(C)是离散型随机变量的分布函数.(D)是连续型随机变量的分布函数.

解:A

显然F(x)满足随机变量分布函数的三个条件：

⑴FQ)是不减函数，⑵04/。)〈1,且/(­)=0,/(+>0)=1,⑶

F(x+0)=F(x)

Qx<(*)

x2

3.设/")二，丁(*)<X<2当(*)取以下何值时，Rx)是随机变量的分布函

1,x>2

数.

(A)0(B)0.5(C)1.0

解:A只有A使F(x)满足作为随机变量分布函数的三个条件.

三.简答

1设随机变量X的分布.函数为/(x)=A+Barctanx,求A,B的值.

解油随机变量分布.函数的性质

limF(x)=0.limF(x)-1.知

冗71

0=limF(x)=lim(A+Barctanx)=A+Bx(-----)=A-----B.

XTfXTF22

1=limF(x)=lim(A+Barctanx)=A+Bx—=A+—B.解

XT+OOA->+»'22

A--B=O,,

2得A」,8=_

A4ni271

A+—B=1

2

第六节连续随机变量的概率密度

二、选择

1.设/。）、F（x）分别表示随机变量X的密度函数和分布函数，以下选项中错误的选

项是（A)

(A)0</(x)<l(B)0<F(x)<I

(C)[f\x)dx=1⑴)fM=F(x)

J-co

2.以下函数中，可为随机变量X的密度函数的是（B)

71

sinA:,0<X<7Tsinx,0<x<

(A)/(%)=<(E)fM=<2

0,其它

、°，其它

sinx,0<x<—

©/(x)=2(D)/(x)=sinx,-00<x<+8

0,其它

二、填空

X的分布函数为

1

(1)P(-1<X<1)=⑵概率密度/（x）=----------,-00<X<+8

71(X2+1)

三、简答题

1.设随机变量X的概率密度

求：（1）常数A；（2）概率P（X21）。

答案(1)-(2)0.9197

2

2.设随机变量X的概率密度

求：⑴常数C；⑵概率尸（凶了0.5）；⑶分布函数/（X）。

0,x<-\

1

—(1+x)~7,-\<x<0

答案(1)1；(2)0.75；⑶尸(%)=<

0<x<l

1,x>\

3.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目的地的距离X(m)的概率密度

如果弹着点距离目标不超过50根时，即可摧毁目标。求：

求：(1)发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；

(2)至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95?

答案(1)0.6321(2)M>3O

4.随机变量X的概率密度

/(X)=；”国，-00<X<+20,

求：分布函数尸(X)。

x>0

答案F(X)=\:

5.随机变量X的概率密度

2

假设Z使得P(X2k)=±,那么攵的取值范围是

3

答案1工攵43

第七节均匀分布、指数分布

三、选择

1.在区间上服从均匀分布的随机变量X的密度函数是(B)

[3,-l<x<2〃-1<x<2

(A)/(x)=,〔。，其它⑻小厂3

0,其它

(C)/(%)=3,-8Vxv+8(D)/(])=■1,-oo<x<+oo

2.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X的密度函数是(C)

(A)/")=卜"，⑻

/(x)=2e~2\-co<x<+oo

0,x<0

1-L

(C)/(x)=b5X>Q(D)/(x)=—e2,-oo<x<+oo

0,x<0

二、填空

1.设随机变量X在在区间［-1,2］上服从均匀分布，那么

(1)P(-6<X<-1)=(L，(2)P(-4<x<l)=|,

(3)P(-2<x<3)=_L,(4)P(1<x<6)=g,

三、简答题

1.长度为/的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段

之比小于’的概率。

4

答案().4

2.修理某种机器所需的时间7(小时)服从指数分布&1),求：

U)在2小时之内修好的概率：

(2)如果已修理了小时，在以后的2小时之内修好的概率。

答案(1)0.8647(2)0.8647

3.设随机变量X在区间［2,5］上服从均匀分布，对进行三次独立观测，试求至少有两次

观测值大于3的概率。

答案0.741o

4.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位：〃)都服从同一指数分布,

概率密度为

试求：在仪器使用的最初的200〃内至少有一只电子元件损害的概率。

答案1-八0.6321

第八节随机变量函数的分布

四、选择

1.设随机变量X的概率密度为

那么随机变量y=2X的概率密度为(D)

2"。y>02/2、y>Q

(A[加y)=«⑻加y)=«

、°，y<0o,y<0

",y>0,、[e-yy>0

©人(y)=<,(D)

、°，y<()o,y<0

2.设随机变量X的概率密度为

那么随机变量），=-2X的概率密度为（C)

y>°⑻加-y,y>0

（A）启），）=，

,0,y<()o,y<()

f0,y>0加y)"0,y>0

©衣()，)=,,(D)

W，y<0y<0

二、简答题

1.设随机变量X服从二项分布8（3,0.4）,求以下随机变量函数的概率分布:

(1)Y=2X-i：2)Y=X2-X⑶y=X(X+1)

2

答案

求以下随机变量的概率密度

(1)Y=1+2X(2)Y=1-2X(3)Y=X2

答案

-——-,1<y7<3丁，-\<y<\

⑴2(2)/v(y)=,

0,其它0,其它

1,()<y<1

⑶人(y)=n

u.其它

3.设随机变量x在区间［0,2］上服从均匀分布，求随机变量函数y=x3的概率密度。

12

-yO<y-<8

63

答案4(y)=<

其

O它

，

4.设随机变量X在服从指数分布e（Z）,其中4>0,求随机变量函数丫=e'的概率密

度。

y>i

答案人（>'）={

0,)"i

5.设随机变量X的概率密度为

1

fxM=-----—,一8cx<+8,

%(1+马

求：随机变量y=i—的概率密度力,（），）。

3(1—4

答案f(y)=-co<y<+oo

Y%[l+(l_y)61

6.设随机变量X在区间［L2］上服从均匀分布，求随机变量函数丫=*的概率密度。

1

9<y<e4

答案衣(y)=2y

0,其它

第九节二维随机变量的联合分布

五、选择题

x>0,y>0;

1.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为/（羽y）=〈

0,其他.

那么P(X<Y)=

(A)

(A)(B)©(D)

2.二维随机变量(X,y)的联合分布函数/(x,y)以下哪个随机事件的的概率？(B)

(A)(X<x)u(y<y)(B)(X<x)n(K<y)

(C)X<x+y(D)X<x-y

二、填空

i.下表列出了二维随机变量(x,y)联合分布律及关于x和关于y的边缘分布律中的

部

分数值，试将其余值填入表中的空白处

%%P{X=x.}=p.

1J_1

西

248124

]_3]_2

X

28844

P{y=y}

t[j_J

1

=pj623

(X,Y)的联合分布函数为

那么系数4=-4,5=-,c=-,(X,y)的联合概率密度为

7T22

/(x,y)=―—%~~--力----o

二(八领丁一玲

3.二维随机变量(X,y)的联合概率密度为/(x,y),R为一平面区域，那么(x,y)的

联合分布函数F(x,y)=J：J：/(x,y)dydx,P((X,/)€/?)=jj/(x,y)dxdy,曲面

-----------------------R

z=尸(x,y)叫做分布曲面,F(+co,-Ko)=1,F(x,-co)=0,F(-co,y)=

0_,F(-o),-oo)=Oo

三、计算题。

1.随机变量X1和X?的概率分布

而且P{X}X2=0)=1.«X,和X2的联合分布。

解：

已一'

2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为/(x,y)=《‘0七<X八<JV

1'0,其他

m求P{X+YK1}；(2)求联合分布函数尸(x,y)。

1lx_1

解(1)P{X+Y<1]=J/(x,y)dxdy=jJe-ydy=14-e-1-2e^

x+yMl

⑵F(.r,>0=J'j'/(x,y)dydx=<端

J-Jyo,其他

3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

试求(1)常数A；(2)概率P(0WX《1,06丫<2).

解：(1)由于「'"(尤)，)=1,

J-c©J-X

故公办=9=1，所以A=2

2(x+2y)

(2)P(0<X<1,0</<2)=J'drj(2e-dy=(1-e-1)(1-)

第十节二维随机变量的边缘分布

六、选择题

1.设二维离散随机变量(X,y)的联合概率函数为P(玉，匕)，那么x的边缘概率函数

4(%)为

(A)

(A)»(%，匕)⑻2尸(如为)©ZPE，X)⑴)以上都不对

2.(x,y)为二维连续随机变量，对任意的实数工，函数尸(x4x,y<+8)为(B)

（A）随机变量y的边缘分布函数（B）随机变量X的边缘分布函数

to（x,y）的联合分布函数⑴）以上都不对

二、填空

1.设二维随机变量（X,V）的联合分布函数为

1|r

那么X的边缘分布函数为弓（x）=一+—arctan二,丫的边缘概率密度为

2712

2.设二维随机变量（X,y）的联合分布函数为F（x,y），那么随机变量X的边缘分布函

数为4（x）=/（羽+00）,随机变量y的边缘分布函数为6（y）=F（+00,y）o

3.设二维随机变量（X,F）的联合概率密度为/（x,y）,那么随机变量X的边缘概率密

度为fx（x）=J："（X，）'功、随机变量Y的边缘概率密度为fY（y）=「/（羽）'世。

三、计算题

P-->0<x<v

1.设二维随机变量（X,y）的联合概率密度为=<"，求X的边

0,其他

缘概率密度xWo

v

tr+8.e,x>0

解x>00\t,(x)=je'dy=e\x<0B'J',fx(x)=0故£。)=<

0,x<()

2e-(r+2v),x>0,y>0

2.二维随机变量（X,丫）的联合概率密度为/（x,y）=〈

0,其他.

求随机变量x和y的边缘概率密度。

x>02e-2v,y〉0

解f

x(x)="0,1w。'加上

.0,y<Q

第-H-随机变量的独立性

七、选择题

2x,0<x<1

1.设相互独立的随机变量X和Y的概率密度分别为fxM=<

0,其他

〃[e-v,y>0

>，)=[0,其他那么//的二次方程-2Xu+y=o具有实根的概率是(A)

(A)/(B)1©I(D)/

二、填空

1.设二维随机变量(x,y)的联合分布函数为

那么随机变量x与y独立(填独立或不独立)。

2.独立连续随机变量的联合分布函数等于它们的边缘分布函数的乘积,独立连续随

机变量的联合概率密度等于它们的边缘概率密度的乘积,独立离散随机变量的联合概

率函数等于它们的边缘概率函数的乘积。

三、计算题

1.随机变量X1和X2的概率分布

而且RX】x?=0}=1.问％和x2是否独立？为什么？

解：因为尸{X|=0,X2=0)=0,P[X,=0}P{X2=0}=；。0,所以X1和X2不独立。

2e-(r+2v),x>0,y>0

2.二维随机变量(X,y)的联合概率密度为/(A,y)=

0,其他

随机变量x和y是否独立?

,x>02e-2y,y>0

解由于

x<()0,y<0

故/(x,y)=人(x)加丁)

所以随机变量x和y独立。

第三章随机变量的数字特征

第一节数学期望

八、选择

1.掷6颗骰子，令X为6颗骰子的点数之和，那么E(X)=(D)

(A)42(B)21/2(C)7/2(D)21

2.对离散型随机变量X,假设有P（X=%）=%（Z=1,2,3「）,那么当（B）时,

称为X的数学期望。

£=1

0000

（A）±ZP&收敛⑻EkE收敛（C）{%}为有界函数（D）lim£p*=。

Jl=lt=lI8

二、填空

14-X,-1<X<0,

1.设随机变量X的概率密度为=—那么E（X）=_Q。

0,其它，

区a0<r<1

2.设连续型随机变量X的概率密度为/（x）={''其中〃,a、0,又

。，匕，

E（X）=0.75,那么A=3，«=2_o

三、简答题

1.把4个球随机地放入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E（X）。

解=。=。）4哈?（x=1）=警噜

WX_2注《⑵_2)_21p(x=3)=G」

(44~64，(-〜-日

44

八63621181

所以E(X)=0x一+lx一+2x—+3x—=一

'/6464646464

2

12y,0苴<士y<x<1,，求,、七(，X)、用/V)、。

2.设（X,Y）的联合概率密度为/（x,y）=n

U,反匕，

解：E(X)=JJxf(x,y\lxdy=£xdx^12y-dy=-,同理七(丫)=3。

0<y<x<)0°55

第二节随机变量函数的数学期望

一、填空

1.设随机变量X服从参数为1的指数分布,那么数学期望E（X+-2X）=4/30

2.设随机变量X服从二项分布8（3,0.4）,那么E（X2）=。

二、简答题

x和y相互独立，概率密度分别为

求随机变量函数z=x+y的数学期望。

e~x~yx>0v>0

解：因为x和y相互独立，所以/（x,y）=.fx（x）.fy（y）=<‘七一/

0,其匕，

=1+1=20

2.按季节出售某种应时商品，每售出1kg获利润6元,如到季末尚有剩余商品，那么每

总净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X（以依计）是一随机变量，X

在区间（8,16）内服从均匀分布，为使商店所获得利润最大，问商品应进多少货？

解：设/表示进货量，易知应取8<，<16,进货/所得利润记为叱（X）,且有

利润叱（X）是随机变量，如何获得最大利润？自然取“平均利润〃的最大值，即求/

使得石［叱（X）］最大。X的概率密度为7（x,y）=<'

0,其它，

令”）］:

14-r=0,得，=14。

dt

而—H—-=-i<o,

dr

故知当1=14时，E［叱（X）］取得极大值，且可知这也是最大值。

所以，进货14依时平均利润最大。

第三节关于数学期望的定理

一、填空

23

1.离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布P（X=z）=^—,攵=0,1,2,,

k\

那么随机变量Z=3X—2的数学期望E（Z）=^^^o

2.设X服从泊松分布，E［（X-1）（X-2）］=1,那么E（X）=1。

X表示10次独立重复射击命中目标的次数，，每次射中目标的概率为0.4,那么X?的

数学期望石（X2）=18.4o

二、简答题

1.设（X,y）在A上服从均匀分布，其中A为X轴，y轴及直线x+y+l=0所围成的区

域，求E（—3X+2F）。

解：因为A的面积为:，所以（x,y）的概率密度为

2.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车

站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求E（X）。（设每位旅客在各个车站

下车是等可能的，并设旅客是否下车相互独立）

解：引入随机变量

］0,在第谢没有人下车，

'11,在第，站有人下车，

易知X=XI+X?++X10,现在来求E（x）。

/oA20(9A20

按照题意，P{Xi=0}=—P{xi=\}=\-

<oV°

所以E(Xj=l------,/=l,2,..,10

(o

进而E(X)=E(X1+X2++X10)=101------=8.784

第四节方差与标准差

九、选择

i.对于任意两个随机变量x和y,假设E(xy)=E(x)E(y),那么(B)

(A)D(XY)=D(X)D(Y)(B)D(X+/)=O(X)+D(Y)

(c)x和y独立(D)x和y不独立

2.设两个相互独立的随机变量X和y的方差分别是4和2,那么随机变量3X-2Y的

方差是(D)。

(A)8(B)16(C)28(D)44

3.设随机变量J和〃相互独立，又X=2J+5,丫=3〃—8,那么以下结论不正确的选

项是(B)

(A)。(X+y)=40(9+90(77)(B)D(X-Y)=4。(乡一9D(7?)

(C)E(X+r)=E(X)+E(r)(D)E(XY)=E(X)E(Y)

二、填空

1,X>0,

i.设随机变量x在区间[一1,2]上服从均匀分布，随机变量y={o,x=o,那么方

[-1,x<o,

差o(y)=8/9o

2.设X是一随机变量,£(X)=1,E[X(X-1)]=4,那么。(X)=4。

三、简答题

1.设(X,y)的联合概率密度为=VL,求。(X)。

0,其匕，

解：E(X)=jJy)dxdy=£1y2dy=—,

E(X2)=匚J二x"(x,y)dxdy=£15/q;y2dy=1,

■X)=E(X»[E(X)了[嚏=息

第五节某些常用分布的数学期望与方差

十、选择

1.设x服从]c)分布，那么E(X)=E>(X)。

(A)正态(B)指数(C)泊松(D)二项

2.X服从二项分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44,那么二项分布的参数为(B)

(A)n=4,p=0.6⑻n=6,p=0.4

〔C〕〃=8,〃=0.3〔D〕n