特殊的平行四边形

18.2特殊的平行四边形第1课时矩形的性质第十八章平行四边形

1.如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，

F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（

D

）A.

O为矩形ABCD两条对角线的交点B.

EO＝FOC.

AE＝CFD.

EF⊥BD（第1题）D1234567892.

（2023·台州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上

取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长

为

⁠.（第2题）

1234567893.

（2024·福州期末）如图，四边形BFGE是矩形，EF，BG相交于点

O，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线与矩形的对角线EF

所在的直线重合，连接BD.

（1）求证：BD⊥BG.

（第3题）123456789（2）

当AB＝BE＝1时，求EF的长.

（第3题）（第3题答案）123456789

4.

（2023·兰州）如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上的一点，F

为CE的中点，以点B为圆心、BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点

G，连接BG.

若AB＝4，CE＝10，则AG的长为（

C

）A.

2B.

2.5C.

3D.

3.5（第4题）C1234567895.

（2023·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，

0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为邻边作矩形OABC.

动点

E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC

向终点A，C移动.当移动时间为4秒时，AC·EF的值为（

D

）A.

B.

9

C.

15D.

30（第5题）D1234567896.

（2024·晋中平遥二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，

以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，F是CD的中点，则EF

长的最大值为

⁠.（第6题）9

123456789

（第7题）

1234567898.

★如图①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是边AB，AC上的

高，M，N分别是线段BC，DE的中点，连接DM，ME，MN.

（第8题）（1）求证：MN⊥DE.

123456789（2）猜想∠A与∠DME之间的数量关系，并证明你的猜想.

123456789（3）如图②，当∠BAC变为钝角时，上述（1）（2）中的结论是否都

成立？若成立，请直接回答，无须证明；若不成立，请说明理由.

123456789

9.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC与BD交于点O，E

为BC上一点.（第9题）（1）

△BOC与△DOC的周长之差为

⁠.（2）连接AE，若AE平分∠BAD，则△ACE的面积为

⁠.2

6

123456789②

求BE的长.

（3）连接EO，当EO⊥OC时.①如果∠BCA＝α，那么∠BOE的度数为

（用含α的式子

表示）.90°－2α

（第9题）12345678918.2特殊的平行四边形第2课时矩形的判定第十八章平行四边形

1.

（2024·德州期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，

∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四

边形ABCD是矩形的为（

B

）A.

OA＝OCB.

AB＝CDC.

∠BCD＝90°D.

AD∥BC（第1题）B123456789102.如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，连接

AC，BD还要添加条件：

，才能保证四

边形EFGH是矩形（写出一个条件即可）.（第2题）答案不唯一，如AC⊥BD

123456789103.

（2024·西安期末）如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，MN经过AC的

中点O，分别交AB，CD于点M，N，连接AN，CM，BN，且

CM⊥AB.

（1）求证：四边形AMCN为矩形.解：（1）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

AB∥CD，AO＝CO.

∴

∠OAM＝

∠OCN，∠AMO＝∠CNO.

∴

△OAM≌△OCN.

∴

AM＝CN.

又∵

AB∥CD，∴四边形

AMCN是平行四边形.∵

CM⊥AB，∴

∠AMC

＝90°.∴四边形AMCN为矩形.（第3题）12345678910（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求BN的长.

（第3题）12345678910

4.

（2023·石家庄模拟）依据所标数据，下列四边形中，不一定为矩形

的是（

D

）

A.B.C.D.D123456789105.

（2024·南通通州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝

30°，P是边AB上的一个动点，过点P分别作边BC，AC的垂线，垂

足为D，E，连接DE.

若BC＝4，则DE长的最小值为

⁠.（第5题）

123456789106.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝

2∠CAD，点E在边BC上，∠DEC＝45°.若BC＝5CE＝15，则AC的

长为

⁠.（第6题）17

123456789107.

（2024·盐城期末）如图，AB＝AC，设△ABE的面积为S1，△ACF

的面积为S2，矩形BCFE的面积为S3，则S1，S2，S3之间的等量关系

为

⁠.（第7题）

123456789108.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线

段EF的中点，过点P分别作PG⊥BC于点G，PH⊥CD于点H，连接

GH.

若AB＝8，AD＝6，EF＝4，则GH长的最小值是

⁠.（第8题）8

123456789109.

（2023·东莞期中）如图，在▱ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA

至点F，使得EF＝AD，连接BF，CF.

（1）求证：EF平行且等于BC.

解：（1）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

AD∥BC，AD＝BC.

∵

EF＝AD，∴

EF＝BC，

EF∥BC，即EF平行且等于BC.

（第9题）（2）求证：四边形BCEF是矩形.解：（2）由（1），知EF＝BC，EF∥BC.

∴四边形

BCEF是平行四边形.∵

CE⊥AD，∴

∠CEF＝90°.

∴四边形BCEF是矩形.12345678910（3）

若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长.

（第9题）12345678910

10.

（2024·马鞍山期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝

4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向

而行，速度均为1cm/s，运动时间为ts（0≤t≤5）.（1）

若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四

边形.

（第10题）12345678910（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形.

（第10题）1234567891018.2特殊的平行四边形第3课时菱形的性质第十八章平行四边形

1.

（2024·廊坊期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P，

Q分别在边CD，AD上运动（不与点A，C，D重合），满足DP＝

AQ，连接AP，CQ交于点E.

有下列结论：①

AP＝CQ；②

∠AEC的

度数不变；③

∠APD＋∠CQD＝180°.其中，正确的是（

D

）A.

①②B.

①③C.

②③D.

①②③（第1题）D123456789102.

（2024·南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱

形的高为

cm.

12345678910（1）求证：AE＝AF.

（第3题）3.

（2023·舟山）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD

于点F，连接EF.

12345678910（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数.解：（2）

∵四边形ABCD是菱形，∴

AD∥BC.

∴

∠B＋∠BAD＝180°.∵

∠B＝60°，∴

∠BAD＝

120°.∵

∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴

∠BAE＝

30°.由（1），知△ABE≌△ADF，∴

∠BAE＝

∠DAF＝30°.∴

∠EAF＝120°－30°－30°＝

60°.∵

AE＝AF，∴

△AEF是等边三角形.∴

∠AEF

＝60°.（第3题）12345678910

A.

5B.

4C.

3D.

2（第4题）C123456789105.

（2023·常州期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，

点E，F分别在边AB，AD上，且BE＝AF，则EF长的最小值是

（

D

）A.

2B.

3C.

2

D.

3

（第5题）D123456789106.如图，菱形ABCD沿射线AC平移，得到菱形EFGH，延长AD，GH

交于点M，延长AB，GF交于点N.

若AB＝3BN＝3，∠ABC＝

120°，则EC的长是（

D

）A.

3B.

4C.

D.

2

（第6题）D123456789107.

（2023·合肥肥东期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠D＝

120°

，M，N是对角线AC上的三等分点，P是菱形ABCD边上的动

点，则满足PM＋PN＝AB的点P的个数为（

B

）A.

2B.

4C.

8D.

12（第7题）B12345678910

12345678910（1）连接DG，求证：四边形AGDE是平行四边形.解：（1）

∵

DE∥AB，∴

∠BAD＝∠ADE，∠AGE

＝∠DEG.

∵

F是AD的中点，∴

AF＝DF.

∴

△AFG≌△DFE.

∴

AG＝DE.

又∵

AG∥DE，∴

四边形AGDE是平行四边形.（第9题）9.

（2024·聊城三模）如图，在△ABC中，D是BC上一点，过点D作

DE∥AB，F是AD的中点，连接EF，延长EF交AB于点G.

12345678910（2）若四边形AGDE是菱形，D是BC的中点，试判断△ABC是什么特

殊三角形，并说明理由.

（第9题）12345678910

（1）求证：OE＝CD.

（第10题）12345678910

（第10题）12345678910

（第10题）1234567891018.2特殊的平行四边形第4课时菱形的判定第十八章平行四边形

1.

（2024·杭州三模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点

O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是

菱形的为（

B

）A.

AC＝BDB.

∠ADB＝∠CDBC.

∠ABC＝∠DCBD.

AD＝BC（第1题）B123456789102.

（2024·连云港期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝

4，BC＝3，D为斜边AB上的一点，以CD，CB为邻边作▱CDEB，当

AD＝

时，四边形CDEB为菱形.（第2题）

123456789103.

（2024·青岛期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的

直线MN∥AB，D为边AB上的一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN

于点E，垂足为F，连接CD，BE.

（1）求证：四边形ADEC是平行四边形.解：（1）

∵

DE⊥BC，∴

∠DFB＝90°.

∵

∠ACB＝90°，∴

∠ACB＝∠DFB.

∴

AC∥DE.

∵

MN∥AB，即CE∥AD，∴四边

形ADEC是平行四边形.（第3题）12345678910（2）

当D为AB的中点时，求证：四边形BECD是菱形.解：（2）由（1）知，四边形ADEC是平行四边

形，∴

AD＝CE.

∵

D为AB的中点，∴

AD＝

BD.

∴

CE＝BD.

∵

BD∥CE，∴四边形BECD

是平行四边形.∵

∠ACB＝90°，D为AB的中

点，∴

CD＝BD.

∴四边形BECD是菱形.（第3题）12345678910

4.

（2023·张家口蔚县模拟）下列是4名同学所画的图形，依据所标数

据，不一定为菱形的是（

B

）

A.B.C.D.B123456789105.

（2023·菏泽曹县期中）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC

上，AE＝CF.

有下列三个条件：①

∠1＝∠2；②

∠3＝∠4；③

DE＝

DF.

添加其中一个能使四边形ABCD是菱形的条件个数为（

C

）A.

0B.

1C.

2D.

3（第5题）C123456789106.

（2023·盘锦一模）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的

长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形的周长是

⁠.（第6题）25

123456789107.

（2024·南京秦淮期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD

到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC，连接CE.

若△ADB是边长为3的等

边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，则PM＋

PN的最小值为

⁠.（第7题）

123456789108.

（2023·咸阳秦都模拟）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点

O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，P为线段AC上的一个动点，过点P

分别作PM⊥AD于点M，PN⊥DC于点N，连接PB.

在点P的运动过

程中，PM＋PN＋PB的最小值为

⁠.（第8题）7.8

123456789109.如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD，O是四

边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.

求证：（1）

∠BOD＝∠BCD.

解：（1）如图，延长AO，交CD于点E.

∵

OA＝

OB，∴

∠BAO＝∠ABO.

又∵

∠BOE＝∠BAO＋

∠ABO，∴

∠BOE＝2∠BAO.

同理，可得∠DOE＝

2∠DAO.

∴

∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝

2（∠BAO＋∠DAO），即∠BOD＝2∠BAD.

又∵

∠BCD＝2∠BAD，∴

∠BOD＝∠BCD.

（第9题）（第9题答案）12345678910（2）四边形OBCD是菱形.

（第9题）（第9题答案）12345678910

10.

（2024·开封期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC

＝90°，AB＝18cm，BC＝13cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以

1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿

B→C→D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随

之停止运动，设运动时间为ts.（第10题）12345678910解：（1）

∵

点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点

B运动，∴

AP＝t×1＝t（cm）.∵

AB＝18cm，

∴

PB＝AB－AP＝（18－t）cm.（第10题）（1）用含t的式子表示PB的长.12345678910（2）

当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的

一部分是平行四边形？解：（2）

∵

BC＝13cm，∴

点Q在BC上的运动时间

为13÷2＝6.5（s）.∵

BC＋CD＝13＋23＝36

（cm），∴

点Q的运动时间最长为36÷2＝18

（s）.∴当6.5≤t≤18，即点Q在边CD上时，直线

PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是

平行四边形..（第10题）12345678910

（第10题）（第10题答案）12345678910（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻的四边形PBCQ

为菱形，则点Q的运动速度应为多少？

解：（3）设点Q的运动速度为xcm/s，由（2）可

知，当点Q在边CD上时，四边形PBCQ可为菱形.

∵

PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可.由

（1），知PB＝（18－t）cm，由（2），可知CQ＝

（xt－13）cm，∵

BC＝13cm，∴

18－t＝13，xt－

13＝13，解得t＝5，x＝5.2.∴当点Q的运动速度为

5.2cm/s时，四边形PBCQ在某一时刻为菱形.（第10题）1234567891018.2特殊的平行四边形第5课时正方形第十八章平行四边形01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录

1.

（2024·呼伦贝尔）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD

相交于点O，E是边BC上的一点，F是BD上的一点，连接DE，EF.

若

△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（

A

）A.

2

B.

2＋

C.

4－2

D.

（第1题）A123456789102.

（2023·广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是

BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN长的最大值

为

⁠.（第2题）

12345678910

（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由.

（第3题）12345678910（2）当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？

（第3题）12345678910

4.

（2023·常德）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点

O，E，F分别为AO，DO上的点，且EF∥AD，连接AF，DE.

若

∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（

C

）A.

80°B.

90°C.

105°D.

115°（第4题）C12345678910

A.

4B.

5C.

8D.

10（第5题）B123456789106.

（2024·北京）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于

点F，CG⊥DE于点G.

若AD＝5，