第十一章2分-形教学文稿

第十一章分形

机械工程学院李智分形11.3自相似维数11.4盒维数11.5关联维数自相似维数一般将维数理解为图形中确定一个点的位置所需要的最少的独立坐标数。如：直线的维数是1；圆、椭圆等平面图形的维数是2；立方体、球等立体图形的维数是3。分数维在一定程度上可以反映图形的复杂性。由于分数维的引进，线和面，面和体之间的绝对界限变得模糊了。如：KochCurve。自相似维数—KochCurveL0=1L1=4/3L2=(4/3)2L3=(4/3)3L4=(4/3)4L5=(4/3)5自相似维数自相似集：设A是度量空间（RD，d）上的有界子集，如果A可以分成N（>1）相等且与A相似的部分，则称A为自相似集。自相似维数：如果每部分与A的相似比为，则称D为自相似集的自相似维数。自相似维数例1N=n2，r=（1/n），D=2自相似维数例2.求Cantor集的自相似维数。N=2n，r=（1/3)n自相似维数例3求KochCurve的自相似维数N=4n，r=（1/3)n自相似维数例4求1/5Cantor集的维数

N=3n，r=（1/5)n，D=log3/log5其他类型的Cantor集，如：(2n-1)Cantor集、广义Cantor集、拓扑Cantor集等等。闭集S称为拓扑Cantor集，如果S满足：①集合S不含有连通子集②集合S不含有孤立点集由于Cantor集是自密集、无处稠密集。显然，Cantor集是拓扑Cantor集。盒维数盒维数是由前苏联著名数学家Kolmogorov提出的，它也是由覆盖作为基础的。盒维数定义假定要考虑的图形是D维Euclid空间RD中的有界集合，用半径为的D维球覆盖其集合时，设是球个数的极小值，盒维数可用下式定义：盒维数例5求Cantor集的盒维数由于Cantor集可以被Sn所覆盖，其中Sn是由2n个长度为(1/3)n的区间组成。如果选取=(1/3)n，需要2n个这样的区间覆盖Cantor集。即：盒维数例6非自相似的分形举例。首先将一个正方形均匀切成9块，再随意丢弃其中的一块，重复以上过程，便可得到图11.4.2。求此图的盒维数。Hausdorff维数假定D>0，用直径<ε,（ε>0）的可数个球覆盖集合E，设球直径为d1，d2……，则D维的Hausdorff测度为当测度从0向无限大迁移时，我们称D是集合E的Hausdorff维数，也可表示成DH。关联维数假定试验中测得的一组数据列为、、…、、…其中xi是第i时刻测量得到的实验值。由于这是一组与时间有关的数据，且是按时间顺序测量的，所以称为“时间顺序”。例如第i秒时，布朗粒子离某一中心(参考点)的距离为xi，由于不知道实际的相空间的维数，于是先用这些数据支起一个n维空间。重构这个m维的“嵌入空间”的办法很多。例如m=10，可把关联维数作为10维空间中的一个矢量y1，然后将上面数据序列右移一个数据，把作为10维空间的第二矢量

y2，依此办法继续下去，于是便构造出一大批矢量

y1，y2，y3…。将他们中任意两矢量只差的绝对值记为

它为矢量yi与yj端点，任意给出一个实数

r，把rij<r数目记为

N1(r)，而把

的数目记为

N2(r)，显然，总的点对数目

把距离rij小于r的点对在所有点对中所占的比例记作

C(r)，关联维数C(r)是一个重要的参数，它描述相空间中吸引子上两点之间的距离小于r的概率，又称关联函数。当数据量太大时，可以通过计算机来完成。C(r)的计算结果与r的取值有关。如果r取值太大，那么一切点对距离都不会超过r，这时

,取对数后有。这样的r值当然无法反映系统内部性质，没有意义；如果r取值太小，那么所有的点对

，这时，于是，这样的r值同关联维数样也不能反映系统内部的性质，因而也没有意义。也就是说，r的取值范围（即尺度变换）受到大小两端的限制。适当地调整r的取值范围，可能在一段r区间内有将其和前面维数的定义相比，该式中的指数v是一种维数，进而定义关联维数为关联维数求关联维数的方法如图4-5所示只需在曲线上求出直线段部分（仅显示出曲线中的直线）的斜率即可。关联维数例7求Lorenz吸引子的关联维数，其中r=28，σ=10，b=8/3。关联维数例8logistic映射xn+1=rxn(1-xn)，r=3.5699456..分析：由于r=3.5699456..，根据第十章可知吸引子是混沌的。通过数值计算可知，吸引子构成一个类似于Cantor集的集合，即：当n>>1时，吸引子具有2n的周期。图11.5.4给出了当n比较小时的情形。关联维数左图中的点表示周期为2n的稳定循环，右图给出了其对应的x值。当n充分大时，不同的点之间的间隔长度将取决于点的位置，从而导致不同点之间的间隔存在差异，使得该集合趋近于一个拓扑Cantor集，并且近似于一个自相似集。即使对于同一个r处的“分岔”，在不同点处间隔也可能不同。关联维数关于极限集的关联维数，Grassberger和Procaccia做了大量的研究工作。显然，关联维数小于其盒维数dbox=0.538。多重分形从例11.5.2中已经得知logistic映射在不同的点处间隔可能不同，这不同于1/3Cantor集，其自相似因子为1/3。这样便不能通过维数来描述logistic映射的特性，或者需要找到能够反映维数变化的分布函数来描述该模型。通常称这种集合为多重分形。多重分形多重分形对于分形集F上的测度u，我们将分形集F划分为尺度为δ的若干个单元，当这些区域足够小时，该区域的分布可以看成是均匀的，用ui表示第i个单元中测度u的值，它与尺度δ之间存在如下标量关系ui∝δai则称ai为Holder指数，又称为奇异性指数，它控制概率密度的奇异性。若存在若干个单元具有相同的Holder指数，它们的测度可用u(a)表示。用f(a)表示这些具有相同的Holder指数