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第十三讲协方差相关系数和矩的概念问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布

这说明对于二维随机变量,除了每个随机变量各自得概率特性以外,相互之间可能还有某种联系、问题就是用一个什么样得数去反映这种联系、数反映了随机变量X,Y之间得某种关系协方差、相关系数与矩第十三讲一、协方差得定义与性质1、定义称为X,Y的协方差.记为1)若(X,Y)为离散型r、v、,则2)若(X,Y)为连续型r、v、,则2、协方差得简单性质1）2）3）

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可见,若X与Y独立,Cov(X,Y)=0、3、计算协方差得一个简单公式由协方差得定义及期望得性质,可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即特别地若X1,X2,…,Xn两两独立,,上式化为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4、随机变量与得方差与协方差得关系协方差得大小在一定程度上反映了X与Y相互间得关系,但它还受X与Y本身度量单位得影响、例如:Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点,对协方差进行标准化,这就引入了相关系数、二、相关系数得定义与性质1、定义若D(X)>0,D(Y)>0,称为X,Y得相关系数,记为2、相关系数得性质1）2）存在a(不为0)及b使P(Y=aX+b)=1注:1)得大小就是X,Y之间线性关系得一种度量。2)称X,Y不相关,不相关表示X,Y之间不存在线性关系,但不排除有其她关系。3)称X,Y完全线性相关(详细证明自瞧,见教材、)3）X,Y线性不相关X,Y相互独立X,Y线性不相关即由并不一定能推出X和Y独立.请瞧下例、大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静例设X服从(-1/2,1/2)内得均匀分布,而Y=cosX,因而=0，即X与Y线性不相关、但X与Y不独立、不难求得，Cov(X,Y)=0，事实上,X得密度函数但对下述情形,独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关前面,我们已经瞧到:若X与Y独立,则X与Y不相关,但由X与Y不相关,不一定能推出X与Y独立、三、有关例题求Cov(X,Y),

XY10

pqXP10

pqYP例1已知

X,Y得联合分布律为0<p<1p+q=1解10

pqXYPXY1010

p0

0

q例2

设

~U(0,2

),X=cos

,Y=cos(

+

),

就是给定得常数,求

XY解若若有线性关系若线性不相关，但不独立，没有线性关系,但有函数关系例3设X,Y相互独立,且都服从

N(0,

2),

U=aX+bY,V=aX-bY,a,b为常数,且都不为零,求

UV解由而故例4设(X,Y)~N(1,4;1,4;0、5),Z=X+Y,

求

XZ解例3、2、2

随机向量(

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