概率论与数据分析第六章

概率论与数据分析第六章

本章主要内容就是统计推断,其中参数估计就是统计推断得主要内容之一、参数估计,就就是根据样本观测值来估计总体分布中得未知参数或数字特征得统计推断方法、对总体得某个未知参数得估计方式有两种,一种就是参数得值估计,另一种就是参数得范围估计,也即点估计和区间估计,统称为参数估计、

本章介绍总体、随机样本及统计量得基本概念,讨论参数估计得点估计和区间估计方法以及估计得优良性、

第一节数理统计得基本概念第二节点估计(pointestimate)第三节区间估计(intervalestimate)§1数理统计得基本概念一、总体和样本二、统计量及其分布三、正态总体得抽样分布

一个统计问题总有她明确得研究对象、1、总体…研究某批灯泡的质量研究对象得全体称为总体(母体),总体中每个成员称为个体、总体一、总体和样本

然而在统计研究中,人们关心总体仅仅就是关心其每个个体得一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中得分布情况、这时,每个个体具有得数量指标得全体就就是总体、某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体国产轿车每公里的耗油量所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体

由于每个个体得出现就是随机得,即相应得数量指标得出现带有随机性、从而可把这种数量指标看作一个随机变量,我们用一个随机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量得符号或分布得符号表示总体、

通常,我们用随机变量X,Y,Z等表示总体。当我们呢说到总体,就就是一个具有确定概率分布得随机变量、

如:研究某批灯泡得寿命时,关心得数量指标就就是寿命,那么,此总体就可以用随机变量X表示,或用其分布函数F(x)表示、总体寿命X可用一概率分布来刻划F(x)

实例研究某灯泡厂1000只同一型号灯泡得寿命,这1000只灯泡得寿命就就是总体,且为有限总体,而每一只灯泡得寿命就就是个体、如果研究该工厂所有灯泡得寿命,那么所有灯泡得寿命组成得总体为无限总体。当有限总体包含得个体得总数很大时,可近似地将她看成就是无限总体。有限总体和无限总体3、样本:设从总体X中随机抽取或观察n个个体X1,X2…Xn,所得得这一组个体(X1,X2…Xn)称为总体X得一个样本、其中个体得数目n称为样本容量、注意:在抽取或观察每个个体之前,X1,X2…Xn都就是未知得,因而她们都就是随机变量,(X1,X2…Xn)为n维随机变量、当n次抽取或观察一经完成,我们就得到一组实数(x1,x2,…,xn),称其为样本观察值或样本值、2、抽样:为了推断总体得性态而从总体中抽取部分个体得过程称为抽样、大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点

设(X1,X2…Xn)就是X得样本,则由X1,X2…Xn构造出来得、不包含任何未知参数得函数:g(X1,X2…Xn)称为统计量、＊注意:统计量就是独立同分布随机变量X1,X2…Xn得函数,因而她也就是一个随机变量、

例设(X1,X2)就是从总体N(,2)中抽取得一个容量为2得样本,其中

为未知参数,则X1/,1、统计量定义:二、统计量(statistic)2、几种重要得统计量设(X1,X2,

Xn)为总体X得样本,则样本方差；样本标准差样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩样本均值；当(X1,X2,…,Xn)得观察值为(x1,x2,…,xn)时,上述统计量得观察值分别为:样本均值；样本方差；样本标准差样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩解设25瓶洗净剂灌装量为，它们是来自均值为方差为1的总体的样本，现在需要计算的是事件的概率，根据性质(2)有对于装25瓶得一箱而言,平均每瓶灌装量与标定值之差不超过0、3毫升得概率近似为0、8664、例1某公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂，规定每瓶装毫升，但实际灌装量有一定的波动，假定灌装量服从正态分布,方差瓶洗净剂的平均每瓶灌装量与标定值的概率是多少？=1，如果每箱装25瓶这样的洗净剂，试问这相差不超过0.3毫升设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为取自该总体X得样本、几种常用统计量及统计四大分布①标准正态分布及其上侧α分位数若P(Z>zα)=α,则称zα为标准正态分布得上侧α分位数、zααXφ(x)其中定义设X~N(μ,σ2),则~N(0,1),对任意0<α<1,三、正态总体下得常用统计量及其分布设X～N(,2),(X1,X2…Xn)就是她得一个样本,那么有统计量得分布(随机变量函数得分布)又称抽样分布证:由概率论得知识知,服从正态分布、样本均值的分布②

2分布(第二大分布):设,X1,X2,…,Xn是来自总体的一个样本,则称统计量:服从自由度为n得分布,记为

2～

2(n)的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=10随着n得增大,密度曲线逐渐趋于平缓

2分布得性质:①设Y~

2(n),则E(Y)=n,D(Y)=2n②设Y1~

2(n1),Y2~

2(n2),且Y1,

Y2相互独立,则

Y1+Y2~

2(n1+

n2),(可加性)证于就是①根据定义其中E(X4)用定义求,求积分,用分部积分得方法求得

2分布得上分位数:的点为

2(n)分布的上侧分位数.,对于给定得正数(0<<1),称满足条件

n﹥45时,用近似公式:有表可查(附表5)12、5922、733③t分布(第三大分布):服从自由度为n得t分布,记为T

t(n)、又称为学生氏(Student)分布、其概率密度函数为n=∞

n=1图形1)图形关于t=0对称;2)t分布的的极限是标准正态分布,即事实上,当n>30时,两者就非常接近了、3)t分布的上侧分位数t

(n):对于给定的(0<<1),称满足条件的点t

(n)为t分布的上分位点t

(n)

上侧

分位数t

(n),由图形不难看出还有性质:当n45时,查表附表4当n>45时,可利用N(0,1)近似,即

t

(n)≈Z,

t1-

(n)=-t

(n)例

④F分布(第四大分布)设U~

2(n1),V~

2(n2),且U与V相互独立,则称随机变量服从自由度为(n1,n2)得F分布、其概率密度函数为、根据F分布的定义有

n1=10,n2=25n1=10,n2=5

F分布得上侧分位数:可查附表6,如F0、01(10,15)=(0<<1)得点F

(n1,n2)为F分布得上侧分位数、3、8、F分布得上分位点有下列性质:证若FF(n1,n2),按定义有于就是再由，得从而例统计三大分布得定义、基本性质在后面得学习中经常用到,要牢记哦！！1、若X~N(,2),(X1,X2…Xn)为其样本,①与S2相互独立,②

四、几个重要结论分别为样本均值与样本方差,则有①得证明从略。②得证明如下:证明②:从而由t分布得定义得例2

在研究设计导弹发射装置时，弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布，这里=100米2，现在进行了25次发射试验，表示这25次试验中弹着点偏离目标中心距离的样本方差，试求