高中数学 第三章 导数应用 3.1 函数的单调性与极值 函数的极值教学实录 北师大版选修2-2

高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值函数的极值教学实录北师大版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值函数的极值教学实录北师大版选修2-2教学内容分析1.本节课的主要教学内容：函数的单调性与极值，函数的极值。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课以函数的导数为工具，研究函数的单调性和极值，与之前学习的导数的概念和求导法则紧密相连。教材章节为北师大版选修2-2中的第三章“导数应用”的第3.1节。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。学生将通过探究函数单调性与极值的关系，提高数学抽象能力；通过分析导数与函数性质的关系，发展逻辑推理能力；通过解决实际问题，提升数学建模能力；在求导和判断极值点的过程中，加强数学运算能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了函数的基本概念、函数的图像和性质，以及导数的概念和求导法则。他们应该能够识别基本的函数类型，并使用导数计算函数在某点的瞬时变化率。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学的兴趣因人而异，部分学生对函数和导数的概念可能表现出浓厚的兴趣，尤其是当他们能够将数学与实际问题联系起来时。学生的能力水平各异，一些学生可能在应用导数解决实际问题方面表现出较强的能力，而另一些学生可能需要更多的时间和指导。学习风格上，有的学生偏好通过图形直观理解概念，有的则更倾向于逻辑推理和公式应用。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习函数的单调性与极值时，可能面临以下困难：理解导数与函数性质之间的复杂关系，特别是在判断极值点时如何确定导数的零点；掌握如何使用导数解决实际问题，特别是当问题涉及多变量或更复杂的函数形式时。此外，学生可能对数学证明和推理的过程感到困惑，尤其是在处理非连续函数和分段函数时。教学资源-软硬件资源：电子白板、投影仪、计算机、笔记本电脑、多媒体音响系统

-课程平台：学校内部教学平台、在线学习管理系统

-信息化资源：数学教学软件、在线教育资源库、函数图像生成软件

-教学手段：PPT课件、教学视频、教学案例、互动式学习工具教学过程设计【导入环节】

1.创设情境：播放一段自然界中物体运动变化的视频，如瀑布、河流等，引导学生观察物体运动的速度变化。

2.提出问题：视频中的物体运动速度是如何变化的？如何描述这种变化？

3.学生讨论：分组讨论，分享观察到的运动速度变化情况。

4.总结：引出速度的概念，引出导数的概念，为学习函数的单调性与极值做铺垫。

用时：5分钟

【讲授新课】

1.导数的概念：介绍导数的定义，强调导数是描述函数在某一点上瞬时变化率的物理量。

2.函数的单调性：讲解单调增、单调减的概念，通过实例展示如何判断函数的单调性。

3.函数的极值：介绍极值的定义，讲解如何利用导数判断函数的极值点。

4.应用实例：通过实际案例，引导学生运用所学知识解决实际问题。

用时：15分钟

【巩固练习】

1.练习题：布置与单调性和极值相关的练习题，要求学生在规定时间内完成。

2.讨论与解答：学生分组讨论练习题，互相解答疑问，教师巡视指导。

3.课堂展示：每组选派代表展示解题过程，其他学生进行点评。

用时：10分钟

【课堂提问】

1.提问：如何判断函数的单调性？

2.回答：学生回答问题，教师点评并总结。

3.提问：如何求函数的极值？

4.回答：学生回答问题，教师点评并总结。

用时：5分钟

【师生互动环节】

1.创设问题：提出与单调性和极值相关的问题，引导学生思考。

2.小组讨论：学生分组讨论问题，分享讨论结果。

3.课堂展示：每组选派代表展示讨论结果，其他学生进行点评。

4.教师总结：针对学生展示的结果，教师进行总结和拓展。

用时：10分钟

【创新教学】

1.引入动画演示：利用动画演示函数图像的变化，让学生直观地理解单调性和极值的概念。

2.互动式学习：利用教学软件，设计互动式练习，提高学生的学习兴趣。

3.实践应用：组织学生进行实践活动，如制作函数图像，让学生在实际操作中巩固所学知识。

用时：5分钟

【总结】

1.回顾本节课所学内容：引导学生回顾本节课所学的主要知识点，包括导数的概念、函数的单调性和极值等。

2.作业布置：布置与单调性和极值相关的作业，要求学生在课后完成。

3.课堂小结：教师对本节课进行总结，强调重点和难点。

用时：5分钟

总计用时：45分钟拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《微积分学基本定理及其应用》

-《高等数学中的极值问题》

-《函数的单调性与极值在经济学中的应用》

-《导数在物理学中的应用实例》

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试自己推导导数与函数单调性、极值之间的关系。

-探究不同类型函数（如多项式函数、指数函数、对数函数等）的单调性和极值特性。

-分析实际生活中的问题，如经济学中的成本函数、物理学中的速度函数等，运用导数工具进行分析。

-通过数学建模，将导数应用于解决实际问题，如预测市场趋势、优化生产过程等。

-研究导数在工程学、生物学、医学等领域的应用，了解导数在其他学科中的重要性。

-阅读相关文献，了解导数理论的发展历程和最新研究成果。

-参与数学竞赛或研究项目，将所学知识应用于解决更复杂的数学问题。

-通过在线课程或研讨会，拓宽知识面，了解导数在不同学科中的应用案例。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.情境教学：在导入环节，我尝试通过视频展示自然界中物体运动变化的情境，让学生在直观感受中理解导数的概念，这种情境教学法能够激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。

2.互动式教学：在师生互动环节，我采用了小组讨论和课堂展示的方式，让学生在合作中学习，这种互动式教学不仅能够促进学生之间的交流，还能培养学生的团队协作能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对抽象概念的理解不足：在讲解导数与函数单调性、极值的关系时，部分学生对抽象的概念理解困难，需要进一步通过实例和练习来加强理解。

2.教学深度不够：在讲授新课的过程中，我发现对于一些较复杂的应用问题，学生的理解和掌握程度不够，需要深入讲解和更多实践机会。

3.评价方式单一：目前的评价方式主要是通过课堂练习和作业来完成，缺乏对学生实际应用能力的评价，需要引入更多样化的评价手段。

反思改进措施（三）

1.强化概念教学：针对学生对抽象概念理解不足的问题，我将增加实例教学，通过具体的例子帮助学生理解抽象的概念，并设计一些概念题，让学生在练习中加深理解。

2.深化教学内容：为了提高学生对复杂应用问题的理解和掌握，我将增加一些拓展练习，设计一些综合性强的题目，让学生在实际操作中提升解决问题的能力。

3.丰富评价方式：为了全面评价学生的学习成果，我将引入课堂表现评价、小组合作评价、实践项目评价等多种评价方式，以更全面地反映学生的学习情况。同时，鼓励学生进行自我评价和同伴评价，提高学生的自我反思能力。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第三章“导数应用”的课后习题，特别是3.1节中的练习题，包括判断函数的单调性和求函数的极值点。

2.选择一道与实际生活相关的题目，运用导数知识进行分析，如分析一家公司的收入随时间变化的趋势，或者分析一个物体的运动速度变化情况。

3.设计一个简单的函数，计算其导数，并分析其单调性和极值点。

作业反馈：

1.对学生的作业进行及时批改，确保每个学生都能得到反馈。

2.对于判断函数单调性和求极值点的题目，检查学生是否正确理解了导数的应用，是否能够正确计算导数，以及是否能够正确判断极值点。

3.对于实际生活问题的分析，关注学生是否能够将数学知识应用于实际问题，是否能够合理地解释和分析数据。

4.对于设计函数的题目，评估学生是否能够根据实际问题设计合适的函数，以及是否能够正确地计算导数和判断函数的性质。

5.在反馈中，针对学生存在的问题，给出具体的改进建议，如对于计算错误，指出错误的原因并给出正确的计算步骤；对于理解不深的问题，提供额外的解释和实例；对于应用能力不足的学生，鼓励他们多参与实践活动，提高解决问题的能力。

6.对于表现优秀的作业，给予表扬，并鼓励其他学生学习其解题思路和方法。

7.在下一节课的开始，可以安排时间让学生展示自己的作业，通过同伴间的交流和讨论，进一步提高学生的理解能力和应用能力。

8.对于作业中普遍存在的问题，可以在课堂上进行集中讲解和复习，确保所有学生都能够掌握关键知识点。典型例题讲解例题1：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求函数的极值点。

解答：

首先，求出函数的导数：

$$f'(x)=3x^2-6x+4$$

令$f'(x)=0$，解得：

$$3x^2-6x+4=0$$

$$x=1\text{或}x=\frac{2}{3}$$

然后，求出二阶导数：

$$f''(x)=6x-6$$

代入$x=1$和$x=\frac{2}{3}$，得到：

$$f''(1)=0$$

$$f''\left(\frac{2}{3}\right)=-2$$

由于$f''(1)=0$，需要进一步判断$x=1$处的性质，计算$f(1)$的值：

$$f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1+1=3$$

由于$f''\left(\frac{2}{3}\right)<0$，可知$x=\frac{2}{3}$是函数的极大值点。

例题2：已知函数$f(x)=e^x-e^{-x}$，求函数的极值点。

解答：

首先，求出函数的导数：

$$f'(x)=e^x+e^{-x}$$

由于$e^x>0$和$e^{-x}>0$，可知$f'(x)>0$对所有$x$都成立，因此函数在整个实数域上单调递增，没有极值点。

例题3：已知函数$f(x)=\ln(x)-x^2$，求函数的极值点。

解答：

首先，求出函数的导数：

$$f'(x)=\frac{1}{x}-2x$$

令$f'(x)=0$，解得：

$$\frac{1}{x}-2x=0$$

$$x^2=\frac{1}{2}$$

$$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$

然后，求出二阶导数：

$$f''(x)=-\frac{1}{x^2}-2$$

代入$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$和$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到：

$$f''\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)<0$$

$$f''\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)<0$$

由于$f''(x)<0$对所有$x$都成立，可知$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$是函数的极大值点。

例题4：已知函数$f(x)=x^4-8x^3+18x^2-8x+1$，求函数的极值点。

解答：

首先，求出函数的导数：

$$f'(x)=4x^3-24x^2+36x-8$$

令$f'(x)=0$，解得：

$$x=1,2,3$$

然后，求出二阶导数：

$$f''(x)=12x^2-48x+36$$

代入$x=1,2,3$，得到：

$$f''(1)=0$$

$$f''(2)=0$$

$$f''(3)=36$$

由于$f''(1)=0$和$f''(2)=0$，需要进一步判断$x=1$和$x=2$处的性质，计算$f(1)$和$f(2)$的值：

$$f(1)=1-8+18-8+1=4$$

$$f(2)=16-64+72-16+1=9$$

由于$f''(3)>0$，可知$x=3$是函数的极小值点。

例题5：已知函数$f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$，求函数的极值点。

解答：

首先，求出函数的导数：

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}$$

令$f'(x)=0$，解得：

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}=0$$

$$x=1$$

然后，求出二阶导数：

$$f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}-\frac{1}{4x^{3/2}}$$

代入$x=1$，得到：

$$f''(1)=-\frac{1}{2}$$

由于$f''(1)<0$，可知$x=1$是函数的极大值点。板书设计①本文重点知识点：

-函数的导数

-单调性

-极值点

②本文重点词句：