2024-2025学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3.2 两点间的距离教学实录 新人教A版必修2

2024-2025学年高中数学第三章直线与方程3.3.2两点间的距离教学实录新人教A版必修2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：2024-2025学年高中数学第三章直线与方程3.3.2两点间的距离教学实录

2.教学年级和班级：高一年级

3.授课时间：2024年11月2日，第3节课

4.教学时数：1课时二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过学习两点间的距离公式，学生能够理解数学概念与实际问题的联系，提高解决问题的能力。同时，通过几何图形的观察和计算，学生能够锻炼空间想象能力和逻辑思维能力，培养严谨的数学态度。三、教学难点与重点1.教学重点，

①掌握两点间的距离公式及其推导过程，能够熟练运用公式计算两点间的距离。

②理解距离公式在坐标系中的应用，能够将实际问题转化为数学问题，并利用距离公式进行求解。

2.教学难点，

①理解距离公式推导过程中的逻辑关系，包括勾股定理的应用和坐标变换。

②在坐标系中准确找到两点的坐标，并正确应用距离公式进行计算。

③将实际问题与距离公式相结合，解决实际问题中的距离计算问题，如求两点之间的最短距离、两点之间的直线距离等。

④在解决复杂问题时，能够合理运用距离公式，结合其他数学知识，如三角函数、向量等，进行综合分析和计算。四、教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过清晰的讲解，帮助学生理解距离公式的定义和推导过程。

2.讨论法：组织学生讨论实际应用案例，鼓励学生提出问题并尝试解决，提高学生的参与度和思考能力。

3.实例分析法：通过具体实例，引导学生将理论知识与实际应用相结合，加深对距离公式的理解。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示距离公式的推导过程和坐标图，直观展示几何关系。

2.互动软件：使用几何软件演示距离公式的应用，让学生通过操作直观感受数学模型的构建。

3.作业系统：利用在线作业系统布置练习题，及时反馈学生学习情况，巩固所学知识。五、教学过程一、导入新课

同学们，今天我们要学习的是第三章直线与方程的第三部分——两点间的距离。在之前的学习中，我们已经了解了直线的方程和斜率等概念，今天我们将进一步探讨两点之间的距离，这是解决实际问题中常见的数学问题。那么，大家有没有遇到过需要计算两点之间距离的情况呢？（停顿，等待学生回答）

二、新课讲授

1.两点间距离的定义

首先，我们要明确两点间距离的定义。假设我们有两个点A和B，它们在坐标系中的坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)。那么，点A和点B之间的距离d可以用以下公式计算：

d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]

这个公式就是我们今天要学习的重点。接下来，我会一步步地为大家推导这个公式。

2.距离公式的推导

为了推导这个公式，我们需要回顾一下勾股定理。勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。现在，我们将这个定理应用到我们研究的直角三角形ABC中。

假设点A和B的坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以构造一个直角三角形ABC，其中AB为斜边，AC和BC分别为两直角边。那么，根据勾股定理，我们有：

AC²+BC²=AB²

现在，我们分别计算AC和BC的长度。由于AC和BC分别与x轴和y轴垂直，我们可以得出：

AC=|x2-x1|

BC=|y2-y1|

将AC和BC的长度代入勾股定理的公式中，得到：

(x2-x1)²+(y2-y1)²=AB²

由于AB就是我们要求的两点间的距离d，我们可以将AB替换为d，得到：

d²=(x2-x1)²+(y2-y1)²

最后，我们对等式两边开平方，得到两点间距离的公式：

d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]

3.距离公式的应用

例1：已知点A(2,3)和B(-1,-2)，求点A和点B之间的距离。

解：根据距离公式，我们有：

d=√[(-1-2)²+(-2-3)²]

=√[(-3)²+(-5)²]

=√[9+25]

=√34

所以，点A和点B之间的距离是√34。

例2：在平面直角坐标系中，点P的坐标为P(3,4)，求点P到原点O的距离。

解：由于原点O的坐标为(0,0)，我们可以直接将点P的坐标代入距离公式：

d=√[(3-0)²+(4-0)²]

=√[3²+4²]

=√[9+16]

=√25

=5

所以，点P到原点O的距离是5。

三、课堂练习

为了巩固所学知识，我将给大家布置一些练习题。

1.已知点A(1,2)和B(-3,4)，求点A和点B之间的距离。

2.在平面直角坐标系中，点C的坐标为C(-2,-1)，求点C到原点O的距离。

3.已知点D(5,-2)和点E(-4,3)，求线段DE的长度。

四、课堂小结

今天我们学习了两点间的距离公式，并通过实例演示了公式的应用。希望大家能够熟练掌握这个公式，并能够在实际生活中运用它解决一些问题。接下来，我将请大家完成课后作业，巩固所学知识。

五、课后作业

1.完成课后练习题，加深对距离公式的理解。

2.收集生活中需要计算两点之间距离的实例，尝试运用所学知识解决。

3.思考：距离公式在实际问题中的应用有哪些？如何将数学知识与其他学科相结合？六、教学资源拓展1.拓展资源：

-几何图形的应用：介绍与距离公式相关的几何图形，如直角三角形、等腰三角形等，以及这些图形在坐标系中的特性。

-坐标系中的距离计算：探讨在坐标系中不同类型点（如原点、坐标轴上的点、任意点）之间的距离计算方法。

-距离公式的几何意义：分析距离公式在几何中的应用，如求解平行线间的距离、点到直线的距离等。

-距离公式的变体：介绍距离公式的变体，如空间中两点间的距离公式，以及其在立体几何中的应用。

2.拓展建议：

-学生可以通过制作几何模型来直观理解距离公式，如使用透明纸和直尺模拟两点间的距离测量。

-鼓励学生参与小组讨论，共同探讨如何将距离公式应用于解决实际问题，如建筑设计、城市规划等。

-提供一些在线资源，如教育平台上的视频教程，帮助学生巩固对距离公式的理解。

-设计一些开放性问题，如“在平面直角坐标系中，如何找到距离给定点最远的点？”这样的问题可以激发学生的创新思维。

-利用计算机软件，如Geogebra，让学生通过动态模拟观察距离公式的变化，加深对公式的理解。

-组织学生进行实地测量活动，如在校园内测量两点间的距离，然后将实际测量结果与计算结果进行对比分析。

-推荐学生阅读相关的数学读物或在线文章，以拓宽对距离公式及其应用的视野。

-设计一些拓展练习题，如涉及坐标变换、距离公式在解析几何中的应用等，提高学生的综合应用能力。

-通过网络论坛或社交媒体，让学生分享他们解决距离问题的经验和心得，促进知识交流和技能提升。七、内容逻辑关系①本文重点知识点：

①两点间距离的定义

②距离公式的推导过程

③距离公式的应用

②关键词：

①距离

②坐标

③平方

④开平方

⑤勾股定理

③重点句子：

①“假设我们有两个点A和B，它们在坐标系中的坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)。那么，点A和点B之间的距离d可以用以下公式计算：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。”

②“为了推导这个公式，我们需要回顾一下勾股定理。勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。”

③“将AC和BC的长度代入勾股定理的公式中，得到：AC²+BC²=AB²。”

④“最后，我们对等式两边开平方，得到两点间距离的公式：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。”

⑤“在线段DE的长度计算中，我们可以直接使用距离公式：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。”八、教学反思教学反思

今天这节课，我们学习了直线与方程中的两点间距离公式。回顾一下，我觉得有几个方面值得反思。

首先，我觉得今天的教学效果还是不错的。在导入新课的时候，我通过提问的方式，激发了学生的兴趣，让他们回忆起之前学习的知识点，这样有助于他们更好地理解和接受新的内容。在讲解距离公式的推导过程中，我尽量用通俗易懂的语言，结合图形和实例，帮助学生建立起距离公式的直观形象。从学生的反应来看，他们对这个公式的理解程度较高。

其次，我在课堂上注意到了一些细节。比如，在讲解勾股定理的时候，我特意提醒学生，这个定理不仅仅适用于直角三角形，还适用于我们今天要学习的距离公式。这个提醒对学生来说非常重要，因为它有助于他们将新旧知识联系起来。此外，我还强调了公式推导过程中的每一步，确保学生能够跟上我的思路。

然而，在教学过程中，我也发现了一些不足之处。比如，在讲解距离公式的应用时，我可能过于注重公式本身，而忽视了实际问题的解决。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生将公式应用于实际问题，让他们在实际操作中加深对知识的理解。

另外，我在课堂上发现有些学生对于坐标的表示和变换不太熟悉，这在一定程度上影响了他们对距离公式的应用。因此，在今后的教学中，我需要加强对坐标概念的教学，让学生熟练掌握坐标的表示和变换方法。

在教学方法上，我尝试了多种手段，如小组讨论、实例分析等，以激发学生的学习兴趣和主动性。但是，我发现有些学生还是不太愿意参与到课堂讨论中来。这可能是因为他们对数学没有足够的兴趣，或者是因为他们害怕犯错。针对这个问题，我打算在今后的教学中，更多地关注学生的个体差异，给予他们更多的鼓励和支持，让他们在轻松的氛围中学习。

最后，我觉得教学反思是一个非常重要的环节。通过今天的反思，我意识到自己在教学过程中还存在很多不足，需要不断地改进。在今后的教学中，我会更加注重以下几个方面：

1.提高自己的教学水平，不断学习新的教学方法和技巧。

2.关注学生的个体差异，因材施教，让每个学生都能在课堂上有所收获。

3.加强与学生的互动，鼓励他们积极参与课堂讨论，提高他们的学习兴趣。

4.注重培养学生的实际应用能力，让他们能够将所学知识应用于解决实际问题。教学评价与反馈1.课堂表现：

在今天的课堂上，同学们表现出了较高的学习热情。大部分同学能够积极跟随我的讲解，对于距离公式的推导和应用部分，大多数学生能够理解并能够独立完成计算。部分学生在理解坐标变换和公式应用时存在一些困难，但通过小组合作和个别辅导，这些问题得到了有效解决。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，同学们能够积极地参与到讨论中，提出问题和解决方案。他们不仅能够运用所学的距离公式进行计算，还能够结合实际问题进行思考。例如，有小组讨论了如何计算建筑物之间的直线距离，以及如何使用这个公式来设计一个最优路径。

3.随堂测试：

随堂测试的结果显示，学生对距离公式的理解程度普遍较好。大部分学生能够正确地应用公式计算两点间的距离，但也有一些学生在处理负坐标和开平方运算时出现了错误。这表明在今后的教学中，我需要加强对这些基础知识的巩固和练习。

4.学生反馈：

在课后，我收集了一些学生的反馈。学生们普遍认为今天的课程内容实用性强，能够帮助他们解决实际问题。同时，也有学生提出，希望能够有更多的实例来帮助他们更好地理解距离公式的应用。

5.教师评价与反馈：

针对课堂表现，我对以下方面进行了评价与反馈：

-对距离公式的理解程度：大部分学生能够理解并应用公式，但仍有小部分学生需要额外辅导。

-小组合作能力：学生在小组讨论中表现出了良好的合作精神，但在某些情况下，学生之间的沟通和协调还需要加强。

-实际问题解决能力：学生在面对实际问题时，能够运用所学知识进行思考，但需要更多的练习来提高解决问题的能力。

-课堂参与度：虽然大部分学生能够积极参与课堂活动，但仍有少数学生表现出一定的被动性，需要进一步激发他们的学习兴趣。

-教学方法：我将继续采用多种教学方法，如实例分析、小组讨论和随堂测试，以增强学生的学习效果。

-课后辅导：对于理解有困难的学生，我将提供额外的辅导，确保他们能够跟上课程进度。

-练习材料：我将提供更多针对性的练习材料，帮助学生巩固所学知识，并提高他们的应用能力。典型例题讲解1.例题：

已知点A(2,3)和B(-1,-2)，求点A和点B之间的距离。

解答：

根据两点间的距离公式，我们有：

d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]

代入点A和点B的坐标，得到：

d=√[(-1-2)²+(-2-3)²]

d=√[(-3)²+(-5)²]

d=√[9+25]

d=√34

所以，点A和点B之间的距离是√34。

2.例题：

在平面直角坐标系中，点C的坐标为C(-2,-1)，求点C到原点O的距离。

解答：

原点O的坐标为(0,0)，我们可以直接将点C的坐标代入距离公式：

d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]

d=√[(-2-0)²+(-1-0)²]

d=√[(-2)²+(-1)²]

d=√[4+1]

d=√5

所