天津市滨海新区大港油田一中2025届高三5月高考模拟数学试题含解析

天津市滨海新区大港油田一中2025届高三5月高考模拟数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A． B． C． D．2．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为（）A．8 B．7 C．6 D．53．已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，给出下列四个命题:①;②直线与直线所成角为;③过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;④三棱锥的体积为.其中，正确命题的个数为（）A． B． C． D．4．复数的虚部为（）A． B． C．2 D．5．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣856．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（）A． B． C． D．7．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（）A． B． C．2或 D．2或8．设为非零实数，且，则（）A． B． C． D．9．己知，，，则（）A． B． C． D．10．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．11．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．612．已知为虚数单位，实数满足，则()A．1 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里放的是，第3个盒子里放的是乙说：第2个盒子里放的是，第3个盒子里放的是丙说：第4个盒子里放的是，第2个盒子里放的是丁说：第4个盒子里放的是，第3个盒子里放的是小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________14．已知实数满约束条件，则的最大值为___________.15．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______.16．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知关于的不等式有解.（1）求实数的最大值；（2）若，，均为正实数，且满足.证明：.18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．19．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分频数624（Ⅰ）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？是否合格性别不合格合格总计男生女生总计（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：，其中.20．（12分）已知函数.其中是自然对数的底数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故选B．判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．2．B【解析】根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.3．C【解析】

画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．【详解】如图；连接相关点的线段，为的中点，连接，因为是中点，可知，，可知平面，即可证明，所以①正确；直线与直线所成角就是直线与直线所成角为；正确；过，，三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形．所以③不正确；如图：三棱锥的体积为：由条件易知F是GM中点，所以,而，．所以三棱锥的体积为，④正确；故选：．本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．4．D【解析】

根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.【详解】解：=，故虚部为-2.故选：D.本题考查复数的除法运算和复数的概念.5．D【解析】

由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.【详解】设等比数列{an}的公比为q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，则，则，故选：D.本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.6．A【解析】试题分析：设公差为或（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.7．C【解析】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或.故选：C本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.8．C【解析】

取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：.本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.9．B【解析】

先将三个数通过指数，对数运算变形，再判断.【详解】因为，，所以，故选：B.本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.10．D【解析】

根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于，，，错误；对于，在上单调递减，，错误；对于，，，，错误；对于，在上单调递增，，正确.故选：.本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.11．C【解析】

根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，当且仅当时取“＝”号．

答案：C本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.12．D【解析】，则故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．A或D【解析】

分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可．【详解】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是是对的，则乙说：第3个盒子里面放的是是对的，丙说：第2个盒子里面放的是是对的，丁说：第4个盒子里面放的是是对的，由此可知第4个盒子里面放的是；假设甲说：第3个盒子里面放的是是对的，则丙说：第4个盒子里面放的是是对的，乙说：第2个盒子里面放的是是对的，丁说：第3个盒子里面放的是是对的，由此可知第4个盒子里面放的是．故第4个盒子里面放的电影票为或．故答案为：或本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．14．8【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.【详解】根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域.又目标函数表示直线在轴上的截距，由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8.故答案为：.本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.15．【解析】

把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值．【详解】解：由，得，，即，，又，，解得：．为正的常数，．故答案为：．本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题．16．(或写成)【解析】试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为考点：函数最值，函数单调区间三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）见解析【解析】

（1）由题意，只需找到的最大值即可；（2），构造并利用基本不等式可得，即.【详解】（1），∴的最大值为4.关于的不等式有解等价于，（ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得，（ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得，综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.（2）证明：根据（1）求解知，所以，又∵，，，，，当且仅当时，等号成立，即，∴，所以，.本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.18．（1）l：，C方程为；（2）＝【解析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】(1)曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，则转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不需要调整安全教育方案.【解析】

（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.（III）由（II）中数据，计算出，进而求得的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【详解】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.性别与合格情况的列联表为：是否合格性别不合格合格小计男生女生小计即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为,.的分布列为：20151050所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：.故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.20．（1）；（2）.【解析】

(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得在点处的切线方程；（2）令，然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值.【详解】（1），，∴，又，∴切线方程为，即.（2）令，，①若，则在上单调递减，又，∴恒成立，∴在上单调递减，又