(53)-专题53 平行与垂直

专题51平行与垂直

考点聚焦

重点速记

一、垂直。

1、垂线的定义：

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直

线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”

（或“CD垂直于AB”）．

2、垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．

3、垂直的判定：垂线的定义．

4、平行线的概念：

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作

“AB平行于CD”．

5、平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行．

（2）垂直于同一条直线的两直线平行．

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（3）平行线的定义．

二、平行。

1、定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。

2、平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两

条平行线之间的距离。

3、定理：平行线间的距离处处相等。

4、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

这个需要我们和垂直公理进行辨析。

5、平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。

这个可以用来判定两条直线平行。

三、相交与垂直。

两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA垂直于直线OB，

直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直说明了这两条

直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。）

①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。

③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

真题专练

一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）

1．（2分）（2023•大东区）如图中，直线c和直线d的位置关系是()

A．平行B．相交

C．垂直D．不平行也不相交

2．（2分）（2023•江门）小明在两条平行线之间作了5条与平行线垂直的线段（每条线段

的端点都在平行线上），这5条垂直线段的关系是()

A．平行不相等B．相等不平行

C．平行且相等D．不平行也不相等

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3．（2分）（2020•滨州）把一张长方形的纸对折再对折，打开后两条折痕()

A．互相平行B．互相垂直

C．可能互相平行，也可能互相垂直D．可能既不互相平行，也不互相垂直

4．（2分）（2021•江门）下面图形中，只有一组平行线的图形是()

A．B．C．D．

5．（2分）（2023•潍坊）下列说法正确的是()

1

A．两条永远不相交的直线叫平行线。B．a是自然数，它的倒数是。

a

C．圆柱体积是圆锥的3倍。D．同时同地，物高和影长成正比例。

6．（2分）（2023•莆田）体育运动中蕴含着许多数学知识。小方收集相关资料得出以下说

法，其中不正确的是()

A．测立定跳远成绩，应用了垂直的特征

B．抛硬币确定谁先开球，应用了可能性的知识

C．比赛中的比分，应用了“两个数的比表示两个数相除”的知识

D．400米跑各跑道的起跑线都不在同一条直线上，应用了圆周长与直径的关系

二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）

7．（2分）在下面的正方形中，有组线段互相平行，正方形对角线相交所成的角度为。

8．（2分）（2022•大余县）在同一平面内两条直线的位置关系有和。

9．（2分）（2021•宁县）图中与线段OB垂直的线段是；与线段OA垂直的线段是。

10．（2分）（2020•青岛）下图中有组直线互相平行。

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三．判断题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2分）（2023•宣城）在同一平面内，两条直线如果不相交就一定平行。

12．（2分）（2023•台儿庄区）如图，直线a是直线b的垂线。

13．（2分）（2023•淅川县）两条平行线中的其中一条直线绕一个点顺时针旋转90度后和

另一条直线垂直．

14．（2分）（2021•沾益区）在同一平面内，两条直线相交组成的4个角中如果有一个角是

直角，那么其它3个角也一定是直角。

15．（2分）（2023•成武县）把一张长方形纸片对折两次后，折痕一定互相垂直．．

16．两条直线相交组成的四个角中如果有一个角是直角，那么其它三个角也是直角．．

17．（2分）（2022•嘉鱼县）两条平行线长都是4厘米．

18．（2分）两条直线相交，其中一个角是90°，其余三个角一定是直角。

19．（2分）（2023•威信县）小明将一张纸平放在桌面上，分别画了3条直线a、b、c。已

知a^b，c//b，那么a//c。

20．（2分）两条直线相交的四个角中，如果有一个直角，那么其它三个角也是直角．．

四．操作题（共6小题，满分36分，每小题6分）

21．（6分）（2023•龙岗区）过点A，画直线m的垂线和平行线。

22．（6分）（2023•长春）某地即将举办马拉松比赛，比赛所需的补给物品放在了正方形M

区域内，要将补给物品配送到P点，请你在AC边上确定一个出口N，使得配送的路线最短；

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再在P点建一条与AC边平行的通道，便于补给物品的有序发放。请在图中画一画。

23．（6分）（2023•武陵区）请过点a画出与射线b平行的直线c和与射线b垂直的直线d。

24．（6分）（2023•廉江市）过A点画出直线L的一条平行线和一条垂线。

25．（6分）（2023•石家庄）过P点分别作OA的垂线和OB的平行线。

?

26．（6分）（2022•沙河口区）按要求画图。

（1）作直线AB的平行线，使平行线间的距离是2厘米。

（2）再画出以AB为底，高2厘米的直角三角形和钝角三角形。

五．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）

27．（6分）（2023•沈丘县）量出Ð1的度数：Ð1=。过点P分别作射线OM的垂线和ON

的平行线。

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28．（6分）（2021•江门）四个小朋友做“抢椅子”的游戏，他们的位置如图。谁最有可能

先坐在椅子上？你能说出理由吗？

答：最有可能先坐在椅子上。

理由是：。

29．（6分）（2020•矿区）如果两条平行线被一条直线所截（如图），会产生很多个有联系

的角。

（1）请用量角器测量Ð1、Ð2，你发现了什么？

（2）根据上面得到的结论，观察Ð3、Ð5，通过推理说明Ð3和Ð5的关系。

30．（6分）（2020•沈阳）操作与计算

（1）如图，O是直线上的一点，请过点O画出已知直线的垂线．

（2）以点O为圆心画一个直径为4厘米的圆．

（3）在圆上画一个最大的正方形．（剩下的用阴影表示）

（4）计算这个阴影部分的面积．

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专题51平行与垂直

参考答案

一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）

1．【分析】根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断。

【解答】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交。故选：B。

【点评】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情

况，不能单独作为一类。

2．【分析】根据“在两条平行线之间的线段中，垂直两条平行线的线段最短，这条线段的长

叫做平行线之间的距离”可知：这5条线段都相等；进而根据同一平面内，垂直于同一直线

的两条直线互相平行；可以得出这5条线段平行；据此选择即可。

【解答】解：小明在两条平行线之间作了5条与平行线垂直的线段（每条线段的端点都在平

行线上），这5条垂直线段的关系是平行且相等。故选：C。

【点评】此题考查了垂直和平行的特征和性质，注意基础知识的灵活运用。

3．【分析】把一张长方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方向，一种情

况是沿一条边的同一个方向对折两次，两条折痕是互相平行的；另一种情况是沿两条边的两

个方向对折，两条折痕是互相垂直的；由此得出结论。

【解答】解：把一张长方形的纸对折再对折，打开后两条折痕可能互相平行，也可能互相垂

直。故选：C。

【点评】解答此题的关键在于要从不同的折叠方向考虑，具体操作一下会更简捷。

4．【分析】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，而平行四边形、菱形有两

组平行线，正六边形有3组平行线；据此解答。

【解答】解：正六边形有3组平行线；正五边形没有平行线；菱形有两组平行线；梯形有一

组平行线。故选：D。

【点评】本题考查了梯形的特征。

5．【分析】同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；自然数0没有倒数；等底等高的圆

柱形的体积是圆锥形体积的3倍；同时同地，物体的高度和影子长成正比例。

【解答】解：根据分析可知，同时同地，物高和影长成正比例，说法正确。故选：D。

【点评】本题考查了平行线的意义、倒数的意义、圆柱与圆锥的关系及正反比例的判断方法。

6．【分析】根据垂直的特征、可能性以及圆周长与直径的关系、比的意义等知识，结合题意

分析解答即可。注意比赛中的比分，表示比分，不是相除关系，不是比。

【解答】解：A．测立定跳远成绩，应用了垂直的特征，所以本选项说法正确；

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B．抛硬币确定谁先开球，应用了可能性的知识，所以本选项说法正确；

C．比赛中的比分，表示比分，不是相除关系，不是比，所以本选项说法错误；

D．400米跑各跑道的起跑线都不在同一条直线上，应用了圆周长与直径的关系，所以本选

项说法正确。故选：C。

【点评】本题考查了垂直的特征、可能性以及圆周长与直径的关系、比的意义等知识，结合

题意分析解答即可。

二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）

7．【分析】根据垂直和平行的性质：在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直，不

相交的两条直线叫做平行线；据此解答即可。

【解答】解：图中正方形中，有2组线段互相平行，正方形对角线相交所成的角

度为90°。故答案为：2，90°。

【点评】此题考查了垂直和平行的特征和性质，根据意义判断即可.。

8．【分析】在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种，垂直是相交的一种特殊情

况。

【解答】解：在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情况。

故答案为：平行，相交。

【点评】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情

况，不能单独作为一类。

9．【分析】根据垂直的意义结合图示完成填空。

【解答】解：图中与线段OB垂直的线段是OD；与线段OA垂直的线段是OC。

故答案为：OD，OC。

【点评】本题主要考查垂直的应用。

10．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，据此判断。

【解答】解：图中有1和2平行，5和6平行，所以有2组直线互相平行。故答案为：2。

【点评】本题考查了平行线的性质，结合题意分析解答即可。

三．判断题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．【分析】根据平行线的定义判断：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

【解答】解：在同一平面内，两条直线如果不相交就一定平行。原题说法正确。

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故答案为：Ö。

【点评】解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交。

12．【分析】根据垂线的定义：当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，这两条

直线的交点即垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，据此解答即可。

【解答】解：由图可知，a^b，所以直线a是直线b的垂线。即原题说法正确。

故答案为：Ö。

【点评】解答本题需明确：两条直线垂直是互相的，所以不能独立地说哪条直线是垂线。

13．【分析】一条直线绕某点旋转90度，这样两条直线就相交成90度，它们互相垂直，由

此求解．

【解答】解：如图：直线a绕O点顺时针旋转90°后得到直线b，这两条直线相交成直角，

它们互相垂直，所以本题说法正确；

故答案为：Ö．

【点评】解决本题关键是明确垂直的概念，画出图比较容易解决．

14．【分析】两条直线相交，有两种情况，垂直或不垂直，如果其中一个角是90°，那么其它

各个角都是90°，这两条直线就相互垂直。

【解答】解：在同一平面内，两条直线相交组成的4个角中如果有一个角是直角，那么其它3

个角也一定是直角，说法正确。故答案为：Ö。

【点评】此题考查了垂直的含义，注意对一些基础概念和性质的理解。

15．【分析】把一张长方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方向，一种

情况是沿一条边的同一个方向对折两次，三条折痕是互相平行的；另一种情况是沿两条边的

两个相反方向对折，两条折痕是互相垂直的；由此得出结论．

【解答】解：由分析可知：把一张长方形的纸对折两次后，

折痕的关系是可能互相平行，也可能互相垂直；故答案为：´．

【点评】解答此题的关键在于要从不同的折叠方向考虑，具体操作一下会更简捷．

16．【分析】两条直线相交，有两种情况，垂直或不垂直，如果其中一个角是90°，那么其它

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各个角都是90°，这两条直线就相互垂直．

【解答】解：由垂直的含义可知：两条直线相交组成的四个角中如果有一个角是直角，那么

其它三个角也是直角，所以原题说法正确；故答案为：正确．

【点评】此题考查了垂直的含义，注意对一些基础概念和性质的理解．

17．【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；由此可知：

两条平行线都是直线，无限长；据此判断．

【解答】解：两条平行线都是4厘米，说法错误，因为平行线都是直线，无限长；

故答案为：´．

【点评】明确平行线的含义和直线的含义，是解答此题的关键．

18．【分析】因两条直线相交，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，形成

的四个角都是直角，据此解答。

【解答】解：如图：

两条线相交，其中一个角是90°，其余三个角一定是90°，说法正确。故答案为：Ö。

【点评】本题主要考查了学生对互相垂直的两条直线，形成的角和度数是多少知识的掌握情

况。

19．【分析】通过两条直线的垂直关系，可以得出结论：当直线a和直线b互相垂直，而直线

b和直线c互相平行时，直线a和直线c必然也是相互垂直的。据此解答。

【解答】解：根据分析得，已知a^b，若c//b，则a^c。故原题说法错误。故答案为：´。

【点评】本题主要考查平行和垂直的特性，属于基础知识，要熟练掌握。

20．【分析】两条直线相交，有两种情况，垂直或不垂直，如果其中一个角是90°，那么其它

各个角都是90°，这两条直线就相互垂直．

【解答】解：由垂直的含义可知：两条直线相交组成的四个角中如果有一个角是直角，那么

其它三个角也是直角，所以原题说法正确；故答案为：Ö．

【点评】此题考查了垂直的含义，注意对一些基础概念和性质的理解．

四．操作题（共6小题，满分36分，每小题6分）

21．【分析】用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板

的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向已知直线画垂线即可；把三角板的一条直角

边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原

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来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画平行线即可。

【解答】解：作图如下：

【点评】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力，结合题意分析解答即

可。

22．【分析】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要作出P

点到AC的垂线段即可；

用三角板的一条直角边和AC重合，移动三角板使另一条直角边和P点重合，用直尺靠紧和P

点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过P点画直线即可。

【解答】解：作图如下：

【点评】本题考查了垂线和平行线的画法，结合题意分析解答即可。

23．【分析】用三角板的一条直角边和已知射线b，移动三角板使另一条直角边和a点重合，

用直尺靠紧和a点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过a点画直线即可；

用三角板的一条直角边的已知射线b重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直

角边和a点重合，过a沿直角边向已知直线画直线即可。

【解答】解：作图如下：

【点评】本题考查了作已知直线的平行线和垂线的画法，结合题意分析解答即可。

24．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，

沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板

的直角边画直线即可；把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角

板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可。

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【解答】解：作图如下：

【点评】本题考查了学生过已知直线外一点画已知直线的平行线和垂线的能力，结合题意分

析解答即可。

25．【分析】用三角板的一条直角边与已知直线OA重合，沿重合的直线平移三角板，使三角

板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可。

把三角板的一条直角边与已知直线OB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动

三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画

直线即可。

【解答】解：过点P画出OA的垂线、OB的平行线如下：

【点评】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力，结合题意分析解答即

可。

26．【分析】（1）先作出直线AB的垂线，在直线的垂线上截取与直线AB的距离是2厘米的

一点，过该点作出直线AB的平行线。

（2）根据它们的定义：有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角

形，是钝角三角形，进而画出即可。

【解答】解：根据要求，作图如下：（答案不唯一）

【点评】此题考查了平行线的画法及三角形按角分类的方法，根据题意画图解答即可。

五．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）

27．【分析】用量角器量角即可，量角要注意：量角器的中心和角的顶点对齐，角的一边与

量角器的0刻度线重合。

用三角板的一条直角边的已知直线OM重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条

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直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可画出OM的垂线；

把三角板的一条直角边分别与已知直线ON重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺

移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和