(48)-专题48 最优化问题

专题48最优化问题

考点聚焦

重点速记

在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情，怎样合理安排才能做到用

的

时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面

积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大(小)值，

这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。

结合实际，联系生活。通过列举、计算、对比等手段，选择最佳方法。有些问题，从部分思

考，

再全面解决问题，得到最佳对策。

1、最优化问题虽然具有趣味性，但由于解题方法灵活，技巧性强，因此要开拓解学生题思

路，增强数学能力。

2、因为最优化问题灵活性强，所以要求学生结合实际，联系生活。善于应用用时最省、费

时最省、面积最大、乘积最大四点角度考虑。

思考角度:

1.用时最省:把两件或三件以上的事同时做。

2、费时最省:费时少者优先。

3、面积最大:图形越正，面积越大。

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4、乘积最大:两数相差越小，乘积越大。

真题专练

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．（2分）（2023•北票市）甲、乙两家商场以同样的标价销售同样型号的数码相机．在促

销活动中，甲商场先降价10%后，又在降价的基础上打九折销售，乙商场打八折销售．两家

商场调整后的价格相比，()

A．甲商场便宜B．乙商场便宜C．价格相同D．不能确定

2．（2分）（2023•六盘水）学校足球队准备买8个足球，到各商场对比价格，每家商场的

零售价都是60元/个，最划算的是()

A．甲商场“买5送2”B．乙商场“买3送1”

C．丙商场“打七折”D．丁商场“每满100元减35元”

3．希望小学六年级组织师生共230人参观实验基地，如表的租车方案，租()最省钱。

车型座位/个车费/元

大客车501500

小客车301050

A．5辆大客车B．4辆大客车和1辆小客车

C．3辆大客车和3辆小客车D．1辆大客车和6辆小客车

4．（2分）（2023•香洲区）学校足球队要买50个足球，刘老师看了三家体育用品店，发现

单价都是25元/个，但促销方式各不同（如表）。刘老师去()店买更合算。

A店B店C店

买十送二打八折满100返现金20元

A．AB．BC．CD．无法确定

5．（2分）（2023•濮阳县）学校计划采购2000个口罩，恰逢甲、乙、丙三家药店开展促销

活动。同一款口罩原价相同，都是2.7元。在()药店买最便宜。

甲：每满1000元减200元。

乙：不满5000元，打九折；若满5000元，打八五折

丙：一律九折，且折后满4000元返现金500元。

A．甲B．乙C．丙D．价钱一样

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6．（2分）疫情过后，我国经济复苏势头强劲，旅游业也按下“重启键”。一间旅行社推出

“xx景区一日游“的两种方案。当成人6人，儿童4人时，选哪种方案合算？()

A．都一样B．方案一C．方案二D．无法确定

7．（2分）（2022•管城区）假期将至，超市都在搞打折促销活动，同一品牌原价为50元的

洗衣液，甲超市打七折销售，乙超市降价20%销售，丙超市“买三送一”。现在妈妈打算买4

瓶洗衣液，在()超市买更划算。

A．甲B．乙C．丙

8．（2分）某品牌彩色铅笔原价每盒10元。甲、乙、丙三个商店均在促销：甲商店每盒八

折出售，乙商店买四送一，丙商店每满50元减10元。张老师共要购买5盒，那么()

A．去甲商店买合算B．去乙商店买合算

C．去丙商店买合算D．三个商店一样合算

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．（2分）（2023•长兴县）爸爸想在网上书店买书，A店打八折销售，B店每满100元减

20元。如果爸爸想买的这套书两家店原来的标价都是150元。

（1）到店买更划算.（填“A”或“B”)

（2）若爸爸在A店持有会员卡，在八折的基础上继续打折，共省了42元。则用会员卡又享

受了折。

10．（2分）（2023•兰陵县）某品牌的衣服搞促销活动，在A商场打五折销售，在B商场按

“每满100元减50元”销售。妈妈要买一件230元的上衣，选择商场更省钱。

11．2023年5月30日是第七个全国科技工作者日，书店促销活动，原价40元一本的《宇

宙》，甲书店每本降价15%，乙书店每本打八折出售。要买2本《宇宙》，从书店买更

省钱。

12．某品牌的裙子搞促销活动，在银星商场打五七折销售，在兴达商场按“每满100元减50

元”销售。王阿姨要买一条该品牌标价340元的裙子，应选择在商场更省钱。

13．（2分）（2022•阿荣旗）某品牌的旅游鞋搞促销活动，按“每满100元减40元”的方

式销售，妈妈给小丽买一双标价120元的这种品牌旅游鞋，应付元钱。

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14．（2分）（2022•龙岗区）有44名学生要租车去春游，中巴车限坐21人，租金160元；

面包车限坐12人，租金120元，最便宜需要元租车。

15．一种可乐在三家商店零售价均为4元/听，五一期间促销活动如下：甲商店打八五折，乙

商店每满15元减2元，丙商店买四送一。亮亮要买10听这种可乐最少花元钱。

16．（2分）（2021•东丽区）两名教师带领35名同学出去春游，需要租船，租金最少为

元．

三．应用题（共12小题，满分68分）

17．（5分）丽丽的妈妈想在网上购买一双鞋子，两个网店的标价都是220元，但是A店打

出七五折优惠，B店打出每满100元减25元的优惠。请问到哪家网店购买更省钱。

18．（5分）（2023•湾沚区）学校准备购买150套课桌，现有两家工厂零售价都是每套240

元，购买50套就可以优惠。甲厂：按九二折优惠；乙厂：每满1000元返现金150元。学校

到哪家工厂购买更省钱？甲、乙两个工厂的总价相差多少钱？

19．（5分）（2023•灌南县）有18吨货物要运到集市，租一辆4吨大货车要500元运费，

租一辆1吨小货车要200元运费。货运公司提供了设计好的三种方案（见表）。

你还能提出比货运公司更省钱的方案吗？如果能，请帮忙算出来。

大货车数量/辆小货车数量/辆运费/元

0183600

1143300

2103000

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20．（5分）（2023•开州区）某超市举行店庆促销活动，推出三种结算方式：现金支付、支

付宝支付、微信支付。小红的妈妈到超市购买牛肉，牛肉每千克82元，应该支付123元。小

红的妈妈最终选择用微信支付的方式，结果随机减免了14元。小红的妈妈在这次购物过程中，

选用哪种支付方式最划算？（请列出算式通过计算说明）

现金支付：每满50元减5元(50元就减5元，100元就减10元，以此类推）。

支付宝支付：直接按八五折支付

微信支付：随机减免的方式

21．百货大楼搞促销活动，甲品牌鞋满200元减100元，乙品牌鞋“折上折”，就是先打六

折，在此基础上再打九折。如果两个品牌都有一双标价260元的鞋，哪个品牌的更便宜？

22．（6分）（2023•郑州）四（1）班的3名老师带领35名学生到植物园踏青赏花。

植物园门票：成人票10元/人，儿童票5元/人。

10人以上（含10人）可购买团体票，团体票6元/人。

四（1）班的师生怎样购票最划算？最少要花多少钱？

23．（6分）（2023•如皋市）学校足球队要买40个足球，现有三个商店可供选择，三个商

店足球的价格都是24元，但每个店优惠的方式不同。

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甲店：每买满10个足球赠送1个，不足10个不赠送。

乙店：每个足球打9折。

丙店：购物每满100元，返现金10元。

为了节省费用，学校足球队应到哪个商店购买？

24．小明同学，在网上书店购书，浏览网店时，发现A店打七折销售，B店满100元减30元。

他想买标价为130元一套的《科学探索》。请你帮他算一下，他在哪个书店购书更便宜？

25．（6分）（2023•梅州）实验学校准备买20台电脑，现在有甲、乙两个电脑公司，其电

脑品牌、质量和售后服务完全相同，且每台报价都是4000元。两公司的优惠条件如下所示，

算一算：哪家公司的价格更便宜一些？

甲公司??

10台以内（包括10台）不优惠，超过10台的部分打7折。

乙公司

一律按报价的80%计算。

26．（6分）（2023•洛阳）六（2）班共有42名同学，计划开联欢会时给每位同学准备300

毫升饮料，这种饮料大瓶装每瓶1.5升，12元一瓶；小瓶装每瓶300毫升，3元一瓶。现有3

家商店推出不同的促销方式：

A商店：买一大瓶，送一小瓶；

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B商店：一律九折；

C商店：每满50元减10元。

请问：去哪家商店购买更便宜？至少需要多少钱？

27．（6分）（2023•西乡县）“六一”儿童节，甲乙丙三家文具店做优惠活动，某种钢笔原

价都是12元，甲文具店一律打九折，乙文具店满十送一，丙文具店每满200元减现金20元，

李老师要买45只钢笔，在哪家文具店购买比较划算？

28．（6分）（2023•房山区）赵叔叔在某市银行上班，每天要开车到单位（中午不回

家）．银行附近有两个停车场，收费标准如下：

2小时内（含2小时）共收5元

新华小区

超过2小时的部分每小时加收1元

阳光家园按月收费，每个月500元

（1）在新华小区的停车场停车5小时，需要多少钱？

（2）赵叔叔每周工作5天（值班1天）．其中4天每天需要停车8小时，值班当天需要多停

4小时．如果每个月的工作时间按4周计算，你认为赵叔叔应该选择哪个停车场比较合算？

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专题48最优化问题

参考答案

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．【分析】设原价是1，

甲商场：先降价10%，那么降价后的价格就是原价的(1-10%)，由此用乘法求出第一次降价后

的价格；再用第一次降价后的价格乘上90%，就是现价；

乙商场：打八折，是指现价是原价的80%；用原价乘上80%就是现价；

比较现价，从而解决问题．

【解答】解：设原价是1，则：

甲商场：1´(1-10%)´(1-10%)

=1´90%´90%

=0.81

乙商场：

1´(1-20%)

=1´80%

=0.8

0.81>0.8

答：两家商场调整后的价格相比，乙商场便宜．故选：B．

【点评】找清楚两个商城的不同优惠方法，弄清楚乙商场两个单位“1”的不同解决本题的关

键．

2．【分析】根据要购买足球的数量及四家不同的优惠方案，分别进行分析计算即能得出去哪

家商场购买比较合适。

【解答】解：甲商场：买5送2

8¸(5+2)=1（组)¼¼1（个)，即可获送2个。

只需买：8-2=6（个)

需花：6´60=360（元)

乙商场：买3送1

8¸(3+1)=2（组)，即可获送2个。

只需买：8-2=6（个)

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需花：6´60=360（元)

丙商场：打七折，即按原价的70%出售，需花：

60´8´70%

=480´0.7

=336（元)

丁商场：“每满100元减35元”。

60´8=480（元)

480¸100»4（组)

480-35´4

=480-140

=340（元)

336<340<360元，所以到丙商场比较划算。

答：到丙商场比较划算。故选：C。

【点评】先理解三个商店的优惠方法，再根据优惠的方法求出买8个各需多少钱，进而求解。

3．【分析】本题根据需要坐车的人数结合两种车型的限坐人数及租金进行分析即可：先算出

两种车的租车单价，得出租哪种车便宜；在尽量满载，没有空座的情况下，多租用大客车最

省钱。

【解答】解：1500¸50=30（元)

1050¸30=35（元)

30<35

所以，尽量多租大客车。

230¸50=4（辆)¼¼30（人)

30人刚好租一辆小客车。

即租4辆大客车1辆小客车最省钱。故选：B。

【点评】根据每种车型的限载人数及租金算出每人次的租车成本，并由此设计方案是完成本

题的关键。

4．【分析】根据三个店的优惠政策，分别计算所需钱数，比较即可得出结论。

【解答】解：A店：

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50¸(10+2)=4（组)¼¼2（个)

(50-4´2)´25

=42´25

=1050（元)

B店：

50´25´80%

=1250´80%

=1000（元)

C店：

50´25=1250（元)

1250¸100=12（组)¼¼50（元)

1250-12´20

=1250-240

=1010（元)

由于1000元<1010元<1050元；所以刘老师去B店买更合算。故选：B。

【点评】本题主要考查最优化问题，关键是计算各家商店所需钱数。

5．【分析】根据三家药店的优惠政策，分别计算所需钱数，比较即可得出结论。

【解答】解：甲：

2.7´2000=5400（元)

5400¸1000»5（组)

5400-200´5

=5400-1000

=4400（元)

乙：

2.7´2000=5400（元)

5400´85%=4590（元)

丙：

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2.7´2000´90%=4860（元)

4860-500=4360（元)

4590>4400>4360

答：在丙药店买最便宜。故选：C。

【点评】本题主要考查最优化问题，关键是计算三家药店各需多少钱。

6．【分析】成人人数加儿童人数刚好10人，达到买团体票的最低要求，先用每人票价乘人

数分别算出按两种方案买票需要的钱数，再进行比较，找出合算的方案即可。

【解答】解：180´6+100´4

=1080+400

=1480（元)

140´(6+4)

=140´10

=1400（元)

1400<1480

答：选择方案二合算。故选：C。

【点评】儿童票价低于团体票价，团体票价低于成人票价，选择合算的购票方案时，成人、

儿童人数不同，选择的方案就可能不同，通过计算不同方案需要的购票钱数，可以找出最合

算的方案。

7．【分析】妈妈买4瓶洗衣液优惠前的价格是50´4=200（元)；分别计算出三个超市优惠后

的价格，再进行比较即可。

【解答】解：50´4=200（元)

甲超市优惠后价格：

200´70%=140（元)

乙超市优惠后价格：

200´(1-20%)

=200´0.8

=160（元)

丙超市优惠后价格：

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50´(4-1)=150（元)

160>150>140

答：从甲超市购买最划算。故选：A。

【点评】本题的解题关键是分别计算出三个超市优惠后的价格，进行比较法解决问题。

8．【分析】根据甲、乙、丙三家商店的优惠政策，分别计算所需钱数，比较即可得出结论。

【解答】解：甲商店：

八折=80%

10´80%´5=40（元)

乙商店：

5-1=4（盒)

4´10=40（元)

丙商店：

10´5-10

=50-10

=40（元)

40元=40元=40元

答：三个商店一样合算。故选：D。

【点评】本题主要考查最优化问题，关键是计算三家商店各需多少钱。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【分析】（1）根据两家店的优惠方法分别算出在两家购买需要的总价，然后再比较大小

即可。

（2）先求出最后的价格，再除以八折后的价格即可。

【解答】解：（1）A店：

8折=80%

150´80%=120（元)

B店：

150元里面有1个100元，

150-1´20

=150-20

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=130（元)

120元<130元

答：到A店买更划算。

（2）(150-42)¸(150´80%)

=108¸120

=0.9

=90%

90%=9折

答：用会员卡又享受了9折。故答案为：A；九。

【点评】本题主要考查最优化问题，关键是根据两种优惠方式，计算所需钱数，找到更优惠

的方式。

10．【分析】根据两个商场的优惠方法分别算出实际花费的钱数，再比较大小即可。

【解答】解：A商场：

230´50%=115（元)

B商场：230里面有2个100元，所以应减去2个50元，则：

230-50´2

=230-100

=130（元)

115<130

答：选择A商场更省钱。故答案为：A。

【点评】本题主要考查了最优化问题，解题关键是求出在两个商场实际花的钱数。

11．【分析】本题根据两个书店不同的优惠方案分别计算出买2本书要多少钱，再比较大小

即能得出到哪家书店买更省钱。

【解答】解：甲书店：40´(1-15%)´2

=40´0.85´2

=34´2

=68（元)

乙书店：40´80%´2

=32´2

第13页共23页

=64（元)

64<68

答：从乙书店买更省钱。故答案为：乙。

【点评】根据两个书店不同的优惠方案分别进行计算分析是完成本题的关键。

12．【分析】银星商场：打五七折，是指现价是原价的57%，把原价看成单位“1”，用原价

乘上57%就是现价；兴达商场：“每满100减50元”，340元可以减去3个50元，用340

元减去50´3元就是B商场应付的钱数；比较两个商场花的钱数即可求出哪个商场更省钱。

【解答】解：银星商场：

340´57%=193.8（元)

兴达商场：

340里面有3个100元，所以应减去3个50元，则：

340-50´3

=340-150

=190（元)

190<193.8

答：选择兴达商场更省钱。故答案为：兴达。

【点评】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是求两个商场花的钱数。

13．【分析】根据题意，可知按“每满100元减40元”的方式销售，妈妈给小丽买一双标价

120元的这种品牌旅游鞋，120>100，符合按“每满100元减40元”的方式，即可解答。

【解答】解：120-40=80（元)

所以妈妈给小丽买一双标价120元的这种品牌旅游鞋，应付80元钱。

故答案为：80。

【点评】本题是一道关于优化的题目，解答本题的关键是熟练掌握此类题目的解法。

14．【分析】根据不同的租车方案，分别计算出各需要多少钱，然后比较最便宜的即可。

【解答】解：方案一：

21´2+2=44（人)

即租2辆中巴车，1辆面包车：

2´160+120

=320+120

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=440（元)

方案二：21´1+12´2=45（人)

即租1辆中巴车，2辆面包车：

1´160+2´120

=160+240

=400（元)

方案三：

12´3+8=44（人)

即租3辆面包车，1辆中巴车：

3´120+160

=360+160

=520（元)

400<440<520

所以，最便宜需要400元租车。

答：最便宜需要400元租车。故答案为：400。

【点评】租车优化问题首先要使便宜的车满座，如果剩余的人数比较较多又接近满座，可以

考虑剩下的人再租用同一种车，如果剩余的人数比较少可以通过调整租用其它载人少的车。

15．【分析】根据亮亮买的数量及每个商店的优惠方案，分别计算在甲、乙、丙三个商店购

买需要的钱数，然后选择花钱最少的一家去购买。

【解答】解：如按售价购买10听可乐需要：4´10=40（元)

甲商店：40´85%=34（元)

乙商店：40¸15=2（个)......10（元)

减少的钱数为：2´2=4（元)

实际支付：40-4=36（元)

丙商店：

10¸(4+1)

=10¸5

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=2

2´4=8（听)

所以只需买8听即可获得10听，需要的钱数为：8´4=32（元)

32元<34元<36元

所以在丙店购买花钱最少。

答：亮亮要买10听这种可乐最少花32元钱。故答案为：32。

【点评】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是根据三家商店的优惠方案计算需要的钱

数。

16．【分析】本题根据需要坐船的人数，两种船的限载人数及租金进行分析即可：

由题意可知，大船每人次的成本为30¸6=5元，小船每人次的成本为24¸4=6元．

由此可得：在尽量满载的情况下，多租用大船最合算．据此解答即可．

【解答】解：35+2=37（人)

大船每人次的成本为：30¸6=5（元)

小船每人次的成本为：24¸4=6（元)

5<6

由此可得：在尽量满载的情况下，多租用大船最合算．

37¸6=6（条)¼1（人)

余1人，空座过多，调整为，即租用5条大船，2条小船最省钱．

需花：30´5+24´2

=150+48

=198（元)

答：租金最少为198元．故答案为：198．

【点评】通过分析大船与小船的租用成本得出在尽量满载的情况下，多租用大船最合算是完

成本题的关键．

三．应用题（共12小题，满分68分）

17．【分析】分别计算出两家店购买这双鞋子的最终花费金额后比较大小，花费小的那家店

购买即可。

【解答】解：A店，220´75%=165（元)

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B店，220¸100=2¼¼20

2´25=50（元)

220-50=170（元)

165<170，即A店价格更低，故去A店购买。答：到A家网店购买更省钱。

【点评】本题考查了花钱中的最优化问题，解题关键是理解七五折的含义现价是原价的75%。

18．【分析】按九二折优惠就是付总价的92%的钱；每满1000元返现金150元就是总价里面

有几个1000元就返几个150元现金。利用单价乘数量等于总价的关系进行计算。

【解答】解：240´150´92%

=36000´92%

=33120（元)

240´150¸1000

=36000¸1000

=36

240´150-150´36

=36000-5400

=30600（元)

30600<33120

33120-30600=2520（元)

答：学校到乙工厂购买更省钱，甲、乙两个工厂的总价相差2520元钱。

【点评】明确两种优惠方案的意义是解决本题的关键。

19．【分析】还可以租3辆大货车，6辆小货车；还可以租4辆大货车，2辆小货车。分别算

出多少钱，进行比较。

【解答】解：可以租3辆大货车，6辆小货车

费用：3´500+6´200=2700（元)

可以租大货车4辆，小货车2辆

费用：4´500+2´200=2400（元)

2400<2700

所以租大货车4辆，小货车2辆最省钱。

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【点评】此题考查最优化问题，要把各种方案都考虑到。

20．【分析】分别计算出三种支付方式的实际支付钱数，再比较大小即可。

【解答】解：123-10=113（元)

123´85%=104.55（元)

123-14=109（元)

113>109>104.55

答：选用支付宝支付最划算。

【点评】本题考查了利用整数减法、百分数乘法及比较数的大小解决问题，需准确理解题意。

21．【分析】甲品牌，超过200元就减去100元，那么原价260的鞋，只需要(260-100)元；

乙品牌，“折上折”，先打六折，在此基础上再打九五折，先把原价看成单位“1”，用原价

乘上60%，就是六折后的价格，再把六折后的价格看成单位“1”，再乘上90%，就是现价；

比较两种品牌的现价即可求解。

【解答】解：甲品牌：260>200，所以减100元，

260-100=160（元)

乙品牌：

260´60%´90%

=156´90%

=140.4（元)

140.4<160

答：乙品牌的更便宜。

【点评】解决本题关键是理解两种品牌不同的优惠方法，注意乙品牌的两个单位“1”的不同。

22．【分析】方案一：老师购买成人票，学生购买儿童票；

方案二：老师和学生购买团体票；

方案三：3名老师和7名学生购买团体票，剩下的学生购买儿童票；

比较三种方案花的钱数即可求解。

【解答】解：方案一：老师购买成人票，学生购买儿童票；

10´3+5´35

=30+175

=205（元)

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方案二：老师和学生购买团体票；

6´(35+3)

=6´38

=228（元)

方案三：3名老师和7名学生购买团体票，剩下的学生购买儿童票；

(3+7)´6+(35-7)´5

=60+140

=200（元)

200<205<228

答：3名老师和7名学生购买团体票，剩下的学生购买儿童票最划算，最少要花200元。

【点评】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是求出三种方案花的钱数，再比较。

23．【分析】根据题意可得，甲店：买40个，选算出要买的个数，再算出需花的钱数；乙店：

即每个足球24´0.9=21.6（元)，再乘个数即可：先算出买40个足球花40´24=960（元)，里

面有几个100元，总钱数减去返还的即可；分别算出进一步比较得出答案即可。

【解答】解：甲店：40¸(10+1)

=40¸11

=3（个)¼¼7（个)

(40-3)´24

=37´24

=888（元)

乙店：24´90%´40

=21.6´40

=864（元)

丙店：40´24=960（元)

960¸100=9（个)¼¼60（元)

960-9´10

=960-90

=870（元)

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864<870<888

答：学校足球队应到乙店购买。

【点评】此题应根据题意，进行解答，进而根据所得数据，进行比较，得出最佳方案。

24．【分析】A店打七折销售，即按原价的70%出售，根据分数乘法的意义，求出实际花的

钱数；B店先求出130里面有1个100，再用标价减去(1´30)元；比较两店花的钱数即可求解。

【解答】解：A店：130´70%=91（元)

B店：130里面有1个100，

130-1´30

=130-30

=100（元)

91<100

所以他在A店购书更便宜。答：他在A店购书更便宜。

【点评】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是求出两店花的钱数。

25．【分析】根据甲、乙两个电脑公司的优惠方法分别算出在两家购买需要的总价，然后再

比较大小即可。

【解答】解：甲公司：

20-10=10（台)

4000´10+4000´70%´10

=40000+28000

=68000（元)

乙公司：

4000´80%´20

=3200´20

=64000（元)

68000>64000

答：乙公司的价格更便宜一