(25)-专题25 公因数和公倍数问题

专题25公因数和公倍数问题

考点聚焦

重点速记

1、公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的

公倍数．

2、给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．

3、求几个数的最大公因数

（1）分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．

（2）用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程

合并了．

4、求几个数的最小公倍数。

（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数

公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数．

（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）

×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上

述公式求出它们的最小公倍数．

真题专练

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．（2分）（2023•铁西区）已知2路公共汽车10分开出一辆，10路公共汽车15分开出一

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辆，同时开出一辆后，至少再过()分又同时开出。

A．20B．30C．25D．60

2．（2分）（2023•石河子）欢欢家客厅长6米，宽4.2米。计划在地面上铺地砖，要求都用

整块方砖。方砖的边长可以是()厘米。

A．100B．60C．80D．70

3．（2分）（2023•嵩县）学校组织毕业班学生参加社会实践活动，活动时，除最后一组为2

人外，其余每组都是3人，参加这次活动的学生可能有()人。

A．650B．564C．520D．630

5

4．五（1）班的人数在40~50之间，男生人数是女生人数的，五（1）班有()人。

6

A．42B．44C．45D．48

5．（2分）（2023•郑州）袋里有一些糖果，平均分给5个同学或者平均分给6个同学，都

正好分完，袋里最少有()个糖果。

A．30B．60C．11D．18

6．（2分）（2023•滁州）一根细木棒长24cm，另一根细木棒长32cm，分别将它们截成同样

长的小段。如果要求截的小棒尽可能长，且都没有剩余，最少截成()段。

A．3B．4C．7D．14

7．（2分）（2023•青秀区）一包糖，可以平均分给2个人，也可以平均分给3个人，都正

好分完，这包糖最少有()颗。

A．4B．6C．15D．16

8．（2分）（2023•凤城市）学校合唱团为庆祝“六一”正在进行彩排，现有48名女生和60

名男生，如果男生和女生要分别排成整行，且每行人数都相同，那么每行最多能排()人。

A．6B．8C．10D．12

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．小华和小红都是爱看书的孩子，小华每隔两天去一次图书馆，小红每隔三天去一次图书馆，

2022年2月24日这一天她们都去了图书馆，她们下一次同时去图书馆是月日。

10．（2分）（2023•金水区）一袋糖果，无论平均分给18个小朋友，还是平均分给20个小

朋友，均没有剩余，这袋糖果至少有颗。

11．（2分）（2023•罗湖区）有两根木料，一根长12m，另一根长18m，现在要把它们截成

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长度相等的若干小段，每段不能有剩余，每小段最长米，两根木料一共可以截成

段。

12．（2分）（2023•上虞区）“六一”儿童节当天，老师买来200颗大白兔糖，160颗巧克

力，平均分给班里的全体同学，刚好全部分完，这个班最多有人。

13．（2分）（2023•高州市）将一根长为410厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型

号的短管（加工损耗忽略不计），剩余部分的铝管至少是厘米。

14．（2分）（2023•章丘区）一箱苹果有50多个，如果把这箱苹果每6个装一盒，还剩余4

个，如果每8个装一盒，也剩余4个，这箱苹果共个。

15．六（1）班站队，每9人一行或每12人一行，结果都多3人。这个班至少有人。

16．（2分）（2023•江门）徐老师买来12枝玫瑰花和30枝百合花，用这些花最多可以扎成

束同样的花束，每束有枝玫瑰花。

三．应用题（满分68分）

17．一个大型室内游乐场的地面是一个长为72米、宽为63米的长方形，如果全部用正方形

爬行垫铺地（爬行垫均为整块数）。铺满这间屋子的地面至少需要多少块这样的爬行垫？

18．（5分）（2023•吉阳区）1路车每10分钟发一班车，2路车每15分钟发一班车，这两

路公交车早上8点10分第一次同时发车，什么时间这两路车第二次同时发车？

19．三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6

天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。“如果三人7月5日上午9点同时去图书馆

借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？

20．（5分）（2021•莘县）把30块糖和24块巧克力，平均分给一个组的同学，都正好分完，

你知道这个组最多有多少同学吗？每位同学分得几块糖？几块巧克力？

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21．（6分）（2019•湖南）上午6时从汽车站同时出发1路和2路公共汽车，1路车每隔12

分钟发一次，2路车每隔18分钟发一次，求下次同时发车时间。

22．（6分）（2023•兖州区）学校在校园里开辟了一块长20米，宽8米的长方形土地，准

备把这片土地划分成大小相等的小正方形做试验田，且土地不能有剩余，每块小正方形土地

的面积最大是多少平方米？可以分成多少块？

23．（6分）（2023•萝北县）五（1）班有42人，五（2）班有48人参加植树活动，要求按

班分组，如果两个班每组的人数必须相同，可以怎样分？每组最多有多少人？

24．秦老师买了作业本112本，铅笔130支，橡皮70块，平均分给四（6）班的同学，结果

作业本多出13本，铅笔少了2支，橡皮多出4块，则四（6）班最多有人．

25．一个房间的长是3.6米，宽是2.4米．现在要在这个房间铺上相同的方砖．

①每块方砖的边长最大是多少分米？

②这间房间一共需要多少块这样的方砖？

26．（6分）（2023•大城县）一箱玩具有40多个，如果把这些玩具每8个装一盒或每10个

装一盒，都还剩下6个。这箱玩具有多少个？

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27．（6分）（2022•栾城区）一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个

长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？

28．（6分）（2023•建邺区）在AB这条新铺的路上等距离安装路灯，但要求在C处及AC和

BC的中点处都要安装一盏，问至少需要安装多少盏灯？

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专题25公因数和公倍数问题

参考答案

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．【分析】由题意可知，2路公共汽车的发车时间是10的倍数，10路公共汽车的发车时间

是15的倍数，2路和10路汽车同时的发车时间为10和15的公倍数，求至少经过多长时间2

路和10路汽车同时发车，计算10和15的最小公倍数即可。

【解答】解：10=2´5

15=3´5

10和15的最小公倍数：2´3´5=30。

答：至少再过30分又同时开出。故选：B。

【点评】根据求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连

乘积，就是这两个数的最小公倍数。

2．【分析】先换算单位长6m=600cm，宽4.2m=420cm，再找到600，420的公因数即可作出

选择。

【解答】解：6m=600cm，宽4.2m=420cm

600=2´2´2´3´5´5；

420=2´2´3´5´7；

故选项中只有60是600、420的因数。故选：B。

【点评】考查了图形的密铺，同时是对求两个数的公因数的考查。本题要将6m，4.2m进行适

当的单位换算。

3．【分析】根据题意可得：参加活动的学生人数除以3余数是2；据此判断即可。

【解答】解：A．650¸3=216¼¼2，与题意相符；

B．564¸3=188，与题意不符；

C．520¸3=173¼¼1，与题意不符；

D．630¸3=210，与题意不符。故选：A。

【点评】根据每组人数情况，确定“总人数除以3余数是2”是解答本题的关键。

5

4．【分析】男生人数是女生人数的，根据分数意义，全班有5+6=11（份)，男生人数占5

6

份，女生人数占6份，五（1）班的人数在40~50之间并且是11的倍数，结合选项得出结论

即可。

【解答】解：根据题意，五（1）班的人数在40~50之间并且是11的倍数，所以是44人。

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故选：B。

【点评】本题考查分数的意义，关键根据题意得出全班人数的份数，再进一步解答。

5．【分析】由题意“平均分给5个同学或者平均分给6个同学，都正好分完”，说明这包糖

至少有的块数，是6和5的最小公倍数，因此求出6和5的最小公倍数，即可求出这包糖果

至少有多少块。

【解答】解：因为6和5互质。

所以6和5的最小公倍数是：6´5=30。

答：这盒糖果至少有30块。故选：A。

【点评】考查了求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的

连乘积是最小公倍数。

6．【分析】根据题意，求出24和32的最大公约数，即是每根小段的最长，然后用24除以

最大公约数加上32除以最大公约数的商，就是一共截成的段数，据此解答。

【解答】解：24=2´2´2´3

32=2´2´2´2´2

因为24和32的最大公约数是2´2´2=8，所以每段最长8厘米。

24¸8+32¸8

=3+4

=7（段)

答：最少截成7段。故选：C。

【点评】解答此题的关键是利用求最大公约数的方法求出每段的最长，然后计算出每根细木

棒截成的段数，再相加即可。

7．【分析】要想糖正好分完，这包糖的数量必须既是2的倍数，又是3的倍数，问题是最少

多少颗，所以找2和3的最小公倍数。

【解答】解：2和3的最小公倍数是2´3=6

答：这包糖最少有6颗。故选：B。

【点评】这道题考查的是求两个数的最小公倍数。解题关键是对最小公倍数的充分理解。

8．【分析】男女生分别排队，要使每行的人数相同，那么每行的人数是男生和女生人数的公

因数，要求每行最多有多少人，就是求男生人数和女生人数的最大公因数，然后分解质因数

解答即可。

【解答】解：60=2´2´3´5

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48=2´2´2´2´3

所以60和48的最大公因数是：2´2´3=12

即每行最多有12人。

答：每行最多能排12人。故选：D。

【点评】解答本题关键是理解：每行的人数是男生和女生人数的公因数，要求每行最多有多

少人，就是每行的人数是男生和女生人数的最大公因数。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【分析】求出2和3的最小公倍数，再用2022年2月24日加上2和3的最小公倍数，再

根据2022¸4=505.5，2022年不是闰年，2月份有28天，即可解答。

【解答】解：2和3的最小公倍数是2´3=6。

2022年2月24日+6天=2022年3月2日

答：她们下一次同时去图书馆是3月2日。故答案为：3，2。

【点评】本题考查的是求最小公倍数的应用题，掌握求最小公倍数的方法是解答关键。

10．【分析】求出18和20的最小公倍数，即可解答。

【解答】解：18=2´3´3

20=2´2´5

18和20的最小公倍数是2´2´3´3´5=180。

答：这袋糖果至少有180颗。故答案为：180。

【点评】本题考查的是最小公倍数应用题，掌握求最小公倍数的方法是解答关键。

11．【分析】根据题意，可计算出18与12的最大公因数，即是每根小段的最长，然后再用

18除以最大公因数加上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到

答案。

【解答】解：18=2´3´3

12=2´2´3

所以最大公因数是2´3=6，

所以每段最长6米，

18¸6+12¸6

=3+2

=5（段)

答：每小段最长6米，两根木料一共可以截成5段。故答案为：6，5。

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【点评】解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根

木条可以截成的段数，再相加即可。

12．【分析】根据题意，也就是求200与160的最大公因数，即是这个班小朋友的最多人数；

先把200和160分别分解质因数，进而找出它们公有的质因数，再把公有的质因数相乘即可。

【解答】解：200=2´2´2´5´5

160=2´2´2´2´2´5

200和160的最大公因数是：2´2´2´5=40

答：这个班最多有40人。故答案为：40。

【点评】解答此题关键是利用求两个数最大公因数的方法，并用它解决生活中的实际问题。

13．【分析】首先求出两种规格短管的长度和，再根据“包含”除法的意义，用除法解答。

【解答】解：410¸(36+24)

=410¸60

=6（根)......50（厘米）

50¸24=2（根)......2（厘米）

答：剩余部分的铝管至少是2厘米。故答案为：2。

【点评】此题考查的目的是理解掌握“包含”除法的意义及应用，有余数除法的计算法则及

应用。

14．【分析】根据题意，苹果数大于50，减去4个后既是8的倍数，又是6的倍数，所以只

要求出8和6的最小公倍数，然后乘一个整数，加上4，刚大于50，即可得解。

【解答】解：8=2´2´2

6=2´3

所以8和6的最小公倍数是2´2´2´3=24

24´2+4=52（个)

答：这箱苹果共有52个。故答案为：52。

【点评】本题考查了灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。

15．【分析】根据题意可知，找出9和12的最小公倍数，再加3即可求出这个班的人数。

【解答】解：9的倍数有9，18，27，36等，

12的倍数有12，24，36等，

9和12的最小公倍数是36，

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36+3=39（人)

所以这个班至少有39人。故答案为：39。

【点评】掌握公倍数的意义是解题关键。

16．【分析】此题属于最大公因数的应用类题目，所用知识点是求几个数最大公因数的方法；

用这些花可以扎成多少束同样的花束，即求12和30的最大公因数；然后用玫瑰花的总枝数

除以花束的数量，即可得出每束有多少枝玫瑰花。

【解答】解：12=2´2´3

30=2´3´5

因此最大公因数是：2´3=6

12¸6=2（枝)

答：用这些花最多可以扎成6束同样的花束，每束有2枝玫瑰花。故答案为：6，2。

【点评】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。

三．应用题（满分68分）

17．【分析】求出72和63的最大公因数，用长和宽分别除以最大公因数，再将商相乘，即

可解答。

【解答】解：72=2´2´2´3´3

63=3´3´7

72和63的最大公因数是3´3=9。

(72¸9)´(63¸9)

=8´7

=56（块)

答：铺满这间屋子的地面至少需要56块这样的爬行垫。

【点评】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。

18．【分析】这两路车第二次同时发车的时间=8时（10分）+10和15的最小公倍数，用短

除法求出。

【解答】解：

10和15的最小公倍数是：

5´2´3

=10´3

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=30

8时10分+30分=8时40分

答：8时40分这两路车第二次同时发车。

【点评】本题考查的是最小公倍数问题，掌握求最小公倍数方法是解答关键。

19．【分析】求出4、6、8的最小公倍数，用7月5日加上最小公倍数即可。

【解答】解：4=2´2

6=2´3

8=2´2´2

4、6、8的最小公倍数是2´2´2´3=24。5日+24天=29日

答：他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。

【点评】此题主要考查求两个数最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因

数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答。

20．【分析】根据题意，也就是求30与24的最大公因数，即是这个组的最多人数；先把30

和24分别分解质因数，进而找出它们公有的质因数，再把公有的质因数相乘即可。分别用糖

和巧克力的块数除以最大公因数，即可求出每位同学分得几块糖，几块巧克力。

【解答】解：30=2´3´5

24=2´2´2´3

所以30和24的最大公因数是：2´3=6。

30¸6=5（块)

24¸6=4（块)

答：这个组最多有6名同学，每位同学分得5块糖，4块巧克力。

【点评】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。

21．【分析】1路和2路下次同时发车时，所经过的时间必须既是12分钟的倍数，又是18

分钟的倍数，也就是求它们的最小公倍数。

【解答】解：12=2´2´3

18=2´3´3

12和18的最小公倍数是：2´2´3´3=36

6时+36分钟=6时36分

答：下次同时发车时间是上午6时36分。

【点评】本题关键是理解：两辆车同时发车的两次之间间隔时间就是12和18的最小公倍数。

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22．【分析】根据题意可知，每块小正方形土地边长等于长和宽的最大公因数，求出20和8

的最大公因数，根据长方形的面积=长´宽，正方形的面积=边长´边长，分别求出长方形的

面积，每块正方形地的面积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。

【解答】解：20=2´2´5

8=2´2´2

20和8的最大公因数是2´2=4

4´4=16（平方米）

(20´8)¸16

=160¸16

=10（块)

答：每块小正方形土地的面积最大是16平方米，可以分成10块。

【点评】本题主要考查的是最大公因数的求法在实际问题中的应用，以及长方形、正方形面

积公式的灵活运用。

23．【分析】要求两个班每组的人数必须相同，就是每组的人数是42和48的公因数，要求

每组最多有多少人，就是每组的人数是42和48的最大公因数，据此解答．

【解答】解：42=2´3´7，

48=2´2´2´2´3，

所以42和48的公因数有：2，3，6，

最大公因数是：2´3=6；

答：如果两个班每组的人数必须相同，可以每组分2人、3人或6人，每组最多有6人．

【点评】解答本题关键是理解：要求两个班每组的人数必须相同，就是每组的人数是42和

48的公因数．

24．【分析】作业本112本减去13本是99本，余下的99是这个班的同学人数的整数倍，铅

笔130支加上2支一共是132支，132是这个班的同学人数的整数倍，橡皮70块减去4块可

得66块，66是这个班的同学人数的整数倍，所以这个班最多人数就是99、132和66的最大

公因数．用短除法求出最大公因数即可解答．

【解答】解：112-13=99（本)

130+2=132（支)

70-4=66（块)

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所以99、132和66的最大公因数是11´3=33（人)，

答：四（6）班最多有33人．故答案为：33．

【点评】本题考查了应用最大公因数的求解方法来解决实际问题．

25．【分析】（1）3.6米=36分米，2.4米=24分米，要求每块方砖的边长最大是多少分米，

就是求36和24的最大公约数；

（2）要求这间房间一共需要多少块这样的方砖，用房间的面积除以每块方砖的面积即可．

【解答】解：（1）3.6米=36分米，2.4米=24分米，

36=2´2´3´3，

24=2´2´2´3，

36和24的最大公约数是2´2´3=12，

答：每块方砖的边长最大是12