安徽省蚌埠市2024届高考数学一模试卷 文(含解析)

2024年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷(文科)

一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

)

A.-iB.iC.1+iD.1-i

2.若全集U={0,1,2,4},且CuA={L2},则集合A=()

A.",4}B.{0,4}C.(2,4}D.{0,2}

3.命题“VaER,函数y=n”是增函数的否定是()

A."Va£R,函数y=n”是减函数B.a£R,函数y=/不是增函数

C.'勺a£R,函数y=Ji”不是增函数D.a£R,函数尸〃”是减函数

4.若a=ln2,b=5一0c=sm30°,则a,b,c的大小关系()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

5.在定义域内既是奇函数又是减函数的是()

A.y=-B.y=-x+-

xx

'-x+1,x>0

cy=-xlxlD

--n-x-i.x<o

jrjr

6.要得到函数f(x)=cos(2x+—)的图象，只需将函数g(x)=sin(2x+—)的图

象()

jrjr

A.向左平移下个单位长度B.向右平移方个单位长度

JTJT

C.向左平移;个单位长度D.向右平移二个单位长度

44

7.已知2"=3b=m,abWO且a,ab,b成等差数列,则m=()

A.V2B.V5c.Ve【).6

2「

8.圆锥曲线£+y?=l的离心率为"Y则m=()

m

A.士B.6C.-士D.-6

66

9.已知ACJ_BC,AC=BC,D满意五=t点+(1-t)混，若NACD=60°,贝ljt的值为()

A•组二B.V3-V2C.V2-1D.夸口

10.执行如图的程序框图，则输出的s=()

11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

正视图热视国

俯视图

第3题

A.考B.8C.挈D.16

33

x〉2

12.已知x,y满意'y>2时，z=i-^(a>b>0)的最大值为2,则a+b的最小值为()

x+y<83b

A.4+2加B.4-2V3C.9D.8

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数f(x)=lg(x-1)X的定义域为.

14.从2男和2女四个志愿者中，随意选择两人在星期一、星期二参与某公益活动，每天一

人，则星期一支配一名男志愿者、星期二支配一名女志愿者的旗率为.

15.过抛物线C：y?=4x的焦点F作直线1交抛物线C于A,B,若|AF|=3®'|,则1的斜率

是

16.已知正方体ABCD-ABC心的棱长为1,点P是线段AC上的动点，则四棱锥P-ABCD

的外接球半径R的取值范围是.

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知公比不等于1的等比数列｛a｝,满意:1=3,S3=9,其中已为数列不J的前n项和.

(I)求数列EJ的通项公式；

3:4

(II)设bn=log；——,若c,=,—,求数列&｝的前n项和K.

咻+3%bn+1

18.在某学校进行的一次语文与历史成果中，随机抽取了25位考生的成果进行分析，25位

考生的语文成果已经统计在茎叶图中，历史成果如下：

(I)请依据数据在茎叶图中完成历史成果统计；

(II)请依据数据完成语文成果的频数分布表及语文成果的频率分布直方图：

语文成绩频数分布直方图

处

0.032;9・・•・•・♦、r••••••・•r•••■■■

O.02V....

•••••

0.0241•■

0.020；*•

0.016/••••••••

0.012・•••♦*・••・1•・・・•••

*••♦*

0.00»■

0.0044

AA

506070XO90100IIOIM力女

语文成果的频数分布表：

语文成果分[50,60)[60,70)[70,80)[90,100)[100,110)[110,120]

组

频数

(III)设上述样本中第i位考生的语文、历史成果分别为X1,y((i=l,2,25).通过

对样本数据进行初步处理发觉：语文、历史成果具有线性相关关系，得到：

125_12525__25_

(yi-y)=4698,£(x,-彳)2=5524,

手左£Xi=86,yyi=64,£(x;-X)

2v

人i=li=li=li=l

翳=0.85・

5524

①求y关于x的线性回来方程:

②并据此预料，当某考生的语文成果为100分时，该生历史成果.(精确到0.1分)

附：回来直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

nn

-

£(x「x)(y.y)Zxi*yi-nx*y

19.如图，已知AFJ_平面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形AKD为直角梯形,ZDAB=90°,

AB/7CD,AD=AF=CD=2,AB=4.

(I)求证：AC_L平面BCE；

(II)求三棱锥E-BCF的体积.

b>0)的短轴长为2%，且离心率e=.

(II)设M、F,是椭圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆相交于P、Q两点，求△FFQ面积

21.已知函数f(x)=(ax2+x-1)e\其中e是自然对数的底数，a£R.

(I)若a=l.求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(II)若a=-l,函数f(x)的图象与函数g(x)=[x：'+』x2+m的图象有3个不同的交点,

求实数m的取值范围.

四、选考题(请考生从22、23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分)

选修4-1：几何证明选讲

22.如图，。。的半径为6,线段AB与。相交于点C、D,AC=4,ZBOD=ZA,OB与。0相交

于点.

(1)求BD长：

23.极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴.曲

x=t+m

线G的极坐标方程为P-2cos0=0,曲线G的参数方程为《°(t是参数，m是常数)

y=2t-1

(I)求G的直角坐标方程和a的一般方程；

(II)若C2与G有两个不同的公共点，求m的取值范围.

选修4-5：不等式选讲

24.已知函数f(x)=|x-10|+|x-20|,且满意f(x)<10a+10(a£R)的解集不是空集.

(I)求实数a的取值集合A

(II)若b£A,arb,求证aWaH.

2024年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

A.-iB.iC.1+iD.1-i

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【专题】计算题；规律型；方程思想；数系的扩充和复数.

【分析】干脆利用复数的除法的运算法则化简求解即可.

［解答］解.a二］=工_12_g__»=&=［

所门解.l+i(1+i)(1-i)2

故选：B.

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算实力.

2.若全集U={0,1,2,4},且［从={1,2},则集合A=（）

A.{1,4}B.{0,4}C.（2,4}D.{0,2}

【考点】补集及其运算.

【专题】计算题：集合思想：定义法：集合.

【分析】干脆依据补集的定义求出即可.

【解答】解：全集U={0,L2,4},且LA={1,2},

则集合A={0,4},

故选：B.

【点评】此题考查了补集及其运算，娴熟驾驭补集的定义是解本题的关键.

3.命题“Va£R,函数丫=兀”是增函数的否定是（）

A.”Va£R,函数y=Ji”是减函数B."Va£R,函数y=n”不是增函数

C.'匕a£R,函数y=n”不是增函数D.“3a£R，函数尸页”是减函数

【考点】命题的否定.

【专题】计算题：规律型：简易逻辑.

【分析】通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“Va£R,函数丫=五”是增函

数的否定是：a£R,函数丫=下"不是增函数.

故选：C.

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.

4.若a=ln2,b=5一,，c=sm30°»则a,b»c的大小关系〔）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aI）.c<b<a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】计第题；函数思想；分析法：函数的性质及应用.

【分析】利用有理指数箱的化简求值及对数的运算性质比较三个数与）的大小得答案.

【解答】解：•・”二52>1鹏>'|，

b=5W木噜/弓

c=sin30T君

.*.b<c<a,

故选：C.

【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了对数的运算性质，考查了三角函数的值，是基

础题.

5.在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

-x+1,x>0

C.y=-x|x|D.

-x-1,x<0

【考点】函数单调性的推断与证明：函数奇偶性的推断.

【专•题】函数思想；综合法；函数的性质及应用.

【分析】依据反比例函数在定义域上的单调性，减函数的定义，以及奇函数的定义，分段函

数单调性的推断方法便可推断每个选项的正误，从而找出正确选项.

【解答】解：A.尸2在定义域内没有单调性，，该选项错误；

X

1q

B.X二一9时，y=-亍，x=l时，y=0；

22

・••该函数在定义域内不是减函数，，该选项错误；

C.y=・x|x|的定义域为R,且-(-X)|-x|=x|x|=-(-x|x|)；

・•・该函数为奇函数；

,该函数在［0,+8),(-co,0)上都是减函数，且-。邑。?：

・•.该函数在定义域R上为减函数，，该选项正确：

(-x+1x>0

D.y=〈_/；

I-x-1x<0

V-0+l>-0-1；

・•.该困数在定义域R上小是减函数，.•.该选项错误.

故选：C.

【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及推断方法，减函数的定义，以及分段函

数单调性的推断，二次函数的单调性.

JTJT

6.要得到函数f(x)=cos(2x+—)的图象，只需将函数g(x)=sin(2x+—)的图

象()

jrJr

A.向左平移今个单位长度B.向右平移募个单位长度

KK

C.向左平移•个单位长度D.向右平移工•个单位长度

44

【考点】函数y=Asin(sx+d)的图象变换.

【专题】计算题：三角函数的图像与性质.

【分析】把f(x)=cos(2叶=)化为f(x)二sin(2x+苧)，故把

36

,、，IT、7T

g(x)=sin(2x+—)的图象向左平移n个单位，即得函数y=cos2x的图象.

O9

【解答】解：f(x)=cos⑵+=)=sin(2x+毕)，

36

TTJr

故把g(x)=sin(2x+g)的图象向左平移今个单位，即得函数

ITTT

f(x)=sin[2(x+今)吗]的图象，

jr

即得到函数f(x)=cos(2x+—)的图象.

J

故选c.

【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin(3X+。)图象的变换，把两个函数化为同名函数

是解题的关键.

7.已知2"=3b=m,ab#O且a,ab,b成等差数列，则m=()

A.V2B-V3C.V6D.6

【考点】等差数列的通项公式.

【专题】计算题；转化思想；构造法；函数的性质及应用：等差数列与等比数列.

【分析】易知a=log2in,b=log3in»2ab=a+b,从而可得log„2+l0gli3=10gli6=2,从而解得.

【解答】解：丁2"=3』，

/.a=log2m,b=log：tm,

Va,ab,b成等差数列，

/.2ab=a+b,

Vab^O,

ab

.*.-^=log,2,7=log,3,

ab

log,l2+log,3=loR„6=2,

解得m=V6，

故选C

【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用.

2

8.圆锥曲线工+y'l的离心率为则m=()

ID

A.-B.6C.--D.-6

66

【考点】双曲线的简洁性质.

【专题】方程思想；分析法：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由题意可得该曲线为双曲线，化为标准方程，求得a,b,c,由离心率公式计算即

可得到所求值.

2

【解答】解：由题意可得双曲线工+y2=l,即为

ID

-~~-1♦(m<0)»

1-IT

可得a=l,bR-n，c=yj1-n»

离心率e=&」l-"二币,

a1

解得m=-6.

故选：D.

【点评】本题考查双的线的离心率的运用，留意化方程为标准方程，考查运算实力，属于基

础题.

9.己知AC_LBC,AC二BC,D满意而=t百+(1・t)混，若NACD=60°,则t的值为()

A.与‘B.V3-V2C.V2-1D.吗口

【考点】平而对量的基本定理及其意义.

【专题】计算题：数形结合：向量法；平面对量及应用.

【分析】依据条件可知点D在线段AB上，从而可作出图形，并过D分别作AC,BC的垂线

DE,DF,可设AC=BC=a,从而可依据条件得到CE=ra,CF=(1-t)a,这样在RrACDE和RtACDF

ta_(Lt)a

中，由余弦函数的定义即可得到工=一近~,从而可解出t的值.

2T

【解答】解：如图，依据题意知，D在线段ABE过D作DE_LAC,垂足为E,作DF_LBC,

垂足为F：

若设AC=BC=a,则由而=(1-t)而得，CE=ta,CF=(1-t)a：

依据题意，ZACD=60°,ZIKF=30°；

.CE二CF

**cos600-cos300'

ta_(]-t)a

即工=~近~；

2T

解得t二立；1.

故选：A.

【点评】考查当满意而二t以+(1-t)正时，便说明D,A,B三点共线，以及向量加法

的平行四边形法则，平面对量基本定理，余弦函数的定义.

10.执行如图的程序框图,则输出的s=()

R1r1

AC

-^B.I6-32D--32

【考点】程序框图.

【专题】计算题；图表型;函数思想：试验法；算法和程序框图.

【分析】解答算法框图的问题，要依次执行各个步骤，特殊留意循环结构的终止条件，本题

中是a>180°就终止循环,可得s=cosl20cos240cos480cos96°,给原式的分子分母都

乘以2%os6°,然后分子连续利用四次二倍角的正弦函数公式后再利用诱导公式把正弦化为

余弦,约分即可得解.

【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得

a=12°，s=l

s=cos12°,a=24°

不满意条件a>180°,s=cosl20cos24°,a=48°,

不满意条件a>180°,s=cosl20cos24°cos48°,a=96°,

不满意条件a>180°,s=cosl20cos24°cos48°cos96°,a=192°,

满意条件。>180°,退出循环，输出s=cosl20cos240cos480cos96",a=192°,

由于s=cosl2°cos240cos48:cos96°

=-sin6°cosl20cos240cos480

24cos6csin6ccosl2ccos24c48c

24cos60

2~11120cosl20cos240cos480

24cos60

2、sin240cos240cos480

24cos60

sin960

24cos6。

sin(90°+6°)

16cos60

__cos60

16cos60

1

一正

故选：B.

【点评】本题主要考查了循环结构、流程图的识别、条件框等算法框图的应用，考查诱导公

式及二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，此题的突破点是分子变形后给分

子分母都乘以16cos6°以至于造成了一系列的连锁反应，属于中档题.

11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

俯视图

第3题

A.3B.8C.D.16

33

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】计算题；空间位置关系与距离.

【分析】几何体是三棱柱，再推断三棱柱的高及底面三角形的形态，把数据代入棱柱的体积

公式计算.

【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱，FL三棱柱的高为4,

底面是直角边长为2的等腰直角三角形，

・，・儿何体的体积V=£x2X2X4=8.

故选：B.

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，推断几何体的形态及数据所对应的几何量是

解答此类问题的关键.

\>2

⑵已知x,y满意Jy>2时，z=2畔（a2b>0）的最大值为2,则a+b的最小值为（）

“ab

x+y<8

A.4+2/B.4-275C.9D.8

【考点】简洁线性规划.

【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式.

【分析】由约束条件作出可行域，结合z=2+号（a2b>0）的最大值为2可得工£二1，然后

abab

利用基本不等式求最值.

'x〉2

【解答】解：由约束条件y>2作出可行域如图,

x+y<8

x二2

联立，解得A(2,6),

x+y=8

b

化目标函数久=转为f——x+bz，

a

由图可知，当直线y=-2（+bz过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2百二公

aab

即我二1.

，a+b=(a+b)(-1-k|)=4+\痔>4+2心•罟4+26,

当且仅当二1,即af0l,b=3+J^寸取等号.

b=V3a

【点评】本题考查简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练r利用基本不等

式求最值，是中档题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数f<x）=lg（x-1）的定义域为（1，2）.

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】计算题；函数思想：综合法：函数的性质及应用.

【分析】依据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可.

【解答】解：由题意得：

^-1>0

'2-x>0，

解得：l<x<2,

故答案为：（1,2）

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是•道基础题.

14.从2男和2女四个志愿者中，随意选择两人在星期一、星期二参与某公益活动，每天一

人，则星期一支配一名男志愿者、星期二支配一名女志愿者的概率为G.

«J

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题：转化思想：综合法：概率与统计.

【分析】先求出基本领件总数，再求出星期一支配一名男志愿者、星期二支配一名女志愿者

包含的基本领件个数，由此能求出星期一支配一名男志愿者、星期二支配一名女志愿者的概

率.

【解答】解：从2男和2女四个志愿者中，

随意选择两人在星期一、星期二参与某公益活动，每天一人，

基本领件总数n=A：=12,

星期一支配一名男志愿者、星期二支配一名女志愿者包含的基本领件个数m=C；C；=4,

・•・星期一支配一名男志愿者、星期二支配一名女志愿者的概率为p=-=~r^.

n123

故答案为：

V

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要仔细审题，留意等可能事务概率计竟公

式的合理运用.

15.过抛物线C：y、4x的焦点F作直线1交抛物线C于A,B,若IAF|=3|BF|,则1的斜率

是土y.

【考点】抛物线的简洁性质.

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线1的方程，和抛物线方程联立，化

为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A,B两点纵坐标的和与积，结合

|AE|=3|BE|,转化为关于直线斜率的方程求解.

【解答】解：:抛物线C方程为y2=4x,可得它的焦点为F(1,0),

・•・设直线1方程为y=k(x-1),

fy=k(x-1)u?

由《o，消去x得:y~y~k=0.

y=4x4

设A(Xi»yi)»B(x2»y2)»

A

可得yi+y2=T»y)yz=-4①.

k

V|AF|=3|BF|,

yi+3y2=0,可得yi=-33”代入①得-2丫2=(，且-3y「=-4,

k

消去力得k：3,解之得k=土丘.

故答案为：土加.

【点评】本题考查了抛物线的简洁性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题.

16.已知正方体ABCD-ABCM的棱长为1,点P是线段AQ上的动点,则四棱锥P-ABCD

的外接球半径R的取值范围是序..

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；球.

【分析】画出图形,设P-ABCD的外接球的球心为G,说明GP=GA=R,设O1P=x,O,G=y,求

出OG=l-y,推出R?=x?+y2,然后推出R与y的函数关系，利用二次函数的值域求出R的范

围即可.

【解答】解:设P・ABCD的外接球的球心为G,

VA,B,C,D在球面上，.•.球心在正方体ABCD-ABCD上下底面中心连线0Q上，点P也

在球上，

AGP=GA=R

・「棱长为1，二0A考，设OP=x,O,G=y,

则OG=1-y,在RtAGO,P中，有R2=x2+y2-©，

在RtZkGOA中，R2：(乎)2+(1-y)2…②，将①代入②，得-2y,

.・.。4<*—・£<7<3，♦二2二乂2+/斗-27+丫2=(y-1)2V£［卷，，］,

于是R的最小值为VR的取值范围是：后，岁.

故答案为：启，争.

【点评】本题考查球与几何体的关系，二次函数的最值的求法，考查空间想象实力以及转化

思想的应用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知公比不等于1的等比数列｛aj,满意：祗=3,S3=9,其中已为数列不J的前n项和.

（I）求数列（aj的通项公式；

34

（II）设bn=log；.---------,若C,=T~V-,求数列缸｝的前n项和Tn.

%+3%Dn+1

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式.

【专题】计算题；方程思想；待定系数法；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数

列.

【分析】（I）设数列｛aj的公比为q,从而得方程3（1+工得）=9,从而解得：

qq

（II）化简a*F3・』，从而可得c=T——二1二--工士从而求和.

2々bn*bn+1n（n+1）rn+l

【解答】解：（I）设数列｛a｝的公比为q,

则有3（1

解得，M舍去）或展吊

故a=3・(-g)n-3；

2

1

(II)a”3=3,一

2

故bn=log2^—=2n,

咻+3

.4111

故a=bn・b/；n(n+l)一7右’

故T=l-------

n223nn+l

1_n

n+ln+l

【点评】本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了对数运算的应用及裂项求和法

的应用.

18.在某学校进行的一次语文与历史成果中，随机抽取了25位考生的成果进行分析，25位

考生的语文成果已经统计在茎叶图中，历史成果如下：

（I）请依据数据在茎叶图中完成历史成果统计：

（II）请依据数据完成语文成果的频数分布表及语文成果的频率分布直方图；

语文成绩频数分布直方图

、、//>4666S6

语文成果的频数分布表：

语文成果分[50,60)[60,70)[70,80)[90,100)[100,110)[110,120]

组

频数

(III)设上述样本中第i位考生的语文、历史成果分别为X”>(i=l,2,25).通过

对样本数据进行初步处理发觉：语文、历史成果具有线性相关关系，得到：

25_2525__25

112

Xi=86,3噪£"64,£(Xi-1)(y,-y)=4698,£(x,-^)=5524,

Zvi=lZwi=li=li=l

4698八

LLC产()•85.

5524

①求y关于x的线性回来方程：

②并据此预料，当某考生的语文成果为100分时，该生历史成果.(精确到0.1分)

附：回来直线方程的斜率和做距的最小二乘法估计公式分别为：

【考点】线性回来方程.

【专题】应用题：对应思想；数学模型法；概率与统计.

【分析】(I)依据题意，在茎叶图中完成历史成果统计即可：

(II)依据数据完成语文成果的频数分布表，填写语文成果的频率分布直方图；

(III)由已知计算个、;，写出线性回来方程，利用回来方程计算x=100时。的值即可.

【解答】解：(I)依据题意，在茎叶图中完成历史成果统计，如图所示;

语文成纨历史成检

9

962

56218

4616757

128037

6350

30

外康，弟三年如教学(文)认AA才告£及讦分心9%lff(N1)

(H)依据数据完成语文成果的频数分布表，如下；

语文成果[50,60)[60,7D)[70,80)[80,90)[90,100)[100,[110,

分组110)120]

频数1237661

填写语文成果的频率分布直方图，如图所示：

(III)由已知得0=0.85,八二64-0.85X86=-9.1,

ba

所以y关于x的线性回来方程为y=0,85x-9.1；

且当x=l()0时，得《=0.85X100-9.1=75.9-76,

即当考生的语文成果为100时，历史成果为76分.

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了线性回来方程的计算与应用问题,

是基础题目.

19.如图，己知AF_L平面ABCD,四边形ABEF为矩形，四边形A反:D为直角梯形，ZDAB=90°,

AB/7CD,AD=AF=CD=2,AB=4.

(I)求证：AC_L平面BCE：

(II)求三棱锥E-BCF的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体枳；直线与平面垂直的判定.

【专题】综合题：空间位置关系与距离.

【分析】(I)过C作CM_LAB,垂足为M,利用勾股定理证明AC_LBC,利用EB_L平面ABCD,

证明AC_LEB,即可证明AC_L平面BCE：

(H)证明CM_L平面ABEF,利用\£晦二丫一团，即可求三棱锥E・BCF的体积.

【解答】(I)证明：过C作CMLAB,垂足为M,

VAD±DC,••・四边形ADCM为矩形，

.*.AM=MB=2,

VAD=2,AB=4,

••・AC=2亚，CM=2,BC=2亚

.\AB2=AC2+BC2,即AC±BC,

平面ABCD,AF/7BE,

.•.EB_L平面ABCD,

YACu平面ABCD,AACIEB,

VEBABC=B,

・・・AC_L平面BCE；

(II)解：TAFL平面ABCD,

.*.AF±CM,

.*.CM±AB,ABAAF=A,

・・・CM_L平面ABEF,

1118

・•・VE廿%诋X浸XBExEFXCM=《x2X4X2=卷

4，K

【点评】本题考查了线而垂直的判定，三棱锥体积的计算，解答的关键是正确运用线面垂直

的判定.

22

20.已知椭圆C：三十'1（a>0,b>0）的短轴长为2近且离心率

a，b2

（I）求椭圆C的方程：

（II）设Fi、色是椭圆的左、右焦点，过&的直线与椭圆相交于P、Q两点，求面积

的最小值.

【考点】椭圆的简洁性质.

【分题】综合题：转化思想：综合法：网锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】（I）由椭圆的短轴长为2加，且离心率e《，列出方程组，求出a=2,b=l,由

此能求出椭圆C的方程.

2

（II）设直线PQ的方程为x=:y+l,代入号+［二1，得（3/+Gy+6ty-9=0,由此利用韦

达定理、弦长公式、换元法、函数单调性，结合已知条件能求出面积的最小值.

【解答】解：（I）•・•椭网C：弓+£1（a>0,b>0）的短轴长为2%，且离心率e。

(II)设直线PQ的方程为乂5丫+1,

代入号+1二1，得(3t2+4)y2+6ty-9=0,

__6t9

yi+y~-，

23t2+4yw3t2+4

设P(XHyi)<Q(x2»y2)>

则SAFPO=-^*2C*I

1一“・岛产

令uWt2+lE〔I，+8),

s.12

则、△F]PQ-1,

3什瓦

Vy=3用在[1，+8)上是增函数,

・••当U=l,即t=0时,(SAF]PQ)mln=3.

...△RPQ面积的最小值是3.

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面枳的最小值的求法，是中档题，解题时要

仔细审题，留意韦达定理、弦长公式、换无法、函数单调性的合理运用.

21.已知函数f(x)=(ax'x-1)其中e是自然对数的底数，a€R.

(I)若a=l.求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(H)若a=-l,函数f(x)的图象与函数g(x)=[x'+Jx2+m的图象有3个不同的交点，

求实数m的取值范围.

【考点】利用导数探讨曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理：利用导数探讨函数的单

调性.

[S题】计算题：导数的综合应用.

【分析】(I)求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到；

(II)令h(x)=f(x)-g(x),求出导数，求出单调区间，和极值，函数f(X),g(x)

的图象有三个交点，即函数h(x)有3个不同的零点，即有h(-1)V0,且h(0)>0,

解出即可.

【解答】解：(I)Vf(x)=(x2+x-1)e\

Afz(x)=(2x+l)ex+(X24X-1)ex=(x2+3x)e'.

二曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=4e,

Vf(1)=e,

・•・曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=4e(x-1),

即4ex-y-3e=0.

(II)令h(x)=f(x)-g(x)=(-x2+x-1)ex-(-^x^r+m)

贝ijh'(x)=(-2x+l)ex+(-x2+x-1)ex-(x'+x)

=-(e'+l)(x2+x)

令h'(x)>0得-IVxVO,令h'(x)VO得x>0或xV-l.

q1

**.h(x)在x=・1处取得微小值h(-1)=------r-m,在x=。处取得极大值h(0)=-1

e6

-m.

•.•函数f(x),g(x)的图象有三个交点，即函数h(x)有3个不同的零点,

fh(-1)<0-行-百

：.\/、、即1

Ih(0)>0

-1-m>0

31

解得:

e6

【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运

用导数求极值，考虑极值的正负来推断函数的零点，属于中档题.

四、选考题(请考生从22、23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分)

选