（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题02排列与组合（2个知识点3个拓展2个突破5种题型2个易错点）（原卷版）

专题02排列与组合（2个知识点3个拓展2个突破5种题型2个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.排列知识点2.组合拓展1.有限制条件的排列问题拓展2.有限制条件的组合问题拓展3.排列与组合的综合问题突破1.分组与分配问题突破2.排列组合中的新概念创新题型【方法二】实例探索法题型1.排列数公式的应用题型2.排列的概念与简单的排列问题题型3.特殊元素与特殊位置问题题型4“相邻”与“不相邻”问题题型5.“定序”问题题型6.组合概念的理解与简单组合问题题型7.与组合数有关的计算题型8.“含”与“不含”问题题型9.相同元素分组分配问题题型10.排列组合的综合应用【方法三】差异对比法易错点1.不能正确理解题意致误易错点2.忽视排列数公式的隐含条件致误【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.排列一、排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．二、排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同．三、排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．思考排列与排列数相同吗？答案排列数是元素排列的个数，两者显然不同．二、排列数公式及全排列1．排列数公式的两种形式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.例1．（2023上·高二课时练习）从1、2、3、4、5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？知识点2.组合一、组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．二、排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)三、组合数公式组合数公式乘积形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n阶乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)规定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知识点二组合数的性质性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).例2．（2023上·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．例3．（2023·全国·高二随堂练习）（1）平面内有两组平行线，一组有条，另一组有条，不同组的平行线都相交，这些平行线一共构成了多少个平行四边形？（）（2）空间中有三组平行平面，第一组有个，第二组有个，第三组有个，不同组的平面都互相垂直．这些平行平面一共构成了多少个长方体？（）拓展1.有限制条件的排列问题1．（2023上·陕西汉中·高二西乡县第一中学校考阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)女生互不相邻的坐法有多少种？(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？拓展2.有限制条件的组合问题2．（2023上·高二课时练习）某小组共有10名学生，其中女生3名．现任选2名代表，则至少有1名女生当选的选法有多少种？拓展3.排列与组合的综合问题3．（2023下·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考阶段练习）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？突破1.分组与分配问题1．（2023上·全国·高三专题练习）将10个小球分别装入3个不同的盒子中且每个盒子非空（即每个盒子至少装1个小球）．问：有多少种不同的装法？2．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）名男生和名女生站成一排．(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？(4)男、女相间的站法有多少种？(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？突破2.排列组合中的新概念创新题型3．（2023上·北京·高三北京市第三十五中学校考期中）在数字的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则．(1)设排列：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②；(2)对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值；(3)如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数．【方法二】实例探索法题型1.排列数公式的应用1．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．（2）求等式中的n值．题型2.排列的概念与简单的排列问题2．多选题（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为82种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种题型3.特殊元素与特殊位置问题3．（2023上·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？（2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？（3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？（4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）题型4“相邻”与“不相邻”问题4．（2023上·江西·高二校联考阶段练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的六位数．(1)偶数不能相邻，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）(2)若数字和之间恰有一个奇数，没有偶数，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）题型5.“定序”问题5．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.（i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？（ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？（2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）（3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）题型6.组合概念的理解与简单组合问题6．多选题（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（

）A．共有90种安排方法B．甲连续两天值班的安排方法有30种C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种题型7.与组合数有关的计算7．单选题（2024上·辽宁·高二校联考期末）已知，则（

）A． B． C． D．题型8.“含”与“不含”问题8．（2024·全国·高三专题练习）某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?(3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?(4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?题型9.相同元素分组分配问题9．（2023·四川内江·统考一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（

）A．8种 B．14种 C．20种 D．16种题型10.排列组合的综合应用10．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．(1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．【方法三】差异对比法易错点1.不能正确理解题意致误1．（2024上·上海·高二校考期末）某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；(2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．易错点2.忽视排列数公式的隐含条件致误2．（2021上·高二课时练习）（多选题）当，且时，不可能取到（）A．60 B．240 C．2020 D．2040【方法五】成果评定法_一、单选题1．（2023下·山东青岛·高二校考阶段练习）将参加数学竞赛的20个名额分给9所学校，每所学校至少1个名额，则名额分配种数为（

）A． B． C． D．2．（2020·全国·模拟预测）某医院派出了6名医生和3名护士共9人前往某地参加救治工作.现将这人分成两组分配到，两所医院，若要求每个医院都至少安排2名医生及1名护士，并且医生甲由于工作原因只能派往医院，则不同的分配方案种数为（

）A．30 B．60 C．90 D．1503．（2021下·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）有4本不同的书A､B､C､D，要分给三个同学，每个同学至少分一本，书A､B不能分给同一人，则这样的分法共有（

）A．18种 B．24种 C．30种 D．36种4．五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（

）A．36种 B．60种 C．72种 D．108种5．若，则的值为（）A．1或2 B．3或4 C．1或3 D．2或46．（2023下·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期中）现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（）A．8种 B．10种 C．12种 D．14种7．（2023下·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，则不同的安排方式共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种8．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有种不同的方案，其中的值为（

）A．543 B．425 C．393 D．275二、多选题9．（2023下·高二课时练习）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（

）A．高二六班一定参加的选法有种B．高一年级恰有2个班级的选法有种C．高一年级最多有2个班级的选法为种D．高一年级最多有2个班级的选法为种10．（2022·高二单元测试）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（

）A．若任意选择三门课程，则选法种数为35B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为2011．（2023下·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）下列等式正确的是（

）A． B．C． D．12．（2023下·重庆渝北·高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）某中学共有三栋女生宿舍楼，分别为1号楼、2号楼、3号楼，学校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教师去这三栋宿舍楼协助宿管阿姨值守，每栋宿舍楼至少安排一名教师，每名教师只能去其中一栋楼，则下列说法正确的是（

）．A．共有300种不同的安排方法B．若其中1号楼需要有两名教师去，则共有60种不同的安排方法C．若甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，则共有114种不同的安排方法D．若学校新购入25个相同型号的灭火器，准备全部分配给这三栋女生宿舍楼作为应急使用，每栋宿舍楼至少6个，则共有15种不同的分配方法三、填空题13．（2022上·贵州毕节·高三校联考阶段练习）由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有种.14．（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，小提琴，书法五门选修课程可供学习，要求每位同学每学年至多选2门，该校学生小明想用前3学年将五门选修课程选完，则小明的不同选修方式有种.（用数字作答）15．已知，则.16．（2023下·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）有6个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，那么钥匙的放法有种．四、解答题17．（2023下·北京东城·高二统考期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍